2013年九年級(jí)數(shù)學(xué)圓與相似綜合專題(1)(1)

1、圓與相似綜合專題如圖，在O中，弦AB、CD相交于AB的中點(diǎn)E，連AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使DF=AD，連BC、BF。（1）求證：CDEAFB；（2）當(dāng)=時(shí)，求的值。CEB=AED,AE=EB,AD=DF,AB=2AE,AF=2AD,AE:AB=AD:AF,EAD=DAF,EADBAF,AED=ABF=CED,BCE=BAF,(同弧所對(duì)圓周角相等),故CBE=AFB,因此CBEAFB(AAA)；BE/FB=CB/AF=CB/(2AD),CB/AD=2BE/FB=2*5/8=5/4.2、平行四邊形ABCD中，以AB為直徑的O交CD于M，交AD于E，且AM平分BAD，連接BE交AM于F。（1）求證：DM=

2、CM；（2）若AD=5，AM=8，求MF的長(zhǎng)。DM=CM AO=BO則：AD/OM/BCAD=OM=5o內(nèi)，AB=2OM=2*5=10三角形ABM是Rt AMB=90三角形ABM中，AM=8則：BM2=AB2-AM2 =102-82則：BM=6因?yàn)椋篈M平分BAD 和AD/OM所以：DAM=OAM=AMO 而：o內(nèi) AEB=90則：OMBEMFB內(nèi)： FMB=90由于直角三角形非直角和為90 則：AMO=MBF=t（設(shè)為t）ABM中：tant=MB/AM=6/8=3/4MFB中：tant=MF/MB=MF/6則：MF/6=3/4 MF=9/2.3.如圖，O是ABC外接圓，AB=AC=10，BC

3、=12，P是弧上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線交AB延長(zhǎng)線與點(diǎn)D.（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，DP是O的切線？說(shuō)明理由；（2）當(dāng)DP是O的切線時(shí)，求DP的長(zhǎng). （1）當(dāng)P是BC中點(diǎn)時(shí)，DP是O的切線.理由如下：.1分AB=AC，又PA是O的直徑. 又AB=AC，PABC.DP/BC，PDAP.DP是O的切線.（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點(diǎn)E. 由垂徑定理得，BE=.在RtABE中，據(jù)勾股定理，.設(shè)O的半徑為r，則OE=8-r.在RtOBE中，.解得r=. 4.如圖，P是O直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)P作直線分別交O于C、D兩點(diǎn)，弦DFAB于H點(diǎn)，CF交AB于點(diǎn)E.(1)求證：DEEF；(2)若DE

4、CF，P15，O半徑為4，求CF的長(zhǎng). 解：(1)EA垂直平分DF，故DEEF.(2)DEF是等腰直角三角形，DCFP+450600，連OF，則HOF600，OHOF2，DHHF，DEEF，在RTCDE中，CE，CF+5.如圖，ABC內(nèi)接于O，AB=AC，CD平分ACB交O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)F，連接AO并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E(1)求證：AD=DE；(2)若DF=CE=2，求的值(1)證明OA平分BAC；(2)設(shè)EF=xDCADAF，即解之得，,.6、如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，交過(guò)點(diǎn)A的直線于瞇D，且D=BAC。（1）求證：AD是半圓O的切線；（2）

5、若BC=2，CE=，求AD的長(zhǎng)。解 析 （1）要證AD是半圓O的切線只要證明DAO=90即可；（2）由兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得到DOAABC，據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得到AD的長(zhǎng) 解 答 （1）證明：AB為半圓O的直徑，BCA=90又BCOD，OEACD+DAE=90D=BAC，BAC+DAE=90AD是半圓O的切線（2）解：BCOD，AOEABC，BA=2AO， AOBA= AEAC= 12，又CE= 2，AC=2CE=2 2在RtABC中，AB= AC2+BC2= (2 2)2+22=2 3，D=BAC，ACB=DAO=90，DOAABC ADAC= OABC即 AD2 2=

6、 32AD= 67、如圖，已知AB為O的直徑，弦CDAB，垂足為H。（1）求證：AHAB=AC2；（2）若過(guò)A的直線與弦CD（不含端點(diǎn)）相交于點(diǎn)E，與O相交于點(diǎn)F，求證：AEAF=AC2；（3）若過(guò)A的直線與直線CD相交于點(diǎn)P，與O相交于點(diǎn)Q，若AH=1，AB=4，請(qǐng)直接寫(xiě)出APAQ的值（不必寫(xiě)過(guò)程）（1）連接CB，證明CAHBAC即可；（2）連接CF，證AECACF，根據(jù)射影定理即可證得；（3）由（1）（2）的結(jié)論可知，APAQ=AC2成立解答：證明：（1）連接CB，AB是O的直徑，ACB=90，而CAH=BAC，CAHBAC，ACABAHAC，即AHAB=AC2；（2）連接FB，易證AHE

7、AFB，AEAF=AHAB，AEAF=AC2；（也可連接CF，證AECACF）（3）結(jié)論APAQ=AC2成立（同理）8、如圖，點(diǎn)A、B、C、D在O上，AB=AC，AD與BC相交于點(diǎn)E，AE=ED，延長(zhǎng)DB到點(diǎn)F，使FB=BD，連接AF。（1）證明：BDEFDA；（2）試判斷直線AF與O的位置關(guān)系，并給出證明。（1）根據(jù)題意可得出 BDFD= EDAD，ADB=ADF，根據(jù)一個(gè)角相等，夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例從而得出BDEFDA；（2）連接OA，OB，OC，由AB=AC，得出OAB=OAC，又OB=OC，從而得出AOBC即可；（3）直線AF與O相切由BDEFDA，得出EBD=AFD，可得出BEF

8、A，根據(jù)AOBE，可得出AOFA，即直線FA與O相切解答：證明：（1）在BDE和FDA中，F(xiàn)B12BD，AE12ED，BDFDEDAD23（2分）又BDE=FDABDEFDA（5分）（2）連接OA，并連接OB和OC，如下圖所示，AB=AC，OA=OA，OB=OC，OABOAC，OAB=OAC（6分）又OB=OCAOBC（7分）（3）直線AF與O相切（8分）由BDEFDA，那么EBD=AFDBEFA（9分）由AOBE知，AOFA，直線FA與O相切（11分9、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AC為直徑，BD平分ADC，BD與OC相交于E。（1）求證：BC2=BEBD；（2）若直徑AC=6，BEED=

9、31，求OE的值。1.證明:BCE=ADB=CDB;CBE=DBC.CBEDBC,BC/BE=BD/BC,BC=BExBD。2.解：ADB=CDB.弧AB=弧BC,連接OB,則OB垂直AC.OC=OB=AC/2=32,則BC=OC+OB=36.BE:ED=3:1,設(shè)BE=3X,則BD=4X.BC=BExBD(已證),即36=3X*4X=12X.X=3,BE=3X=33.故OE=(BE-OB)=3.10.已知：如圖，在ABC中，A=45，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，且AD=DC，CO的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作弦EFAB，垂足為點(diǎn)G（1）求證：BC是O的切線；（2）若AB=2，求EF的長(zhǎng)（1）

10、證明：連接BD，AB為O的直徑，ADB=90，BDAC，AD=CD，AB=BC，A=ACB=45， ABC=90，BC是O的切線；（2）解：AB=2， BO=1，AB=BC=2，CO=BO2+BC2=5，EFAB，BCAB，EFBC，EGOCBO，EGBCEOCO，EG215，EG=255，EF=2EG=45511、如圖，已知，已知ABC，以邊BC為直徑的圓與邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為弧BD的中點(diǎn)，AF為ABC的角平分線，且AFEC。（1）求證：AC與O相切；（2）若AC=6，BC=8，求EC的長(zhǎng)。證明：（1）如圖，連接BE，AF是BAC的角平分線，AFEC，ACH=AHCBHE=AHC，ACH=

11、BHEE是 BD的中點(diǎn)，EBD=BCEBC是O的直徑，BEC=90（ 3分）EBH+BHE=90BCE+ACE=90AC是O的切線（4分）解：（2）在RtABC中，AC=6，BC=8，AB=10又ACH=AHC，AH=AC=6BH=AB-AH=10-6=4（6分）EBH=ECB，EBHECB EBEC= HBBC= 12在RtEBC中，EC=2EB，BC=8，EC2+EB2=BC2EC= 16 55 12、如圖，O與A相交于C、D兩點(diǎn)，A、O分別是兩圓的圓心，ABC內(nèi)接于O，弦CD交AB于點(diǎn)G，交O的直徑AE于點(diǎn)F，連接BD。、（1）求證：ACGDBG；（2）求證：AC2=AGAB。（3）若A

12、、O的直徑分別為6、15，且CGCD=14，求AB和BD的長(zhǎng)。解：（1）在和中，。（2）連結(jié)AD，則在和中又即。（3）連結(jié)CE，則與相交于C，D兩點(diǎn)圓心O，A在弦CD的垂直平分線上，即AO垂直平分弦CD的直徑分別為，15在和中，即在中，由勾股定理，得即解得（舍去負(fù)值）在中，由勾股定理，得（舍去負(fù)值）由（2），有即解得由（1），有，得。13、如圖，在RtABC中，BC=9，CA=12，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，DEDB交AB于點(diǎn)E。（1）設(shè)O是BDE的外接圓，求證：AC是O的切線；（2）設(shè)O交BC于點(diǎn)F，連接EF，求的值。證明：（1）DEDB，O是RtBDE的外接圓BE是O的直徑，點(diǎn)O是B

13、E的中點(diǎn)，連接ODC=90DBC+BDC=90又BD為ABC的平分線ABD=DBCOB=ODABD=ODBODB+BDC=90ODC=90又OD是O的半徑AC是O的切線（2）設(shè)O的半徑為r，在RtABC中，AB2=BC2+CA2=92+122=225AB=15（7分）A=A，ADO=C=90ADOACBAO/AB=OD/BC (15-r)/15=r/9 r=45/8 BE=45/4又BE是O的直徑BFE=90BEFBACEF/AC=BE/BA=45/4/15=3/414、如圖，A是以BC為直徑的O上一點(diǎn)，ADBC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)BO的切線，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，G是AD的中點(diǎn)，連接CG并延長(zhǎng)與BE相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P。（1）求證：BF=EF；（2）求證：PA是O的切線；（3）若FG=BF，且O的半徑長(zhǎng)為3，求BD和FG的長(zhǎng)度。證明：（1）BC是O的直徑，BE是O的切線EBBC又ADBCADBEBFCDGC，F(xiàn)ECGAC G是AD的中點(diǎn)DG=AGBF=EF（2）證明：連接AO，ABBC是O的直徑BAC=90在RtBAE中，由（1），知F是斜邊BE的中點(diǎn)AF=FB=EFFBA=FAB又OA=OBABO=BAOBE是O的切線EBO=90EBO=FBA+ABO=FAB+BAO=FAO=90PA是O的切線（3）解：過(guò)點(diǎn)F作FHAD于點(diǎn)HBDAD