金融工程學(xué)課件：1-4 預(yù)備知識

1、一、債券利率第一章：第四節(jié) 預(yù)備知識1.單利和復(fù)利 投資者投入資金或購買某種債券，期望本金經(jīng)過一段時間后能夠增值。債券的價格是指投資者為取得這筆收入目前愿意投入的資金。如果按照某種方式計(jì)算出來的這筆收入的現(xiàn)在價值高于當(dāng)前的債券購買的市場價格，則投資是合算的。一筆收入的未來值與現(xiàn)值的差額即所謂資金的時間價值，即投資者的利息收入。假設(shè)投資的利率為R，若進(jìn)行一項(xiàng)為期n年的投資P0，到第 n 年時的貨幣總額為 復(fù)利計(jì)算 （1）（2）或 單利計(jì)算 式中：Pn為從現(xiàn)在開始n時期后的未來值； P0為本金； R為每期利率；n為時期數(shù)。反過來，如果已知一筆收入的將來值 Pn，R 利率，n期數(shù)，則可求得的該筆收入

2、的現(xiàn)值： 這里需要指出的是單利在期限中間獲得的利息收益不進(jìn)行再投資，而復(fù)利方式在期限中所獲得的利息則要進(jìn)行再投資。 （3）（4）2.一年內(nèi)支付 k 次則復(fù)利計(jì)算公式如果把這種一年多次支付利息看成為是連續(xù)均勻的支付過程,則有：例：P=100, n=1, R=0.10, 則 P 以連續(xù)復(fù)利計(jì)息將增加到： （5）（6） 上述連續(xù)復(fù)利計(jì)算結(jié)果與用每天計(jì)復(fù)利得到的結(jié)果一樣。因此，通常認(rèn)為連續(xù)復(fù)利與每天計(jì)復(fù)利等價。對一筆以利率R連續(xù)復(fù)利n年的資金，其結(jié)果是乘上 。 一筆以利率R連續(xù)復(fù)利貼現(xiàn) n 年的資金，則應(yīng)乘上 。 假設(shè) R1是連續(xù)復(fù)利的年利率 R2是每年計(jì)k次復(fù)利的年利率 假設(shè)k足夠大，忽略（5）和（

3、6）的差，我們有： 則有：或即 3 . 到期收益率 我們知道資本利得與利息收益兩者之和是債券的總回報。 通常使用到期收益率來測定投資者的債券收益。到期收益是使所有未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值等于債券購買市價的折現(xiàn)率。它是衡量將債券持有至到期日止的情況下所得收益率的指標(biāo)。投資者完全地和適時地收到發(fā)行者承諾的所有現(xiàn)金流。 在市場價格為P0元、利息收益為C元、到期時償還額為M元、距到期日止的期限為n期，到期收益率可以用滿足下式條件的來定義： 假定市場價格是102.95元，償還額為100元，利息率為7.6，求殘存期限為2年的息票債的最終收益率。其中，利息收益在年末支付；且每年一次。設(shè)最終收益率為 ，根據(jù)收益率的定

4、義式得： 因?yàn)樯鲜綖槎畏匠淌?，故有兩個根，一個是負(fù)根不合題意，另一個根求出約為0.06，即最終收益率為6%。一般在期限為t的情況下，方程式就是t次的多項(xiàng)式。求解的方法之一就是采用迭代法。 整理得： 將任意正值代入方程式，如果方程式的值大于零，說明的取值過大，應(yīng)縮?。欢绻匠痰闹敌∮诹?，則說明的取值過小，應(yīng)增大。如此反復(fù)，直至取值滿意為止。 近似到期收益率計(jì)算公式：據(jù)上例 ：4.債券的內(nèi)在價值 債券作為固定收入證券吸引了許多投資者，這是因?yàn)閭峁┙o投資者穩(wěn)定的利息所得流和到期時的本金回報。除非發(fā)行者違約，投資者總能按時收到息票利息并且到期時收回本金。因此，在進(jìn)行債券分析時，首先要決定債券的

5、價值和測定債券的收益。 債券內(nèi)在價值的估計(jì)值是證券代表的資產(chǎn)產(chǎn)生的預(yù)期現(xiàn)金流的現(xiàn)值。如利息或股息，或只是最終價格或贖回值，或它們的一個組合。要確定證券的價格，就要估計(jì)它的內(nèi)在價值。 這些折現(xiàn)的現(xiàn)金流之和是內(nèi)在價值的估計(jì)值。 因此，可表示為 其中： V 一 證券現(xiàn)值； 一 t 時期的預(yù)期現(xiàn)金流； 一 投資者的應(yīng)得回報率或折現(xiàn)率； 一 預(yù)期的時期數(shù)目。 從上式可以看出，為得到證券的內(nèi)在價值的估計(jì)值，需要確定以下三個因素： 預(yù)期現(xiàn)金流: 股息、利息、到期收到的面值或在未來時點(diǎn)上的預(yù)期價格。 時機(jī) 是指能夠確定證券回報出現(xiàn)的時點(diǎn)以及到期期限。 折現(xiàn)率 或投資者要求的應(yīng)得回報率(必要收益率)反映貨幣的時

6、間價值和這個證券的風(fēng)險。它是機(jī)會成本，即投資者在相同期限和相同信用程度的類似證券中賺取的現(xiàn)時市場利率。因此，市場利率直接體現(xiàn)在折現(xiàn)率中。 5. 即期利率與遠(yuǎn)期利率 （1）即期利率 n 年期的即期利率是從今天開始計(jì)算并持續(xù)n年期限的投資的利率。比如3年期即期利率是投資 持續(xù)3年的利率，利息和本金 在n年末一次支付給投資者，中間沒有支付所使用的利率。 一般來說，n年投資的即期利率可通過下式求解Rn：或者0即期利率零息票債券的到期收益率即可見零息票債券的到期收益率即為即期利率。 對于到期期限較長的附息票債券，知道了一年期的即期利率R1（可由一年期貼現(xiàn)發(fā)行的國庫券來求得），即可計(jì)算出兩年期的即期利率R

7、2：式中：C1 : 債券第一年所付票息。 同理，可求出其他投資期限的即期利率Rn，只要求解下列方程 這種方法稱為息票剝離法（Bootstraping），其結(jié)果不一定與實(shí)際相符，但通常該差異可忽略不計(jì). （2）遠(yuǎn)期利率 一種合約，它是由現(xiàn)在簽訂的，規(guī)定從現(xiàn)在起的 t 年后將資金貸出，在 T（ t）年后償還所使用的利率。遠(yuǎn)期利率是由當(dāng)前即期利率隱含的將來時刻的一定期限的利率。比如第二年的遠(yuǎn)期利率是隱含在第一年末和第二年末之間期限的利率。設(shè)f1,2 ，即為第一年末到第二年末這一期間的隱含遠(yuǎn)期利率?？梢姡荒昶诩雌诶?R1 ，兩年期即期利率 R2 及第一年到第二年遠(yuǎn)期利率 f1,2 的關(guān)系為：在連續(xù)

8、復(fù)利計(jì)息條件下，計(jì)算遠(yuǎn)期利率公式 設(shè) 是 T 年期即期利率； 是 年期即期利率，且 T； A 為面值； 為期限為（ ）期間的遠(yuǎn)期利率，在不存在無風(fēng)險套利情況下，必有： 解得：二、債券利率期限結(jié)構(gòu)第一章 第五節(jié)1.債券利率期限結(jié)構(gòu)定義 債券的利率（票面利率或息票利率）通常在發(fā)行時即已確定，而債券的價格則隨著市場利率的變動而變動。市場利率的變動直接影響著投資者的收益率。因此，正確分析和預(yù)測未來市場利率的變動趨勢對債券發(fā)行者和投資者都至關(guān)重要，也是正確評價債券價格的主要部分。 不同的債券有不同的期限，債券的期限不同，其到期收益率也可能不同。我們把同一時點(diǎn)上，除期限外其他條件相同的債券的到期收益率與期

9、限之間的關(guān)系稱為利率的期限結(jié)構(gòu)（the Term Structure of lnterestrates）。 用圖形表示的利率期限結(jié)構(gòu)稱收益率曲線。 收益率曲線形狀可以分為四個基本類型: A正常收益曲線； B負(fù)收益曲線； C弓形型收益曲線； D水平收益曲線。 圖中 i 表示債券利率，n 表示債券年限。收益率曲線的形狀包含了未來利益的信息，所以了解收益率曲線和收益率曲線的決定因素對于投資者非常重要。圖 1.5.1 收益率曲線的四種形態(tài)2.利率期限結(jié)構(gòu)理論 對利率期限結(jié)構(gòu)的解釋有三種理論，它們是純預(yù)期理論。流動性補(bǔ)償理論和市場分割理論。 (1）純預(yù)期理論假設(shè)：債券交易不考慮成本 沒有違約 短期利率的

10、未來變化趨勢是可以預(yù)期的（上升或下跌） 債券未來利率水平的預(yù)期是確定的 可以自由套利 純預(yù)期理論認(rèn)為：在上述假設(shè)下，長期債券的到期收益與短期債券的平均收益大致相等。 例如，市場有1年期和2年期債券，其年利率分別為3和4，如果投資者有一筆金額10 000元、預(yù)計(jì)有兩年閑置期。此時他有兩種方案可供選擇，買進(jìn)2年期債券，或買進(jìn)1年期債券，待其到期后，再買進(jìn)另一新的1年期債券。根據(jù)投資收益平衡（無套利）的要求，如果他買進(jìn)1 年期債券，那么，1年過后，新的1年期債券的年利率必須在 5以上。否則，他將選擇2年期的債券。 因?yàn)槿绻徺I兩年期的債券，其收益為 10 000 (1+4)210 816元 而購買

11、1 年期債券，第一年的收益為 10 000 (13)10 300元 第二年購買的新債券利率為5時，他的總收益也只有 10 300 (15) =10 815元 比第一種投資方案還少得1元。所以，新債券的利率在5以上，他才可能做第二種選擇。 由于市場自由競爭，交投雙方的不斷套利，使得在資金閑置期間，資本所有人在兩種選擇上大致可以獲得相等的預(yù)期收益。此時即有： 10 000 (1r2) 2 =10 000 (1r1) (1f1,2)即： (1r2) 2 = (1r1) (1f1,2)或： 1r2 = (1r1) (1f1,2) 1/2 式中： 為n年期債券的市場利率； 為在第 t 年的預(yù)期利率，稱為

12、第 t 年的遠(yuǎn)期利率。 一般： 市場預(yù)期理論認(rèn)為：遠(yuǎn)期利率即是市場整體對未來短期利率的預(yù)期，即 在市場均衡條件下，有 投資于n年期債券的到期收益相當(dāng)于重復(fù)轉(zhuǎn)投資于一年期債券所獲得的收益，即 假設(shè)目前一年期債券利率為6，第二年期望利率為8，第三年期望利率為9，那么三年期債券的市場利率應(yīng)為： 預(yù)期理論認(rèn)為，證券期限對投資者是無差別的，確定長期債券利率是高于或低于短期債券的唯一因素是投資者對未來利率的期望。 預(yù)期理論的基本結(jié)論：債券的長期利率或利率的平均水平是短期利率的函數(shù)。預(yù)期理論對收益率曲線的解釋如下： （1）如果預(yù)期未來每年的短期利率一樣，那么，現(xiàn)期長期利率就等于現(xiàn)期短期利率，收益率曲線表現(xiàn)為

13、一條直線。 （2）如果未來的短期利率預(yù)期要上升，那么，現(xiàn)期長期利率將大于現(xiàn)期短期利率，收益率曲線表現(xiàn)為一條向上傾斜的曲線。 （3）如果未來的短期利率預(yù)期要下降，那么，現(xiàn)期長期利率將小于現(xiàn)期短期利率，收益率曲線表現(xiàn)為一條向下傾斜的曲線。 (2）流動性補(bǔ)償理論 流動性補(bǔ)償理論認(rèn)為期望固然重要，但是決定利率結(jié)構(gòu)的一個重要因素是投資者對流動性風(fēng)險的回避，投資者相對來說更偏好短期債券，因?yàn)楫?dāng)市場利率波動時，長期債券的利率風(fēng)險更大。因此，投資者對長期債券所要求的收益率也必然比短期債券的要求收益率高。 這種因債券到期期限的長短而導(dǎo)致的要求收益率的差距，稱為債券的流動性補(bǔ)償。在其他條件相同的情況下，短期債券的

14、市場利率要低于長期債券的市場利率，收益率曲線向上傾斜。 流動性補(bǔ)償理論和純預(yù)期理論并不矛盾，純預(yù)期理論又可稱為無偏見期望理論，流動性補(bǔ)償理論考慮了投資者的流動性偏好，從而對純預(yù)期理論做出了必要的修正和補(bǔ)償，兩者結(jié)合，可以更好地解釋債券市場的實(shí)際操作情況。流動性偏好純預(yù)期理論 根據(jù)預(yù)期理論，收益率曲線可能向上傾斜，可能保持水平，也可能向下傾斜?？紤]了流動性補(bǔ)償后，前兩種收益率曲線都應(yīng)該向上傾斜 ，而第三種曲線則應(yīng)比較流動性補(bǔ)償大小和原來向下傾斜程度，以決定傾斜的方向。 (3）市場分割理論 市場分割理論認(rèn)為不同的債券投資者對債券的期限有不同的偏好。例如，商業(yè)銀行和企業(yè)偏好短期資金，貸款機(jī)構(gòu)偏好中期

15、資金。養(yǎng)老金及保險公司偏好長期資金。當(dāng)投資者專門投資于某一部分市場時，能夠節(jié)省信息成本和轉(zhuǎn)換成本。 所以，根據(jù)期限的不同，市場分割成一些相互獨(dú)立的部分，每一部分市場的利率完全由這部分市場的供給和需求決定。該理論的收益率曲線如圖1.5.2所示。如果市場的不同部分是完全相互獨(dú)立的，則收益率曲線可能會由互不相連的一些線段構(gòu)成。但是在實(shí)際中沒有出現(xiàn)過這種形式的收益率曲線。在不同市場的接合部，投資者可以將期限稍有不同的債券看成是互相替代的。如果收益率曲線呈現(xiàn)出圖所示的形式，就存在套利的機(jī)會。套利的投資活動將使收益率曲線變成不間斷的曲線。圖 1.5.23.收益率曲線與利率期限結(jié)構(gòu) 對于具有相同信用風(fēng)險和不

16、同期限結(jié)構(gòu)的債券，描述其收益率與期限間關(guān)系的曲線稱之為收益率曲線。由于國債的信用風(fēng)險極小，所以由國債收益率與期限來構(gòu)建的收益率曲線充分反映了期限對收益率的影響。市場交易者談到“收益率曲線”一般指的都是國債收益率曲線。 收益率曲線：是付息票債券的收益率與其期限的關(guān)系。 利率期限結(jié)構(gòu)：描述零息票債券的收益率與期限的關(guān)系。 我們知道零息票債券的收益率實(shí)際等于即期利率。(1) 遠(yuǎn)期利率、 零息票債券與附息票債券的關(guān)系 零息票收益率曲線 零息票收益率曲線（zero coupon yield curve）是表示即期利率（即零息票收益率）與到期日之間關(guān)系的曲線。圖1.5.3 表示了表1.5.1 中數(shù)據(jù)的零息

17、票收益率曲線，區(qū)分零息票收益率曲線與附息票債券收益率曲線是很重要的。在圖 1.5.3 所示的情況下，收益率曲線是向上傾斜的，零息票收益率曲線總是在附息票債券收益率的上面。這是因?yàn)榱阆默F(xiàn)金流總是到最后才支付，而同樣期限的附息票債券現(xiàn)金流在到期前各期支付。 由于收益率曲線是向上傾斜的，前者所使用的貼現(xiàn)率（再投資利率）比后者要高。年(n)n年的即期利率%n年的遠(yuǎn)期利率%110.0210.511.0310.811.4411.011.6511.111.5表1.5.1 遠(yuǎn)期利率的計(jì)算我們可以將連續(xù)復(fù)利計(jì)息條件下，遠(yuǎn)期利率公式改寫為這表明, 如果收益率曲線是向上傾斜，即遠(yuǎn)期利率高于零息票收益率(即期利

18、率)。 圖1.5.4圖1.5.3 表1.5.1中數(shù)據(jù)的零息票收益率曲線 圖1.5.4是當(dāng)收益率曲線向上傾斜時的零息票收益率曲線、附息票債券的收益率曲線和遠(yuǎn)期利率曲線。由于上述理由， 遠(yuǎn)期利率曲線 零息票收益率曲線 零息票收益率曲線 附息票債券的收益率曲線 圖1.5.5說明了當(dāng)收益率曲線向下傾斜的情況。類似在向上傾斜收益率曲線中的討論，可知在收益率曲線向下傾斜情況下，附息票債券的收益率曲線在零息票收益率曲線之上，而零息票收益率曲線又在遠(yuǎn)期利率曲線之上。圖1.5.5(2)建立利率期限結(jié)構(gòu)的“剝離法” 現(xiàn)假設(shè)有10種(零息票和付息票)國庫券，相關(guān)資料如表所示。一個長期附息債券可以分解為多個零息票債券

19、的組合。 現(xiàn)在已知0.5和1年期的零息國庫券的收益率或即期利率為0.08和0.083。1.5年期付息國庫券可以拆分為0.5、1和1.5年期的現(xiàn)金流分別為4.25、4.25和104.25的三個零息債券現(xiàn)值之和，其值應(yīng)與1.5年期的國庫券價格$99.45相同。由此我們可以求出1.5年期零息國券的即期利率?，F(xiàn)設(shè)1.5年期付息國庫券市場價格為99.45 ，則 由表4.1:將數(shù)據(jù)代入上式可求得。即有1.5年期的即期利率R3為0.08930。期限（年）息票率到期收益率價格0.50.00000.08096.15010.00000.08392.1901.50.08500.08999.45020.09000.0

20、9299.6502.50.11000.094103.4930.09500.09799.4903.50.10000.100100.00040.10000.10498.7204.50.11500.106103.16050.08750.10892.240表4.110種期限的債券設(shè)2年期的國債市場價格為 99.65，則求得： 。即有2年期的即期利率為9.247%。同理可有：求得： 由此，我們可得出零息票債券的不同期的理論即期利率，即構(gòu)造出一個利率期限結(jié)構(gòu)。期限（年）到期收益率理論即期利率0.50.0800.0800010.0830.083001.50.0890.0893020.0920.092472.

21、50.0940.0934730.0970.094683.50.1000.1012940.1040.105924.50.1060.1085050.1080.11021表4.2理論即期利率收益率曲線在債券分析中的用途： 利率期限結(jié)構(gòu)是評價其它債券的基礎(chǔ)，為其它債券確定合理價格和利率提供依據(jù)。公司債券的發(fā)行者借此結(jié)構(gòu)可以決定合理的發(fā)行利率?？梢詮哪壳袄势谙藿Y(jié)構(gòu)中，觀察市場對遠(yuǎn)期利率的預(yù)期。 尋找一種比其他債券收益率高的債券。如果發(fā)現(xiàn)了某種債券的收益高于其他債券，而且該債券收益率脫離了收益率曲線會很快回落。這種債券便是一種比較好的投資對象，因?yàn)椴痪弥?，伴隨著收益的下降，它的價格將會上升，會給投資者帶來資本收益。尋找發(fā)行新債券的有利時機(jī)?；I資資者不僅通過觀察市場得知各種債券的收益率是多少，而且對已公開發(fā)行并售出的到期日債券總量也有所把握，將兩因素綜合，找出一種最易于被投資者吸收、需求量較大的債券，在收益率比較理想的時刻，向市場推出。為在具有不同期限的各種債券中選擇最佳投資對象提供了分析依據(jù)。如果收益率曲線是上揚(yáng)的，可以投資于長期債券；如果收益率曲線是下傾的，可以投資于短期債券。經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為國債的收益率曲線-10年期國債的利率與短期國庫券利率