第三章多維隨機變量及其分布習題測驗

1、第 頁共8頁第三章多維隨機變量及其分布習題1 3.1二維隨機變量的概率分布3 y 3x y，x其它y 0，則、填空題設（X,Y）的分布函數(shù)為F（ x，y）10,（X ,Y ）的聯(lián)合概率密度f （x, y）=2設隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)為 F （x，y）A(Bxarctg - )(C噸），則A =，(A 0)；3.用（X ,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)F （x, y）表示概率P(ab,Y c)= F(b,c) F(a,c)；4.設（X , Y）在區(qū)域G上服從均勻分布，G為yx2所圍成的區(qū)域，（X,Y）的概率密度為5.設（X,Y）聯(lián)合密度為f （x, y）Ae0,x 0,其它0，則系數(shù)A =6.設二維隨

2、機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為f x,y4xy,0,x 1,0 y 1其它 ，7.設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為f x,y2cx y,0,x2y其它.1,，則 c=X!和X2的分布函數(shù)，為使F（x） aR（x） bF2（x）是某、選擇題現(xiàn)的點數(shù)，貝U （X,Y）所有可能取的值為()(A) 12 對；(B)6 對；(C)8對；(D)4對2 設二維隨機向量（X, Y）的概率密度為f(x,y)1,0 x1,0y1,0,其它,則概率P(X 0.5,Y0.6)()(A 0.5;(B)0.3;(C)0.875;(D)0.4.1 考慮拋擲一枚硬幣和一顆骰子，用 X表示拋擲硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，丫表示拋

3、擲骰子出3.設x）與F2（x）分別為隨機變量 TOC o 1-5 h z 一隨機變量X的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應取()32221313a ，b ; (B) a ，b -; (C) a -，b -; (D) a -，b55332222設隨機變量Xi的分布律為Xi101P111424 TOC o 1-5 h z (1,2),滿足 P(X/20) 1,則P(X!X2) (A)(A)0;(B)1/4;(C)1/2;(D)1.如下四個二元函數(shù)中哪個可以作為連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)()(A)fx,ycosx,0(B)fx, ycos x,0(C)fx,ycosx,0L 訐 丫 2,其它-

4、x -,0 y 1,其它COSX,(D)f x,y00 x ,0其它y1,0 x ,0y12其它X-11P1/21/26.設隨機變量X與Y相互獨立，它們的概率分布依次為則下列各式正確的是()(A)X=Y ；( B)PX=Y=0 ;(C)PX=Y=1/2 ;Y-11P1/21/2(D)PX=Y=1.三、計算下列各題1.已知隨機變量 X和Y的聯(lián)合密度為f (x，y)4xy，0,0 x 1,0 y其它1,求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F (x, y)。一個箱子裝有12只開關，其中2只是次品，現(xiàn)隨機地無放回抽取兩次，每次取一只，以X和Y分別表示第一次和第二次取出的次品數(shù)，試寫出X和Y的概率分布律。3.給定非負

5、函數(shù)g(x),它滿足0g(x)dx 1,又設f(x, y)2g(.x2y2),0 x,y0,其它問f (x, y)是否是隨機變量 X和Y的聯(lián)合概率密度？說明理由。k 6 x y4.設隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為f(x, y)0,x 2,2其它求：f 1)系數(shù) k； f2) P X 1,Y3 ;(3) P X 1.5 ;(4) P X Y 4 。5.設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為f f x, y)a(1 x2 y2),x2y210,其它求(1)系數(shù) a ,(2)概率 p fX2Y2-) o4袋中有1個紅色球，2個黑色球與3個白色球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球, 以X , Y , Z

6、分別表示兩次去求所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù)，(1 )求P X 1 Z 0 ; f2)求二維隨機變量 X,Y的概率分布。 3.2 邊緣分布 3.3 條件分布 3.4隨機變量的獨立性一、填空題1 2設平面區(qū)域D由曲線y 及直線y 0, x 1, x e所圍成.(X, Y)在D上均勻分布,x TOC o 1-5 h z 則(X, Y)關于X的邊緣密度在x 2處值為;若f X, Y)的分布律為12311/61/91/1821/3應滿足條件是 .若X與Y相互獨立則= TOC o 1-5 h z 設隨機變量X和Y相互獨立，且 X在區(qū)間0,2上服從均勻分布，Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則P X Y 1;.

7、 . 2設X1,X2, ,Xn獨立同分布，都服從 N(,)，則f X-X2, ,Xn )的概率密度函數(shù)為 ；設隨機變量X與Y相互獨立，X : B(2, p),Y B(3, p)，且P(X 1)5/9，貝UP(Y 2),P(X Y 1);6.二維離散型隨機變量相互獨立的充分必要條件是、選擇題1設兩隨機變量 X和Y獨立同分布P(X 1) P(Y 1)1/2, P(X 1)P(Y 1)1/2,則下列各式成立的是()(A) P(X Y) 1/2;(B) P(X Y) 1 ;(C) P(X Y 0) 1/4;(D) P(XY 1)1/4.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布為并且已知事件 X*0101/4

8、b1a1/40與 X Y 1相互獨立，則a,b的值是()(A) a=1/6,b=1/3;a=3/8,b=1/8;a=1/4,b=1/4;a=1/5,b=3/10.3.設二維隨機變量X,Y的聯(lián)合概率密度為x,y1/0,2 2x y其它1，則X,Y滿足()(A)獨立同分布(B )獨立不同分布；(C)不獨立同分布;(D)不獨立也不同分布三、計算下列各題1.設隨機變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能取值，另一個隨機變量Y在1X中等可能取6222-(4 x )(9 y )一個整數(shù)值，求(1) (X,Y)的聯(lián)合分布律；(2) X , Y的邊緣分布律。2.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x, y)

9、y(1)求關于X和Y的邊緣概率密度.(2)問X與Y是否獨立?3.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f x, yxy, 0 x31,02,0,其它.求：(1)關于X和關于Y的邊緣密度函數(shù)，并判斷X與Y是否相互獨立？ ( 2) P X Y 14.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f (x, y)kx(x y),0 x 2, x y x,0,其它(1)求常數(shù)k ;(2) 求關于X和Y的邊緣概率密度，(3)問X與Y是否獨立?雷達的圓形屏幕的半徑為R，設目標出現(xiàn)點(X,Y)在屏幕上均勻分布，(1 )求X,Y的邊緣概率密度，(2)問X,Y是否獨立?設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f (x, y)A

10、e，0 X y，求(1)常數(shù) A( 2)隨0, 其它X101P1/41/21/4機變量X,Y的邊緣密度，(3)概率P(X Y 1) o7.已知隨機變量 X,Y的概率分布：Y01P1/21/2且P(XY 0)1. ( 1)求X,Y的聯(lián)合分布，(2)問X,Y是否獨立？為什么?8.設X與Y為兩個相互獨立的隨機變量,X在區(qū)間0,1上服從均勻分布，Y的概率密度y/2為fy y-e y , y 0,，求:0, y 0.(1) X與Y的聯(lián)合概率密度;(2)設含有a的二次方程為a2 2Xa Y0 ,試求a有實根的概率。四、證明題設隨機變量 X,Y具有分布函數(shù)F x,y1 eax y, x 0,0 y 1,1

11、e ax,x 0, y 1, a 0,0,其它.證明：X與Y相互獨立。 3.5兩個隨機變量函數(shù)的分布一、填空題設X與Y獨立同分布，且X的分布律為 P(X 0)0.5, P(X 1)0.5,則隨機變量 TOC o 1-5 h z Z max X,Y的分布律為;44設X與Y兩隨機變量，且P(X0,Y0)=-, P(X0)- , P (Y0)刁,貝UP(max(X, Y)0);設隨機變量X與丫相互獨立，且均服從區(qū)間0, 3上的均勻分布，則P maxX,Y 1 =?2 2 -一 HYPERLINK l bookmark92 o Current Document 若X N( 1, 1 ),Y N ( 2

12、, 2),相互獨立 *X k2Y服從分布為 ;5設X與Y相互獨立，且分別服從參數(shù)為1, 2的泊松分布，貝y Z X 丫服從的分布二、選擇題設隨機變量X服從指數(shù)分布，則隨機變量 Y min X,2的分布函數(shù)為（）（A ）連續(xù)函數(shù)；（B）至少有兩個間斷點；（C）階梯函數(shù)；（D）恰有一個間斷點設隨機變量 X與Y相互獨立，且 X服從標準正態(tài)分布N 0,1，Y的概率分布為1P Y 0 P Y 1,記FZ z為隨機變量Z XY的分布函數(shù)，則函數(shù) FZ z的間2斷點個數(shù)為（）（A） 0；（B） 1 ；（C） 2 ；（D） 33.設隨機變量X與Y相互獨立，且分別服從N 0,1 和 N 1,1，則（）（A）1P

13、（X Y 0） 1 ；（B） P（X1Y 1） 1 ；（C）1P（X Y 0）2（D） P（X1Y 1）-.2設f1 x為標準正態(tài)分布的概率密度，f2 x為 1,3上均勻分布的概率密度，若af1 xx 0,f xa 0,b0的概率密度，則a,b應滿足（）bf2 xx 0（A）2a 3b 4;（B）3a 2b 4;（C）a b 1;（D）a b 2.設X與Y相互獨立，且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，則下列 4個隨機變量中服從區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布的為（A）（A） X,Y ;（ B）X+Y ;（ C）X2 ;（ D） X Y.設X與Y是相互獨立的隨機變量， 其分布函數(shù)分別為 Fx x ,Fy y，

14、則Z min（X,Y） 的分布函數(shù)為（） TOC o 1-5 h z （A）FzzFxx ;（ B）FzzFyy ;（C） FZ z min FX x , FY y ; （ D） FZz11 FX x 1 F丫y.三、計算下列各題設兩個獨立隨機變量X與Y的分布律為P（X1）0.3,P（X3）0.7,P（Y2）0.6,P（X 4） 0.4,求（1） Z X Y的分布律，（2） W X Y的分布律.2設X,Y獨立，XN( , )，丫在,服從均勻分布，Z X Y,求Z的概率密度.(用 標準正態(tài)分布函數(shù)(x)表示)。N( 2， 2)求X 丫的概率密度。23設隨機變量X,Y相互獨立，且X N( i，i

15、),Y :6.設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度 求Z X Y的概率密度。f (x, y)3x,0 x 1, 0 y x0,其它設隨機變量X與丫相互獨立，X的概率分布為P X i1,0,1 , Y的概率密度為fY y0其它1，記Z(1)求 P Z 丄 X 02(2)求Z的概率密度。設二維變量(x, y)的概率密度為f(x, y)0 x 1,0 y 1其他(I)求 PX 2Y;(II)求z X Y的概率密度。4.已知隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，/1衣其聯(lián)合密度為f (x, y)e 22y2)x,y,求隨機變量Z122 (X2 Y2)的概率密度函數(shù)。35.已知隨機變量X與Y相互獨立，且都服從0,a區(qū)間上的均勻分布，求 ZX Y的概率密度函數(shù)。9假設電路裝有三個同種電器元件，其狀況相互獨立，且無故障工作