人教A版高中數(shù)學(xué)必修一課件：3.2函數(shù)的模型及其應(yīng)用

1、幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型OR圓的周長(zhǎng)隨著圓的半徑的增大而增大：L=2*R (一次函數(shù))圓的面積隨著圓的半徑的增大而增大：S=*R2 (二次函數(shù))12222324回顧： 某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成兩 個(gè)，兩個(gè)分裂成4個(gè)，一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是 。第一次第二次第三次第四次第x次 個(gè)y = 2x2x例題：例1、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多 回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前 一天翻一番。請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案呢？思考投資方案

2、選擇原則：投入資金相同，回報(bào)量多者為優(yōu) 比較三種方案每天回報(bào)量(2) 比較三種方案一段時(shí)間內(nèi)的總回報(bào)量 哪個(gè)方案在某段時(shí)間內(nèi)的總回報(bào)量最多，我們就在那段時(shí)間選擇該方案。分析 我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù)。解：設(shè)第x天所得回報(bào)為y元，則 方案一：每天回報(bào)40元； y=40 (xN*)方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回 報(bào)10元； y=10 x (xN*)方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。 y=0.42x-1 (xN*)x/天方案一方案二方案三y/元增長(zhǎng)量/元y/元增長(zhǎng)量/元y/元增長(zhǎng)量/元1400

3、100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4圖112-1從每天的回報(bào)量來看： 第14天，方案一最多： 每58天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；有人認(rèn)為投資14天選擇方案一；58天選擇方案二；9天以后選擇方案三？累積回報(bào)表 天數(shù)方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二

4、103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8結(jié)論 投資8天以下（不含8天），應(yīng)選擇第一種投資方案；投資810天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案。例題的啟示解決實(shí)際問題的步驟：實(shí)際問題讀懂問題抽象概括數(shù)學(xué)問題演算推理數(shù)學(xué)問題的解還原說明實(shí)際問題的解例2、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且資金y(單位：萬元)隨著銷售利潤(rùn)x (單位：萬元)的增加而增加，但資金數(shù)不超過5萬元，同

5、時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%。現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求呢？(1)、由函數(shù)圖象可以看出，它在區(qū)間10,1000上遞增，而且當(dāng)x=1000時(shí)，y=log71000+14.555,所以它符合資金不超過5萬元的要求。模型y=log7x+1(2)、再計(jì)算按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，資金是否不超過利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x 10,1000時(shí)，是否有成立。令f(x)= log7x+1-0.25x， x 10,1000.利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此 f(x)f(10) -0.31670,即 log7x+11)

6、和冪函數(shù)y=xn (n0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會(huì)小xn，但由于ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，就會(huì)有axxn.結(jié)論2：一般地，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=logax (a1)和冪函數(shù)y=xn (n0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+)上，隨著x的增大，logax增大得越一越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定范圍內(nèi)， logax可能會(huì)小xn，但由于logax的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax1)，y=logax (a1)和y=xn (n0)都是增函數(shù)。(2)、隨著x

7、的增大， y=ax (a1)的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn (n0)的增長(zhǎng)速度。(3)、隨著x的增大， y=logax (a1)的增長(zhǎng)速度越來越慢，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn (n0)的增長(zhǎng)速度?？偞嬖谝粋€(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，就有l(wèi)ogaxxnax例3、一輛汽車在某段路程的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖所示。(1)、求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義；(2)、假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004 km，試建立汽車行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s km與時(shí)間 t h的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象。圖象例4、人口問題是當(dāng)世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題。認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有

8、效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)。早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：y = y0 ert期中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年增長(zhǎng)率。(1)、如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到0.0001)，用馬爾薩斯人口模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；(2)、如果表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到12億？y = y0 ert例5、某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元。銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下表： 請(qǐng)根據(jù)心上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？銷售單價(jià)/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240例6、某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：(1)、根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重y kg與身高x cm