全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽試題及答案()(一)

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽試題及答案(wo r d) ( 1)二0一五年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽試卷標(biāo)準(zhǔn)答案 一、填空題(共10小題，每小題7分，滿分70分).已知ABC的外接圓半徑為 R,且2R(sin2 A sin2C) (&a b)sin B (其中 a、b分別是a、 b的對邊).那么c的大小為. 答案：45.集合 A x2a 1 x 3a 5, B x3 x 33, A (A0B),則 a 的取值范圍是答案：a , 4 |J 1,28 . 3. 611G；610G269 . C1061被8除所得的余數(shù)是答案：54.在數(shù)列an中,20 10,對所有的正整數(shù)n都有an 2 an 1an

2、,則a2015答案：-10.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P ABCD中，AD/BC, /ABC = 90,PAL平面 ABCD, PA=3, AD =2, AB = 2 , BC = 6.則二面角 P BD A 的大 小為.答案：60. 22.設(shè)雙曲線 二 4 1a 0,b 0的左右焦點(diǎn)分別為FhF2, A是雙曲線漸近線上的一點(diǎn), a bAF2 F1F2,原點(diǎn)O到直線AFi的距離為11OFi ,則雙曲線的離心率為.已知a,b兩個互相垂直的單位向量，且c|a c|b 1,則對任意的正實(shí)數(shù)t, | c ta ；!|的最小值是答案：7.若關(guān)于x的方程包 kx2有四個不同的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍為

3、x 4答案：k k 14J的最小值是12.設(shè)x, y是正實(shí)數(shù)，且x y 1 ,則上-x 2答案.設(shè)f(x)是定義在整數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件：f(1) 1,f(2) 0;對任意的x,y都有f(x y) f(x)f(1 y) f(1 x)f(y),則 f(2015)=.答案：-1二、解答題(共 5小題，滿分80分).(本小題滿分14分)已知函數(shù) f(x) = 2sin2( x) cos 2x.(I)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(n)若f(x)m + 2在x60,上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析：(I) f(x)=1 cos( 2x) cos 2x=(sin 2x+ cos 2x)+1=

4、2sin(2x+ ) + 1,.f(x)的最小正周期 T= = Tt,由 2kL 水+, k6 Z可彳導(dǎo) kn xkjt+ , k6Z,.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 kn Tt, kTt+ (k6Z). 7分(n) x60, 水 + Tt, sin(2x+ )當(dāng) sin(2x+ )= 時，f(x)取得最大值為 1，即 f(x)max=1 .要使 f(x) m + 2 恒成立，需 f(x)maxm+2,.1 1 ,.m的取值范圍是(1 , 十).14分12.(本小題滿分 14分)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝 10元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

5、(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n6N)的函數(shù)解析式.(2)花店記錄了 100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表:日需求重 n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.若花店一天購進(jìn) 16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差.若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.解(1)當(dāng)日需求量n16寸，利潤y=80.當(dāng)日需求量n0.2+ 80 0.7 = 76.X 的方差為 D(X) = (60-

6、76)2X0.1 + (70-76)2X0.2+ (80-76)2X0.7 = 44.方法一花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y 的數(shù)學(xué)期望為 E(Y) = 55 X0.1 + 65 0.2+75 0.16+85 X0.54= 76.4.Y 的方差為 D(Y) = (55-76.4) 2X0.1 + (65-76.4)2X0.2+ (75 - 76.4)2 0.16 + (85 - 76.4)2X0.54 = 112.04.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)D(Y),即

7、購進(jìn)16枝玫瑰花時利潤波動相對較小.另外，雖然 E(X)0.2+75 0.16+85 X0.54= 76.4.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出， E(X)E(Y),即購進(jìn) 利潤.17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進(jìn)16枝時的平均故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.13.(本小題滿分16分)數(shù)列an滿足司2, a(n2n1an2)an(n N ). 2n(I )設(shè) bn2n求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;an(n)設(shè) a1n(n 1)an 1的前n項(xiàng)和為Sn求Sn .解:(I)由已知可得an 1*an1(n )an22nan 12nan即bn 1bn1bi 1,b22bi(n1)累加得bnb1III(n 1)1,bn2 n

8、 211(n)由(1)an2n 1bn2n 2an(n2 x2. )1)1c (n 1)2 n(n 1)2n 22nn(n 1)2nn 1n(n 1)2n 2,/、-n 1n(n 1)2n 1(n 1)2c 1 11Sn( 232 2223IIIX)2n 1 ),1(r-21 、亍)2 22小)Hl 31n-271,77on 1 (n 1) 2112 (1 n)221 12n(n 1) 2(?16分14.(本小題滿分18分)已知函數(shù)f(x)In xa(xx(I )若函數(shù)f(x)在(0,)上為單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;0,求證：lnm In n2m解析：(I) f (x)1 a(x 1) a(

9、x 1)m n(x 1)22ax(x 1)2x(x 1)22_x (2 2a)x 1x(x 1)2因?yàn)閒(x)在(0,)上為單調(diào)增函數(shù),所以f(x)的(0,)上包成立.即X2 (2 2a)x 1 0在(0,)上恒成立. TOC o 1-5 h z 21當(dāng) x (0,)時，由 x(2 2a)x 1 0,得 2a 2 x .X111僅g(x) x ,x (0,). g(x) x 2 x 2.xx . x所以當(dāng)且僅當(dāng)x 1,即x 1時,g(x)有最小值2. x所以 2a 2 2 a 2.故a的取值范圍是(,2.10分(II)要證 ln m ln n2(m n),只需證lnmm nnm2(1)nm 1

10、n只需證ln m nm 2(- 1) 0. m1n14分設(shè) h(x) In x2(x 1)x 1由(I)知h(x)在(0,)上是單調(diào)增函數(shù)，又m 1,n所以 h(m) h(1)n0,即 ln 一 n2(m 1)nm 1 n0成立.所以 mnIn mIn n18分15.(本小題滿分18分)已知橢圓2C：x2a2y_1 a b 0的左右焦點(diǎn)設(shè)F1, F2與橢圓短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成邊長為4的正三角形.(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(H)過橢圓C上任意一點(diǎn)P做橢圓C的切線與直線FF的垂線FM相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程;(田)若切線MP與直線x=-2交于點(diǎn)N,求證：黑為定值.解析：(I )依題意，2c=a

11、=4,c=2, b= 2v3 ; 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為224上116 12M (x,y)(H )設(shè) P(x0,y。)，由(I ) , Fi( 2,0),設(shè) P(x0,y。)，X。V。過橢圓C上過P的切線方程為：xx Xy 1, 1612直線FF的斜率kF1P y,則直線MFi的斜率kMF1 X0 2于是，則直線MF1的方程為：y l(x 2), y。即 yy。(x。2)(x 2),聯(lián)立，解得X = -8,.二點(diǎn)M的軌跡方程為x = -8. 1。分(m)依題意及(n)，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)可表示為M( 8,Vm)N（ 2，Vn）,點(diǎn)N在切線MP上，由式得Vn點(diǎn)M在直線MF1上,由式得Vm3（x。8）2y。，6（x。2）y。22I NF1 |2 yN29（x。 8）24