數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念（鳳山書屋）

1、robabilityprobability第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念6.1 總體、樣本與統(tǒng)計(jì)量6.2 常用統(tǒng)計(jì)分布 一、引言數(shù)理統(tǒng)計(jì)以概率論為理論基礎(chǔ),研究 2) 研究如何合理地分析隨機(jī)數(shù)據(jù)從而作出科學(xué)的推斷 (稱為統(tǒng)計(jì)推斷).6.1 總體、樣本與統(tǒng)計(jì)量 1）研究如何以有效的方式收集和整理隨機(jī)數(shù)據(jù);數(shù)理統(tǒng)計(jì)的引入 兩類工作有密切聯(lián)系.將主要介紹統(tǒng)計(jì)推斷方面的內(nèi)容.總體：研究對(duì)象的全體所組成的集合.個(gè)體：組成總體的每個(gè)單位元素. 例1 要考察本校男生的身體情況，則將本校的所有男生視為一個(gè)總體，而每一位男生就是一個(gè)個(gè)體.二、總體 如，關(guān)心電子元件的壽命，則壽命 X 為其一個(gè)數(shù)量指標(biāo)，且 X 是服從

2、指數(shù)分布的隨機(jī)變量. 例2 考察某廠生產(chǎn)的電子元器件的質(zhì)量，將全部產(chǎn)品視為總體，每一個(gè)元器件即為一個(gè)個(gè)體. 通常需要對(duì)總體的一項(xiàng)或幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行研究. 如僅考慮男生的身高和體重(X, Y) ,不考慮男生的視力、胸圍等. 以后將(實(shí)際)總體和數(shù)量指標(biāo)X等同起來.總 體 是 隨 機(jī) 變 量 由于上述數(shù)量指標(biāo)往往是隨機(jī)變量，具有一定的分布.總體分布是指數(shù)量指標(biāo) X的分布.三、樣本 一般，從總體中抽取一部分(取 n 個(gè))進(jìn)行觀測，再依據(jù)這 n個(gè)個(gè)體的試驗(yàn)(或觀察)的結(jié)果去推斷總體的性質(zhì). 樣本: 按照一定的規(guī)則從總體中抽取的一部分個(gè)體.抽樣：抽取樣本的過程.樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目 n . 將第

3、i 個(gè)個(gè)體的對(duì)應(yīng)指標(biāo)記為 Xi，i=1,2, , n, 構(gòu)成的隨機(jī)向量 (X1 , X2 , , Xn )稱為樣本. 樣本是一組隨機(jī)變量，其具體試驗(yàn)(觀察)數(shù)值記為：x1 , x2 , , xn ，稱為樣本觀測值，簡稱樣本值.為使樣本具有代表性，抽樣應(yīng)滿足什么條件從民意測驗(yàn)看抽樣?（1）Xi 與總體同分布；（2） X1 , X2 , , Xn 相互獨(dú)立. 定義6.1.1 設(shè)X1 , X2 , , Xn是來自總體X的樣本，如果相互獨(dú)立且每個(gè)分量與總體同分布，稱其為簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本. 若總體X的分布函數(shù)為 F(x), 則樣本X1 , X2 , , Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為# 故 ( X1 , X

4、2 , , X5 ) 的聯(lián)合分布律為PX1=x1 , X2 =x2, , X5 =x5解：因判斷統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量且不含未知參數(shù)，稱 T為統(tǒng)計(jì)量. 對(duì)相應(yīng)的樣本值( x1 , x2 , , xn ) ，稱 t =T( x1 , x2 , , xn ) 為統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)值.四、統(tǒng)計(jì)量 定義6.1.2 設(shè)X1 , X2 , , Xn是總體X的樣本，T為n元實(shí)值函數(shù)，若樣本的函數(shù)T=T(X1 , X2 , , Xn) 例 1 設(shè)總體 X B( 1 , p )，其中 p 是未知參數(shù)， ( X1 , X2 , , X5 ) 是來自 X 的簡單隨機(jī)樣本， 1) 指出以下變量哪些是統(tǒng)計(jì)量，為什么？2) 確定(

5、X1 , X2 , , X5 ) 的聯(lián)合概率分布？解 只有 不是統(tǒng)計(jì)量,因 p 是未知參數(shù).總 體 是 隨 機(jī) 變 量 統(tǒng)計(jì)量 是 隨機(jī)變量(或向量）樣 本 是 隨 機(jī) 向 量樣本均值： 樣本方差：常見統(tǒng)計(jì)量：樣本 k 階原點(diǎn)矩： 樣本k階中心矩：統(tǒng)稱樣本矩幾個(gè)重要關(guān)系式：X, S2, Ak, Bkx, s2, ak, bk統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)值 思考 樣本矩與總體矩 (即第四章中定義的矩) 的概念有什么區(qū)別？ 樣本矩 是 隨機(jī)變量! 總體矩 是 數(shù)值!總體、個(gè)體簡單隨機(jī)樣本統(tǒng)計(jì)量 求樣本的聯(lián)合分布律或密度函數(shù)樣本均值樣本方差樣本矩?cái)?shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 的 引 入 某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中次品率為 p 。從中抽取

6、10件產(chǎn)品裝箱。1）沒有次品的概率2）平均有幾件次品概 率3）為以 0.95的概率保證箱中有10件正品，箱中至少要裝多少件產(chǎn)品。所有這些問題的關(guān)鍵是 p 是已知的！如何獲取 p ?這就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)了！一個(gè)很自然的想法就是：首先從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。怎樣隨機(jī)抽取這屬于抽樣理論與方法問題。本書不討論。其次利用概率論的知識(shí)處理實(shí)測數(shù)據(jù)。 如何分析、處理實(shí)測數(shù)據(jù)。這屬于統(tǒng)計(jì)推斷的問題。也是我們研究的內(nèi)容。統(tǒng)計(jì)推斷常解決的問題：1）如何估計(jì)次品率 p ?2）如果以 p 0.01為出廠的標(biāo)準(zhǔn)，這批產(chǎn)品能否出廠？數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 的 引 入?yún)?shù)估計(jì)問題假設(shè)檢驗(yàn)問題#6.2 常用統(tǒng)計(jì)分布上側(cè)分位

7、數(shù)u ( 0 1）滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布一、四種常用統(tǒng)計(jì)分布對(duì)于正態(tài)分布有：上側(cè)分位點(diǎn)u陰影部分面積為查表 如 0.025 時(shí)， u？ 例6.2.1 設(shè)隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布N(0,1), 對(duì)給定的(0 45 )時(shí)，有2(n) 的上側(cè)分位數(shù)( 0 1 )：陰影部分面積為例6.2.3 查表計(jì)算概率注意 應(yīng)注意分布表的定義與查法！#3.自由度為 n的 t 分布Tt(n) 又稱學(xué)生氏分布-第一個(gè)研究者以Student作筆名發(fā)表文章.即隨機(jī)變量 T 服從自由度為 n 的 t 分布. 定理2 設(shè)隨機(jī)變量X, Y 相互獨(dú)立, X N(0,1)，Y 2(n)，則結(jié)構(gòu)定理陰影部分面積為t (n) 的上側(cè)分位數(shù) t

8、 (n) ( 0 1 )：T 分布的特點(diǎn)：1.關(guān)于縱軸對(duì)稱：例 查表計(jì)算：t- t= t1-因 =PTt=PT-t=1- PT -t故 PTt=1.即 t= - t1-例 查表計(jì)算： 2. n 較大時(shí)， 4. F 分布 F F ( n1 , n2 ) 稱X 服從第一自由度為n1,第二自由度為n2的F分布. 定理3 設(shè)隨機(jī)變量X，Y 相互獨(dú)立， X 2(n1) ，Y 2(n2)，則即隨機(jī)變量 F 服從第一自由度為n1，第二自由度為n2 的F分布.結(jié)構(gòu)定理F ( n1 , n2 )的上側(cè)分位數(shù)F ( n1 , n2 ) ( 0 1 )：陰影部分面積為推論1推論2證二、抽樣分布定理定理1應(yīng)用例定理2設(shè)正態(tài)總體 X 與 Y 相互獨(dú)立， X , 樣本為(X1,X2， X n1),樣本均值和樣本方差為 ； Y ，樣本為( Y1,Y2， Y n2)，樣本均值和樣本方差為 .有分析證明: (2) 服從正態(tài)分布