山東省2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1已知雙曲線的左,右焦點分別為,O為坐標(biāo)原點,P為雙曲線在第一象限上的點,直線PO,分別交雙曲線C的左,右支于另一點,且,則雙曲線的離心率為( )AB3C2D2阿基米德(公元前287年公元前212年),偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家

2、,他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內(nèi)切球體積為( )ABCD3函數(shù)在上的圖象大致為( )ABCD4設(shè)集合,則 ()ABCD5設(shè),是非零向量,若對于任意的,都有成立,則ABCD6已知橢圓+=1(ab0)與直線交于A,B兩點,焦點F(0,-c),其中c為半焦距,若ABF是直角三角形,則該橢圓的離心率為( )ABCD7函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是( )ABCD8若直線與曲線相切,則( )A3BC2D9設(shè),則( )ABCD10己知

3、集合,則( )ABCD 11已知集合為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是( )ABCD12設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+)單調(diào)遞減,則( )ABCD二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位若的實部與虛部相等,則實數(shù)的值為_14若,則=_,=_.15給出下列等式:,請從中歸納出第個等式:_.16集合,若是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合,則下列說法正確的為_的值可以為2;的值可以為;的值可以為;三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)在三角形中,角,的對邊分別為,若.()求角;()若,求.18(12分)某客戶準(zhǔn)備在

4、家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器

5、更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖 以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.19(12分)在

6、平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點,若直線與曲線相交于、兩點,求的值20(12分)已知動圓過定點,且與直線相切,動圓圓心的軌跡為,過作斜率為的直線與交于兩點,過分別作的切線,兩切線的交點為,直線與交于兩點(1)證明:點始終在直線上且;(2)求四邊形的面積的最小值21(12分)已知,如圖,曲線由曲線:和曲線:組成,其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點,點為曲線所在圓錐曲線的焦點.()若,求曲線的方程;()如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點,求證:弦的中點必在曲線的

7、另一條漸近線上;()對于()中的曲線,若直線過點交曲線于點,求面積的最大值.22(10分)根據(jù)國家統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù),1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元,實際增長了242倍多,綜合國力大幅提升.將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替,并表示為;表示全國GDP總量,表中,.326.4741.90310209.7614.05(1)根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計圖表,判斷與(其中為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由),并求出關(guān)于的回歸方程.(2)使用參考數(shù)據(jù),估計2020年的全國GDP總

8、量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,.參考數(shù)據(jù):45678的近似值5514840310972981參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1D【解析】本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理,建立關(guān)于a與c的等式,計算離心率,即可【詳解】結(jié)合題意,繪圖,結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而,結(jié)合四邊形對角線平分,可得四邊形為平行四邊形,結(jié)合,故對三角形運用余弦定理,得到,而結(jié)合,可得,代入上式子中,得到,結(jié)合離心率滿足,即可得出,故選D【點睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì),難度偏難2D【解析】設(shè)圓柱的

9、底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為,所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.3A【解析】首先判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得;【詳解】解:依題意,故函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,排除C;而,排除B;,排除D.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)

10、圖象的識別,函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4B【解析】直接進(jìn)行集合的并集、交集的運算即可【詳解】解:; 故選:B【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義,以及交集、并集的運算,是基礎(chǔ)題.5D【解析】畫出,根據(jù)向量的加減法,分別畫出的幾種情況,由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意,得向量是所有向量中模長最小的向量,如圖,當(dāng),即時,最小,滿足,對于任意的,所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法,以及點到直線的距離最短問題,解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于基礎(chǔ)題.6A【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點A,B兩點,利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式,解方程求解即

11、可.【詳解】聯(lián)立方程,解方程可得或,不妨設(shè)A(0,a),B(-b,0),由題意可知,=0,因為,由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得, 因為,所以a2-c2=ac,兩邊同時除以可得,解得e=或(舍去),所以該橢圓的離心率為.故選:A【點睛】本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標(biāo)表示;考查運算求解能力和知識遷移能力;利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.7C【解析】顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個零點在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因為的一個零點在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點睛】本題考查零點存在性定理的應(yīng)用

12、,屬于基礎(chǔ)題.8A【解析】設(shè)切點為,對求導(dǎo),得到,從而得到切線的斜率,結(jié)合直線方程的點斜式化簡得切線方程,聯(lián)立方程組,求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點為,由得,代入得,則,故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問題,涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線方程的點斜式,屬于簡單題目.9D【解析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10C【解析】先化簡,再求.【詳解】因為,又因為,所以,故選:C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合

13、的運算,還考查了運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11D【解析】集合為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果【詳解】解:集合為自然數(shù)集,在A中,正確;在B中,正確;在C中,正確;在D中,不是的子集,故D錯誤故選:D【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題12D【解析】利用是偶函數(shù)化簡,結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),而,因為在上遞減,即故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,結(jié)合已知條件即可求出

14、實數(shù)的值.【詳解】解:的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.141 0 【解析】根據(jù)換底公式計算即可得解;根據(jù)同底對數(shù)加法法則,結(jié)合的結(jié)果即可求解.【詳解】由題:,則;由可得:.故答案為:1,0【點睛】此題考查對數(shù)的基本運算,涉及換底公式和同底對數(shù)加法運算,屬于基礎(chǔ)題目.15【解析】通過已知的三個等式,找出規(guī)律,歸納出第個等式即可【詳解】解:因為:,等式的右邊系數(shù)是2,且角是等比數(shù)列,公比為,則角滿足:第個等式中的角,所以;故答案為:【點睛】本題主要考查歸納推理,注意已知表達(dá)式的特征是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題16【解析】根據(jù)對稱性,只

15、需研究第一象限的情況,計算:,得到,得到答案.【詳解】如圖所示:根據(jù)對稱性,只需研究第一象限的情況,集合:,故,即或,集合:,是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合,故所在的直線的傾斜角為,故:,解得,此時,此時.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力,利用對稱性是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17()()8【解析】()由余弦定理可得,即可求出A,()根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【詳解】()由余弦定理,所以,所以,即,因為,所以;()因為,所以,因為,由正弦定理得,所以.【點

16、睛】本題考查利用正弦定理與余弦定理解三角形,屬于簡單題.18(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求

17、出概率,可得到的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件,因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意的可能取值為8,9,10,11,12,

18、從而,.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16(個).或用分?jǐn)?shù)表示也可以為89101112(個).(3)解法一:記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用(單位:元)因為,且,1若,則,(元);2若,則,(元).因為,故選擇方案:.解法二:記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買一級濾芯和二級濾芯所需費用(單位:元)1若,則,的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買的各級濾芯所需總費用為(元);2若,則,的分布列為800100012000.520.320.16(元).因為所以選擇方案:.【點睛

19、】此題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用,考查古典概型,考查運算求解能力,屬于中檔題.19(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2).【解析】(1)在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程,利用兩角和的正弦公式以及可將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),并設(shè)點、所對應(yīng)的參數(shù)分別為、,利用韋達(dá)定理可求得的值.【詳解】(1)由,得,曲線的普通方程為,由,得,直線的直角坐標(biāo)方程為;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入,得,則,設(shè)、兩點對應(yīng)參數(shù)分別為、,.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線參數(shù)方程幾何意義

20、的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.20(1)見解析(2)最小值為1【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義,判斷出的軌跡為拋物線,并由此求得軌跡的方程.設(shè)出兩點的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此求得點的坐標(biāo).寫出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求得點的坐標(biāo),并由此判斷出始終在直線上,且.(2)設(shè)直線的傾斜角為,求得的表達(dá)式,求得的表達(dá)式,由此求得四邊形的面積的表達(dá)式進(jìn)而求得四邊形的面積的最小值【詳解】(1)動圓過定點,且與直線相切,動圓圓心到定點和定直線的距離相等,動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線,軌跡的方程為:,設(shè),直線的方程為:,即:,同理,直線的方程為:,由可得:, 直線方程為:,聯(lián)立可得:, ,點始終在直線上且;(2)設(shè)直線的傾斜角為,由(1)可得:, 四邊形的面積為:,當(dāng)且僅當(dāng)或,即時取等號,四邊形的面積的最小值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程

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