延安大學(xué) 暑假數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)二,停車場車位分配

1、停車場車位分配問題摘要 本文運用泊松分布、簡單的比例知識以及最優(yōu)化的思路建立了整數(shù)線性規(guī)劃模型，解決了停車場車位分配的問題。停車場停車車位固定不變，主要提供應(yīng)寫字樓人員辦年卡和月卡使用，為了減少停車場因空置率增大而造成的浪費，我們必須對停車流量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立合理的最正確的車位分配管理方法，并使得年收益最大。針對問題1，我們應(yīng)該首先分析附表中的數(shù)據(jù)，將四月份的停車流量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為停車量數(shù)據(jù)。為此，我們采用了概率模擬方法中的泊松分布。由于車輛離開服從泊松分布，故我們可以求解出進(jìn)入停車場和離開停車場的車輛數(shù)目，進(jìn)而可以求解出停車量。計算結(jié)果如下所示：i123456789101112131415mi

2、2342132161149161143135138136133115734635xi233711210771806060667060352055yi0520547881837572667380534130ti23371472001931921691541481521399461250 針對問題2先定義沖突概率，再根據(jù)自己定義的沖突概率求解出求出在沖突概率低于0.05時的最大售卡量，由第一問可知停車場的停車概率，根據(jù)停車概率和售卡兩之間的比例關(guān)系可以求出最大售卡量。計算結(jié)果如下：最大售卡量為236張。 針對問題3，如果你是車位管理員，你如何設(shè)計最正確車位分配管理方法，使得收益最大。我們假定擴大售

3、卡量對象之后，卡的種類主要包括年卡、月卡、臨時卡。假定依舊在有沖突概率的前提條件之下，且年卡和月卡總共出售212張，通過控制給定各類卡的價格和售卡數(shù)量以及沖突概率約束條件來求最大年收益量max Z=ax+12by+12*30() 在給定一個實例之后，用LINGO軟件計算最大年收益為1570560元。關(guān)鍵詞：泊松分布 比例 整數(shù)線性規(guī)劃LINGO 一、問題重述某寫字樓擁有212個車位，主要供寫字樓工作人員辦卡包年或包月使用，車位不固定，只要有空閑車位就可以?！，F(xiàn)在的情況是，辦卡客戶雖然辦了卡，但不一定都來停車，且很多車子是流動的，可能早上停進(jìn)來，中午就走了。這樣，停車場空置率很大，造成了資源浪費

4、，現(xiàn)方案擴大售卡數(shù)量和對象。假定總車位固定不變，請依據(jù)附表中4月份每天各時段的停車流量數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型答復(fù)以下問題：1模擬附表中停車流量，分析停車量統(tǒng)計規(guī)律；2定義沖突概率，求假設(shè)沖突概率低于情形下，計算最大售卡量；3如果你是車位管理員，你如何設(shè)計最正確車位分配管理方法，使得收益最大。二、問題分析 按照題目表達(dá)可知，此題涉及到變量之間的轉(zhuǎn)化并根據(jù)給出的附表尋找各個數(shù)據(jù)之間規(guī)律方面的問題、概率統(tǒng)計方面的問題以及優(yōu)化方面的問題。對于第一問，我們必須先理解停車流量的概念，再找出停車流量和停車量之間的數(shù)據(jù)關(guān)系，最后再找出停車數(shù)量一個內(nèi)在各個時間段的變化規(guī)律。經(jīng)查閱資料，我們可以知道停車流量指的是在一

5、段時間內(nèi)車輛流動的數(shù)量，即為在該段時間內(nèi)進(jìn)入停車場的車輛數(shù)量加上離開停車場的車輛數(shù)量之和。所謂停車量即為在統(tǒng)計的該段時間內(nèi)，原來停車場已停車的數(shù)量加上進(jìn)入停車場的車輛數(shù)再減去離開停車場的車輛數(shù)量。由概率知識可以知道停車場離開的車輛數(shù)服從泊松分布，用泊松分布可以求出泊松分布對應(yīng)的參數(shù)，再根據(jù)停車流量和停車量之間的關(guān)系可以求出停車量，畫出停車量和對應(yīng)時間段之間的關(guān)系圖即可。針對第二個問題，我們根據(jù)第一問對數(shù)據(jù)的分析，找出的規(guī)律，求在沖突概率低于0.05時最大的售卡量，要使得售卡量最大，我們可以找出各個時間段內(nèi)停車輛量最大的時間段，假設(shè)是讓該時間段的沖突率低于0.05，計算出對應(yīng)的售卡量最大，那么其

6、他各個時段的沖突概率都低于0.05且售卡量最大。對于第三問，為了解決停車場空置率大造成的資源浪費，現(xiàn)方案擴大售卡數(shù)量和對象，要求設(shè)計出最正確車位分配管理方法，使得收益最大。我們考慮在滿足沖突概率低于的條件下，從售卡種類，價格，數(shù)量出發(fā)，設(shè)計方案將利潤最大化。我們可以把售卡對象擴大，主要分為包年卡、月卡的和臨時卡使用的，對于包卡的我們規(guī)定：包月卡的收費以一個月為一個階段，每月收費為a元并且在該階段內(nèi)可以無限次刷卡，超出一個月卡就視為無效卡，必須重新辦卡才可以使用；對于包年卡的，年收費為b元并且在該階段內(nèi)可以無限次刷卡，超出一年卡就視為無效卡，必須重新辦卡才可以使用；對于臨時卡，我們采用按小時計費

7、來收取費用，6：0020:00臨時卡收費為c1元，20:00以后到次日6:00之間一張臨時卡收費為c2元，缺乏一小時的也按一小時計算。并且臨時卡有效期為一小時。再根據(jù)解優(yōu)化問題建立模型，求出年最大收益。三、問題假設(shè)假設(shè)該寫字樓內(nèi)總得車位固定不變，在統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)時出售的卡數(shù)是212張；假設(shè)在最后一個階段時該停車場的車全部離開；假設(shè)除了最后一個時間段之外，在第i個時間段進(jìn)入的車輛在本時間段不離開，而在之后的其他時間段離開；假設(shè)在各個階段時離開停車場的車輛數(shù)服從泊松分布；在進(jìn)行統(tǒng)計時不考慮任何突發(fā)情況的出現(xiàn)；假設(shè)進(jìn)行第二問時，只有年卡和月卡，不考慮臨時卡的影響；假設(shè)不考慮車的大小，均按統(tǒng)一大小看待

8、；四、符號說明表示第i個時間段進(jìn)入停車場的車輛數(shù)i=1,2，15；表示在第i個時間段離開停車場的車輛數(shù)i=1,2，15；表示在第i個時間段停車場的停車量i=1,2，15；表示第i個時間段停車場的停車流量i=1,2，15；表示第i個時間段離開停車場的概率i=1,2，15；表示第i個時間段進(jìn)入停車場的概率i=1,2，15；表示在沖突概率低于0.05時，最大售卡量；Qi表示各個時間段的停車率；四、模型建立與求解問題一：查閱資料可以知道：1停車流量指的是在一段時間內(nèi)車輛流動的數(shù)量，即為在該段時間內(nèi)進(jìn)入停車場的車輛數(shù)量加上離開停車場的車輛數(shù)量之和。停車數(shù)量即為在統(tǒng)計的該段時間內(nèi)，原來停車場已停車的數(shù)量加

9、上進(jìn)入停車場的車輛數(shù)再減去離開停車場的車輛數(shù)量。2普阿松分布是一種重要的分布，它不僅具有很多良好的性質(zhì)與應(yīng)用，而且它是許多隨機事件流的概率模型，所謂隨機事件流就是隨機時刻源源不斷出現(xiàn)的事件或質(zhì)點所形成的序列。例如，在任意給定時間間隔內(nèi)，魚貫到達(dá)某公共設(shè)施要求給予效勞的客戶流；到達(dá)某城市的旅客流等。如果隨機事件流滿足平穩(wěn)性，無后效性，普通性，非平凡性，那么該事件流為普阿松分布流，也成為泊松分布。對于該問題，我們可以知道車離開停車場這個隨機事件滿足平穩(wěn)性，無后效性，普通性，非平凡性，符合泊松分布，且在各個時間段都服從參數(shù)為的泊松分布。故有離開停車場的車輛概率可以用如下公式求解：，其中參數(shù)為泊松流的

10、強度，在此題中可以理解為停車量。由數(shù)理統(tǒng)計的知識我們可以知道，參數(shù)還是泊松分布的期望或者方差。 由1我們可以知道各個時間段內(nèi)停車流量，停車量，離開的車輛數(shù)，進(jìn)入的車輛數(shù)之間存在如下關(guān)系式： 在第一個時段內(nèi)： 在第二時段內(nèi)： 在第三時間段內(nèi)： 由此可以得到這樣的規(guī)律：在第i個時間段內(nèi)： 由上面的公式計算出各個時間段的進(jìn)入停車場的車輛數(shù)，離開停車場的車輛數(shù)以及停車量。如下表所示：i123456789101112131415mi2342132161149161143135138136133115734635xi233711210771806060667060352055yi0520547881837

11、572667380534130ti23371472001931921691541481521399461250停車量與各個時間段之間對應(yīng)的關(guān)系圖如下所示：各個時間段進(jìn)入停車場車輛數(shù)與離開停車場車輛數(shù)以及停車量之間的關(guān)系圖如下所示：進(jìn)而可以算出各個階段進(jìn)車量與出車量的概率分布列，如下所示：第i個時間段12345678進(jìn)車量占停車流量的百分比qi1出車輛占停車流量的百分比pi0平均進(jìn)車量在該階段占總車位的百分比停車率Qi第i個時間段9101112131415進(jìn)車量占停車流量的百分比qi出車輛占停車流量的百分比pi平均進(jìn)車量在該階段占總車位的百分比停車率Qi0問題二： 我們定義的沖突概率為在某個時間

12、段內(nèi)，持卡進(jìn)入停車場停車沒地停車的車輛占進(jìn)入停車場想要停車的車輛總和的百分比，由題可知：由第一問計算的結(jié)果和沖突概率的定義，我們可以求出各個階段內(nèi)的最大售卡量從中找出最小的，即為我們要求出的最大售卡量。各個時間段的最大售卡量如下表所示：i1234567891011121314Ni206412743212362432462793073193113395037741889由上表可知， 在沖突概率低于0.05的情形下，最大售卡量為：236問題三：該問可以認(rèn)為是一道整數(shù)規(guī)劃問題，用解最優(yōu)化問題的思路來解。1符號定義：Z表示年收益；Z1表示出售年卡獲得的收益；Z2表示出售月卡獲得的收益；Z3表示臨時卡獲

13、得的收益；a表示辦一張年卡的費用；x表示出售年卡的數(shù)量； b表示辦一張月卡的費用；y表示出售月卡的數(shù)量；表示臨時停車從早上6:00-20:00賣一張臨時卡的收費；表示臨時停車從晚上八點到次日早上六點之間賣一張臨時卡的收費；表示白天臨時來停車的在第i時間段的停車數(shù)量；表示晚上臨時來停車人停車的數(shù)量；表示考慮臨時卡和年卡月卡時的沖突率;問題假設(shè)： 1.持臨時卡來停車的，白天一輛車在一個時間段停車且只能停一個小時，晚上20:00以后無論停多久收費都一樣且在次日早上6:00之前必須離開； 2.假設(shè)每月都按30天計算； 3.假設(shè)每月售月卡量相同，每天售出的臨時卡量也相同；3問題分析：假設(shè)要到達(dá)在沖突概率

14、低于的條件下，使得年收益最大，而年收益又包含辦年卡的收益，辦月卡的收益，以及一年內(nèi)持臨時卡來停車的收益。其中辦年卡的收益為：Z1=ax (1)辦月卡的收益為：Z2=by (2)臨時卡的收益為：Z3= 3由123式可得目標(biāo)函數(shù)為：max Z=ax+12by+12*30() 存在的約束條件有 1) 沖突概率低于的限制： 其中i =1,2142-M=212x+y=2120 x2120y212，且除了a,b,c1,c2之外其余都為正整數(shù)模型建立 目標(biāo)函數(shù)為：max Z=ax+12by+12*30() s.t. 1) 其中i =1,214-M=212x+y=2120 x2120y212，且除了a,b,c

15、1,c2之外其余都為正整數(shù)例如，假設(shè)辦一張年卡的費用為800元，辦一張月卡的費用為100元，白天辦一張臨時卡的費用為2元，晚上辦一張臨時卡的價格為10元，在沖突率低于0.05時，求最大年收益量。代入模型，用求解，計算結(jié)果如下所示：xyn1n2n3n4n5n60212986020121920n7n8 n9n10n11n12n13n14M 373734313764112187212最大年收益Z=1570560由上表可知，當(dāng)賣出年卡為0張，月卡為212張，一天中6:007:00賣出臨時卡98張，7:008:00賣出臨時卡60張，8：009:00賣出臨時卡20張，9:0010:00賣出臨時卡12張，1

16、0:0011:00賣出臨時卡19張，11:0012:00賣出臨時卡20張，12:0013:00賣出臨時卡37張，13:0014:00賣出臨時卡37張，14:0015:00賣出臨時卡34張，15;0016:00賣出臨時卡31張，16:0017:00賣出臨時卡37張，17:0018:00點賣出臨時卡64張，18:0019:00賣出臨時卡112張，19:0020:00賣出臨時卡187，晚上20:00后到次日早上6:00之前賣臨時卡212張。結(jié)果分析： 由于建立的目標(biāo)是求年收益最大，在限定的約束條件下，通過計算機求解的把結(jié)果與實際情況稍有不符，實際情況下賣出的年卡數(shù)量應(yīng)該大于賣出的月卡數(shù)量，但是我們建

17、立的模型僅僅考慮到收益最大且月卡累計到年算出的費用大于賣出年卡的費用，所以在求解的結(jié)果中，賣出年卡量為0 張，是合理的。模型評價優(yōu)點：我們在求解第一問時運用了泊松分布求出各個時間段的停車輛，在解答第二問時運用了簡單的比例關(guān)系，求解出最大的售卡量，簡單易懂，條例清晰。在解答第三問時，我們建立了整數(shù)優(yōu)化模型，根據(jù)實際情況而定，具有可操作性。缺點：在分析停車輛統(tǒng)計規(guī)律時，我們運用了各個時段的平均值，有一定的誤差，但不影響總體的規(guī)律。建立整數(shù)規(guī)劃模型求年收益最大，在限定的約束條件下，通過計算機求解的把結(jié)果與實際情況稍有不符，但得出的結(jié)果仍是合理的。六、參考文獻(xiàn)【1】姜啟源.謝金星.葉俊 ?數(shù)學(xué)模型第三

18、版? 高等教育出版社2003【2】劉新平 ?概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一版)? 陜西師范大學(xué)出版總社 2021【3】趙瑛.關(guān)于泊松分布及其應(yīng)用.遼寧省高等專科學(xué)校學(xué)報J ,2021年4月 第十一卷第二期: 77-78頁附錄LINGO求解的代碼輸入：model:max=800*x+1200*y+360*(n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8+n9+n10+n11+n12+n13+n14)*2+M*10);0.108*(n1+x+y-212)/2120.05;0.176*(n2+x+y-212)/2120.05;0.528*(n3+x+y-212)/2120.05;0.505*(n4+x+y-212)/2120.05;0.335*(n5+x+y-212)/2120.05;0.377*(n6+x+y-212)/2120.05;0.283*(n7+x+y-