實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法第二部分MonteCarlo模擬

1、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法第二部分：Monte Carlo模擬第八章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)第八章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)Monte Carlo算法的一個(gè)重要組成部分：描述所要模擬的物理系統(tǒng)的一些概率密度函數(shù)（PDF) 描述整個(gè)系統(tǒng)在空間、能量、時(shí)間或多維相空間中的發(fā)展和演化；Monte Carlo模擬的主要任務(wù):通過(guò)對(duì)這些概率密度函數(shù)的隨機(jī)抽樣來(lái)模擬物理系統(tǒng)的狀態(tài);為描述系統(tǒng)的演化所必需的一些附加運(yùn)算.物理過(guò)

2、程的描述從描述物理系統(tǒng)的pdf出發(fā)，隨機(jī)抽取系統(tǒng)的可能狀態(tài)。第八章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)本章介紹從一個(gè)任意的pdf獲取樣本的抽樣方法。直接抽樣法（反函數(shù)法）變換抽樣法直接抽樣法的一般形式舍選抽樣法復(fù)合分布的抽樣方法混合抽樣法近似抽樣法（列表法)多維分布的抽樣第八章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)8.1 等價(jià)的連續(xù)概率密度函數(shù)8.1 等價(jià)的連續(xù)概率密度函數(shù)隨機(jī)變量：連續(xù)型、分離型概率密度函數(shù)：連續(xù)分布、分離分

3、布利用函數(shù)，可將分離型的pdf用連續(xù)型的pdf 描述 用同樣的方式來(lái)討論分離型和連續(xù)型隨機(jī)變量的抽樣方法8.1 等價(jià)的連續(xù)概率密度函數(shù)已知分離型pdf: Pi 分離型隨機(jī)變量X的取值為xi的概率定義一個(gè)等價(jià)的連續(xù)型pdf:利用與連續(xù)型隨機(jī)變量相同的方式計(jì)算分離型隨機(jī)變量的期望值和方差：第八章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)8.2 pdf的變換8.2 pdf的變換x: 連續(xù)型的隨機(jī)變量, PDF: f(x)y = y(x)：x的函數(shù), 也是隨機(jī)變量. 求y(x)的概率密度函數(shù)g(x)1、若隨機(jī)變量x和y是一

4、一對(duì)應(yīng)的:2、若隨機(jī)變量x和y不是一一對(duì)應(yīng)的:x, x+dxy, y+dyX的取值在x, x+dx的概率=Y的取值在y, y+dy的概率：取絕對(duì)值是為了保證g(y)是非負(fù)的f(x)dx=g(y)dy 即有n個(gè)區(qū)間x,x+dxy,y+dy 需要對(duì)這n個(gè)區(qū)間求和8.2 pdf的變換3、推廣到n個(gè)隨機(jī)變量的情況:Jacobian行列式4、特例：如果y(x)是x的累積分布函數(shù)(cdf)即：y在0,1區(qū)間上均勻分布 不管f(x)取何種形式, 累積分布函數(shù)總是在0,1區(qū)間上均勻分布第八章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions

5、)8.3 直接抽樣法（反函數(shù)法）（Sampling via Inversion of the cdf）8.3 直接抽樣法（反函數(shù)法）（Sampling via Inversion of the cdf）原理（注意：pdf f(x)必須是歸一化的）：設(shè)y=F(x)為隨機(jī)變量x的累積分布函數(shù) x和y是一一對(duì)應(yīng)的先隨機(jī)抽取y，然后通過(guò)求F(x)的反函數(shù)F-1(y)得到隨機(jī)變量x的值隨機(jī)變量y在區(qū)間0,1上均勻分布 利用0,1區(qū)間上均勻分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器抽取8.3 直接抽樣法（反函數(shù)法）（Sampling via Inversion of the cdf）方法： U0,1: 0,1區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)

6、從U0,1抽取隨機(jī)數(shù)；令F(x)= ;解方程得x：注：需要知道累積分布函數(shù)的解析表達(dá)式，且累積分布函數(shù)的反函數(shù)存在分離型隨機(jī)變量的抽樣直接抽樣法適應(yīng)于分離型的隨機(jī)變量8.3 直接抽樣法（反函數(shù)法）（Sampling via Inversion of the cdf）方法：計(jì)算yk = yk-1 + pk，k = 2,3,N, y1 = p1從U0,1抽取隨機(jī)數(shù)；求滿足yk-1 yk 的K值;隨機(jī)變量的第k個(gè)取值即為欲抽取的值。 0 1p apbpc pd8.3 直接抽樣法（反函數(shù)法）（Sampling via Inversion of the cdf）p3=0.2b3+c3p2=0.3b2+c

7、2p1=0.5b1+c1a例1、粒子衰變末態(tài)的隨機(jī)抽樣設(shè)粒子a有三種衰變方式，其分支比如下隨機(jī)選取每次衰變的衰變方式（衰變道）直接抽樣法 U0,18.3 直接抽樣法（反函數(shù)法）（Sampling via Inversion of the cdf）例2、二項(xiàng)式分布的抽樣方法1：利用上面介紹的直接抽樣法，需計(jì)算累積分布函數(shù)，當(dāng)n很大時(shí)，求和計(jì)算困難;方法2：利用二項(xiàng)式分布的定義產(chǎn)生n個(gè) iU0,1;統(tǒng)計(jì)滿足條件 i p（表示成功）的 i的數(shù)目r，則r表示在n次實(shí)驗(yàn)中成功的次數(shù)r即為二項(xiàng)式分布的抽樣值8.3 直接抽樣法（反函數(shù)法）（Sampling via Inversion of the cdf）

8、例3、泊松分布的抽樣方法1：利用直接抽樣法，但計(jì)算累積分布函數(shù)時(shí)非常復(fù)雜方法2：利用泊松分布的定義：二項(xiàng)式分布的極限形式選取足夠大的n，使p=/n相當(dāng)小，例如，p=0.1產(chǎn)生n個(gè) iU0,1;統(tǒng)計(jì)滿足條件 i Divide(1,2); TH1F * h1 = new TH1F(h1,h1,100,-5.0,5.0); TH1F * h2 = new TH1F(h2,h2,100,-5.0,5.0); SetSeed(9, 11)Const Pi = 3.1415926;for(int i=0; i Fill(y1); h2-Fill(y2); c1-cd(1);h1-Draw(); c1-cd

9、(2);h2-Draw();8.4 變換抽樣法直接抽樣法的一般形式第八章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)8.5 舍選抽樣法（acceptance-rejection sampling)8.5 舍選抽樣法（acceptance-rejection sampling)直接抽樣法的困難：許多隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)無(wú)法用解析函數(shù)給出;有些隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)的反函數(shù)不存在或難以求出；即使反函數(shù)存在，但計(jì)算困難舍選抽樣法：抽取隨機(jī)變量x的一個(gè)隨機(jī)序列xi,i=1,2, 按一定的舍選規(guī)則從中選出一個(gè)子序列，使其滿足

10、給定的概率分布.假定：隨機(jī)變量x的值域?yàn)閍,b;x的概率密度函數(shù)：f(x)=P*(x)/Z, （其中Z為歸一化因子）難以直接抽樣;Q(x)=Q*(x)/ZQ 是另外一個(gè)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)(ZQ為歸一化因子）可用簡(jiǎn)單的方法進(jìn)行抽樣;在x的整個(gè)取值范圍內(nèi)：cQ*(x) P*(x), 其中c為一常數(shù)8.5 舍選抽樣法（acceptance-rejection sampling)抽樣方法：1. 產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)從Q(x)分布抽取 ，a,b;由0, cQ*() 區(qū)間上的均勻分布抽取u，u= cQ*() , U0,1.2. 接收或舍棄取樣值 x.如果 u P*(x)，舍棄，返回到1,重復(fù)上述過(guò)程;否則，接受;8

11、.5 舍選抽樣法（acceptance-rejection sampling)幾何解釋:在二維圖上，隨機(jī)選取位于曲線cQ*(x)下的點(diǎn)x,u；選取位于曲線P*(x)下的那些點(diǎn)，則這些點(diǎn)將服從概率密度為f(x)的分布8.5 舍選抽樣法（acceptance-rejection sampling)常數(shù)c的選取常數(shù)c應(yīng)盡可能地小,因?yàn)槌闃有逝cc成反比;c=maxP*(x)/Q*(x), x a,b特例:如果取Q(x)=1, xa,b, 即均勻分布,則X的抽樣:x=(b-a)r+a, r U0,1c可取為f(x)在a,b區(qū)間上的極大值abxf(x)c抽取r1,r2 U0,1 = a + (b-a)r

12、1r2 f()/cx = 8.5 舍選抽樣法（acceptance-rejection sampling)例1:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的抽樣,x-a,a無(wú)法用直接抽樣法,累積分布函數(shù)無(wú)解析表達(dá)式Breit-wigner or Cauchy分布8.5 舍選抽樣法（acceptance-rejection sampling)由Q(x)抽取x 直接抽樣法抽取u計(jì)算P*(x), 如果u= P*(x), 接受x8.5 舍選抽樣法（acceptance-rejection sampling)float gaussian_reject(double a) const float c = 1.52; while(tru

13、e) float eta = randac(); float x = tan(eta * 2.0 * atan(a)+atan(-a); float q = c * 1/3.1415926*1.0/(1+x*x); float ksi = randac(); float u = ksi*q; float p = 1/sqrt(2*3.1415926)*exp(-x*x/2.0); if(u Divide(1,2); TH1F * h1 = new TH1F(h1,h1,100,-5.0,5.0); for(int i=0; i Fill(x); c1-cd(2);h1-Draw();8.5 舍

14、選抽樣法（acceptance-rejection sampling)AB/2例2：利用舍選法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)C=cos, S=sin,其中為0, 2區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)方法1：先產(chǎn)生0, 2間均勻分布的隨機(jī)數(shù)： = 2 r， rU0,1, 然后直接計(jì)算C和S 因需要計(jì)算三角函數(shù)，故此方法運(yùn)算速度慢方法2：利用舍選法可避免三角函數(shù)運(yùn)算令A(yù)和B為單位圓內(nèi)直角三角形的兩個(gè)邊，則有8.5 舍選抽樣法（acceptance-rejection sampling)因此，只要產(chǎn)生單位圓內(nèi)的隨機(jī)坐標(biāo)A和B,就可用代數(shù)運(yùn)算求出C和S,算法為產(chǎn)生兩個(gè)0,1區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)u1和u2;令v1=2u1-1, v2

15、=u2,則v1U-1,1,v2U0,1;計(jì)算r2=v12+v22, 如果r2 1,轉(zhuǎn)到1，重新產(chǎn)生；令A(yù)=v1, B=v2, 計(jì)算C和S第八章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)8.6 復(fù)合分布的抽樣方法（composition method)8.6 復(fù)合分布的抽樣方法（composition method)1961年由Marsaglia提出的方法設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)f(x)可寫成一些PDF的線性疊加：抽樣方法：利用離散型的隨機(jī)變量的抽樣方法抽取序號(hào)k;由fk(x)抽取x8.6 復(fù)合分布的抽樣方法（co

16、mposition method)例：用復(fù)合法產(chǎn)生雙指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生兩個(gè)0,1區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù) r1和r2;如果r1 0.5, 按f1(x)抽樣；如果r1 0.5, 按f2(x)抽樣；f1(x)和f2(x)都可用直接抽樣法第八章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)8.7 混合抽樣法（mixed method) 8.7 混合抽樣法(mixed method) 混合法：直接抽樣法舍選法亦稱乘抽樣法適用的抽樣場(chǎng)合：直接抽樣法不可用、舍選抽樣法效率低概率密度函數(shù)難以積分無(wú)累積分布函數(shù)的解析表達(dá)式；累積分布函數(shù)的

17、反函數(shù)的解析表達(dá)式不存在；概率密度函數(shù)存在尖峰（spiky);8.7 混合抽樣法(mixed method) 假定：概率密度函數(shù)可寫成下面的因子化形式其中：f(x)包含了p(x)的峰值部分且可用直接抽樣法進(jìn)行抽樣g(x)是一個(gè)相對(duì)變化平緩的函數(shù)，包含了p(x)函數(shù)的大部分的數(shù)學(xué)復(fù)雜性；8.7 混合抽樣法(mixed method) 抽樣方法：1. 將f(x)歸一化：2. 令Mg為g(x)在區(qū)間a,b上的極大值3. 利用直接抽樣法由 抽取x;4 . 抽取0,1區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)r, 如果 ，則接受x, 否則，返回到3重新抽樣8.7 混合抽樣法(mixed method)設(shè)概率密度函數(shù)可寫成如下

18、的形式：推廣的形式：復(fù)合抽樣法+混合抽樣法=乘加抽樣法抽樣方法：1. 采用復(fù)合抽樣法，先確定p(x)的隨機(jī)數(shù)應(yīng)由哪一個(gè) 抽取；2. 在按 抽樣時(shí)，采用上面的混合方法8.7 混合抽樣法(mixed method)例：compton散射微分截面：如何抽取散射光子的能量？=乘加抽樣法8.7 混合抽樣法(mixed method)8.7 混合抽樣法(mixed method) 抽樣方法：r1,r2,r3是三個(gè)在0,1區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)1. 確定由哪一個(gè)f函數(shù)來(lái)抽?。喝绻鹯1抽樣方法：第八章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)8.9 多維分布的抽樣8.