《線性代數(shù)》矩陣的運(yùn)算與概念課件

1、2.2 矩陣的運(yùn)算與概念，這個(gè)表就稱為矩陣.a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2am1 am2 amn bm這些有序數(shù)組可以構(gòu)成一個(gè)表 在某些問題中，存在若干個(gè)具有相同長(zhǎng)度的有序數(shù)組.比如線性方程組的每個(gè)方程對(duì)應(yīng)一個(gè)有序數(shù)組：a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm 2.1 矩陣的概念說明2點(diǎn)：矩陣的行數(shù)與列數(shù)不一定相同，而行列式兩者必須相同.矩陣是一個(gè)數(shù)表，而行列式是一個(gè)數(shù)值.其中 aij 稱為矩陣的第 i 行第 j 列的元素. 一般情況下，我們用大寫

2、字母 A，B，C 等表示矩陣.mn矩陣A簡(jiǎn)記為 A(aij)mn 或記作 Amn .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn 定義1 由 mn 個(gè)數(shù) aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成一個(gè) m 行 n 列的矩形表稱為一個(gè) mn 矩陣，記作什么是矩陣？黑客帝國(guó)3The matrix revolution機(jī)器帝國(guó)集結(jié)了烏賊大軍攻打真實(shí)世界僅存的人類城市錫安城，錫安城內(nèi)的人類拼死抵抗，但最后仍是兵敗如山倒；另一方面，電腦人史密斯進(jìn)化成為更高等的電腦病毒，幾乎占領(lǐng)了整個(gè)矩陣（Matrix），甚至包括了“矩陣之母”先知。經(jīng)過與先知密談的救世主尼奧進(jìn)入機(jī)

3、器城市，與矩陣的造物主達(dá)成停戰(zhàn)協(xié)議。代價(jià)是尼奧必須進(jìn)入矩陣，刪除叛逃異變的強(qiáng)大病毒史密斯。零矩陣 所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.行矩陣與列矩陣 只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣.常用小寫黑體字母 a，b，x，y 等表示.例如a=(a1 a 2 an)， b1b2bm b =.負(fù)矩陣-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn稱矩陣為A的負(fù)矩陣,記作 A.b11b21 bn10b22bn2 00bnnB=.A=.a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann 如下形式的 n 階矩陣稱為上三角矩陣.三角矩陣 如下形

4、式的 n 階矩陣稱為下三角矩陣.方陣 若矩陣 A 的行數(shù)與列數(shù)都等于 n，則稱 A 為 n 階矩陣，或稱為 n 階方陣.a110 00a220 00annA= .對(duì)角矩陣 如下形式的 n 階矩陣稱為對(duì)角矩陣. 對(duì)角矩陣可簡(jiǎn)單地記為A=diag(a11, a22, , ann) . 單位矩陣(Identity matrix) 如下形式的 n 階矩陣稱為單位矩陣，記為 En 或 E.10 0010 001E = .2.2 矩陣的運(yùn)算 定義1 設(shè)A與B為兩個(gè)mn矩陣ABa11+b11 a12+b12 a1n+b1n a21+b21 a22+b22 a2n+b2n am1+bm1 am2+bm2 am

5、n+bmn=.a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB=， A與B對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的mn矩陣稱為矩陣A與B的和，記為AB.即C=A+B .1. 矩陣的加法 設(shè)A,B,C都是mn矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如下運(yùn)算規(guī)律： （1）交換律： A+B=B+A;（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C); （3）A+O=A，其中O是與A同型的零矩陣; 矩陣的減法可定義為: 顯然：若A=B，則A+C=B+C，A-C=B-C； 若A+C=B+C，則A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是與A同

6、型的零矩陣. a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=， 定義2 設(shè)A(aij)為mn矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的mn矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA.即ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA=.2. 數(shù)與矩陣的乘法(5) k(AB)kAkB；(6) (kl)AkAlA ；(7) (kl)Ak(lA)；(8) 1A=A . 設(shè)A，B，C，O都是mn矩陣，k，l為常數(shù)，則矩陣數(shù)乘的性質(zhì)性質(zhì)(1)-(8)，稱為矩陣線性運(yùn)算的8條性質(zhì)，須熟記. 例1設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A=

7、，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，求3A-2B . 解：3A-2B 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3= 31 3 2 02 1 5 70 6 4 8-22 6 4 04 2 10 140 12 8 16-9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = .7 9 17 62 -2 2 -50 -9 -2 -7=9-2 15-6 21-4 6-06-4 0-2 12-10 9-140-0 3-12 6-8 9-16 = X = *(B-A) 例2已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，且A+2X=

8、B，求X . 解：某廠家向A, B, C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品. 18000 = 18000 20200 +50100 +30150 +25180 3. 矩陣的乘法 某廠家向A, B, C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品. 18000 18150 = 18150 20180 +50120 +30160 +25150 3. 矩陣的乘法 某廠家向A, B, C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品. 18000 18150 16750 = 16750 20190 +50100 +30140 +25150 3. 矩陣的乘法 某廠家向A, B, C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品. 18000 18150 16750 10480 = 1

9、0480 16200 +20100 +16150 +16180 3. 矩陣的乘法 某廠家向A, B, C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品. 18000 18150 16750 10480 10240 = 10240 16180 +20120 +16160 +16150 3. 矩陣的乘法 某廠家向A, B, C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品. 18000 18150 16750 10480 10240 9680 = 9680 16190 +20100 +16140 +16150 3. 矩陣的乘法 定義3 設(shè)A是一個(gè)ms矩陣，B是一個(gè)sn矩陣：構(gòu)成的mn矩陣C 稱為矩陣 A 與矩陣 B 的積，記為CAB . 則由元

10、素 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnB=，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnAB=.即3. 矩陣的乘法 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12

11、 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn= ai1b1jai2b2j aisbsj .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 注： A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義; C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù). 因此， cij 可表示為 A 的第 i 行與 B 的第 j 列的乘積.cij3. 矩陣的乘法 矩陣乘法AB ： 1.條件： 前列=后行 2.結(jié)果：前行后列 反例設(shè)B = . 1 -2 -32 -1 0A= ，0 10 -11 21 51 -2 -32 -1 0則 AB= 0 10 -11 21 5= 無意義.m kk n相等m nB = ，求AB及BA . A=

12、 ， 例3設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78（1）先行后列法B = ，求AB及BA . A= ， 例3設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-3（1）先行后列法B = ，求AB及BA . A= ， 例3設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法B = ，求AB及BA . A= ， 例3設(shè)2 31 -23 11 -2 -32

13、 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-38（2）先列后行法B = ，求AB及BA . A= ， 例3設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-38-70-7（2）先列后行法B = ，求AB及BA . A= ， 例3設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B = ，求AB及BA . A= ， 例3設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 02 31 -23 11 -2 -32 -1

14、 0BA=4-983 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法 例6設(shè)A= ，4-2-21B= ，求AB及BA . 4 2-6-3AB=4-2-214 2-6-3 解：-32 -16168=BA=4-2-214 2-6-30 000=B = ，求AB及BA . A= ， 例3設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983. 例4設(shè)A= ，4-2-21B= ，求AB及BA . 4 2-6-3AB= 解：-32 -16168，BA=0 000B = ，求AB及BA .

15、A= ， 例3設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩陣乘法一般不滿足交換律，即ABBA ;注3：兩個(gè)非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣，但不能從AB=O，推出A=O或B=O .注意：左乘右乘的不同1110 例5設(shè)A= ，B= ，求AB及BA . 2110 解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=顯然AB=BA .定義：如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換.顯然AC=BC，但AB . 例6設(shè)注4： 矩陣乘法不滿足消去律.例8.1 0 00 0 00 0 1設(shè)A =則AA

16、 =1 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 1= A .顯然AA=A，但AE，A O . 例7 對(duì)于任意矩陣A及相應(yīng)的矩陣O，E，有AO=O， OA=O；AE=A， EA=A， EE=E.a11x1+a12x2+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+a2nxn = b2 as1x1+as2x2+asnxn = bsb = b1 b2 bs a11 a12 a1na21 a22 a2n as1 as2 asnA = Ax = b x = x1 x2 xn 例9. 線性方程組的矩陣表示（矩陣方程）應(yīng)注意的問題(1) ABBA ；(3) AB=

17、OA=O或B=O ； / (2) AC=BCA=B； / 矩陣乘法的性質(zhì)(4) AA=AA=E或A=O . / (1) (AB)C=A(BC)；(2) (A+B)C=AC+BC；(3) C(A+B)=CA+CB；(4) k(AB)=(kA)B=A(kB) .4.方陣的冪 對(duì)于方陣A及自然數(shù)k Ak=AA A (k個(gè)A相乘)，稱為方陣A的k次冪. 方陣的冪有下列性質(zhì)： (1)ArAs=Ar+s； (2) (Ar)s=Ars .問題：(A+B)2=? (A B)2 = A2 AB BA + B2 注: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2 (A

18、 + B)(A B) = A2 AB + BA B2 定義4 將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A. 即如果a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A =，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =則. 例如，設(shè)x=(x1 x2 xn)T，y=(y1 y2 yn)T，則(y1 y2 yn )xyTx1x2xn =x1y1x2y1xny1 x1y2x2y2xny2 x1ynx2ynxnyn .5. 轉(zhuǎn)置矩陣及對(duì)稱方陣顯然，ETE.轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì) (1)(AT)T=A； (2)(A+B)T=AT+BT； (3)(kA)T=kAT；a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A =，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =則. 定義4 將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置