彈簧彈性勢(shì)能公式的六種推導(dǎo)方法

1、彈簧彈性勢(shì)能公式的六種推導(dǎo)方法摘要：本文用六種不同的方法，從六種不同的角度推導(dǎo)出彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá) 式。關(guān)鍵詞：彈性勢(shì)能，微元，積分，振動(dòng)方程我們知道，彈簧的彈性勢(shì)能的表達(dá)式為用k為彈簧的勁度系數(shù)，X 1 2為彈簧的形變量。但很多教材及教輔中都是直接給出公式，少有推導(dǎo)過(guò)程。筆者 現(xiàn)用如下六種方法來(lái)推導(dǎo)彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式，加深讀者理解和記憶，方便學(xué) 習(xí)。下文中，為方便討論，忽略彈簧的質(zhì)量及一切摩擦，且研究的都是水平彈簧 振子，但推導(dǎo)出的結(jié)果適用于任何情況下的彈簧。1微元法彈簧的彈性勢(shì)能等于自勢(shì)能零點(diǎn)開(kāi)始保守力做功的負(fù)值。外力拉彈簧時(shí)，外 力的功與彈簧反抗形變而施于外界之力做的功大小相等而符號(hào)相

2、反，因此，彈性 勢(shì)能等于自勢(shì)能零點(diǎn)開(kāi)始外力做功的正值。取彈簧自由端為勢(shì)能零點(diǎn)。設(shè)彈簧在外力戶(hù)的作用下發(fā)生形變量x,將這個(gè) 形變過(guò)程等分成很多小段，如段，那么每一小段中可近似認(rèn)為拉力是不變的。2第1小段形變量必=二拉力=北二 拉力的功叱=3=攵,二 nnrr第2小段形變量心,=），拉力F,=k.主,拉力的功皿,=居&,=匯 nntr第3小段形變量-3=二拉力鳥(niǎo)，拉力的功嗎=&3=攵.3第小段形變量= -y拉力工=Z,竺，拉力的功Wn =工=攵. nn，廠所以，拉力的總功為 TOC o 1-5 h z W = Wi+W2+W3+- + Wn t x2 f 2x2 _ 3x2, nx2=k.- +

3、k.；i- k.；IF k.- rr irir=(1 + 2 + 3 + )tr_kf 71(/2 +1)當(dāng) f S時(shí)，卬=竺1. = _1攵/。因?yàn)閺椥詣?shì)能等于自勢(shì)能零點(diǎn)開(kāi)始外力做功的 tr 22正值，所以彈簧的彈性勢(shì)能與=卬=；攵$。2動(dòng)能定理法取彈簧自由端為勢(shì)能零點(diǎn)。設(shè)尸緩慢拉彈簧使其發(fā)生形變量X。緩慢拉動(dòng)意 味著每一個(gè)位置都可看作是平衡狀態(tài)，動(dòng)能的變化A2=0。彈簧的彈力尸=履, 因?yàn)槭cx是線性關(guān)系，所以彈力的平均值為戶(hù)=,入，外力尸的平均值也為2-kx,方向與彈簧彈力方向相反。設(shè)彈簧反抗外力做功為W,由動(dòng)能定理得 2Fx + W=O：.W =-Fx = -kx2因彈簧彈性勢(shì)能等于自

4、勢(shì)能零點(diǎn)開(kāi)始保守力做功的負(fù)值，所以昂=。乙3積分法取彈簧自由端為勢(shì)能零點(diǎn)。設(shè)彈簧形變一微小量公，彈力做功為W。dW = Fdx = -kxclx兩邊積分： jdW = kxdx：.W=-kr 2所以彈簧的彈性勢(shì)能與=-w = 24機(jī)械能守恒法水平彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為x = Acos( + e)位移對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得振子的速度u =牛=-A6ysin(0 + )振子的動(dòng)能為Ek =mv =mA2co1 sin2(ZX + )振子的最大動(dòng)能為對(duì)于彈簧振子，。=所以r- 1)1 k 1 ,七以=inAco = mA = kAr22 m 2因?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以最大彈性勢(shì)能心g=,乂2。可

5、見(jiàn)，彈簧的彈性勢(shì) 2能與形變量x有關(guān)，故對(duì)于任一小于振幅4的形變量x,彈簧的彈性勢(shì)能為5公式變形法水平彈簧振子作無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為ma + kx = O微分形式7.4 + -=0drd-mv212dt上式兩邊同乘吟得dv . dx 八mv + kx = 0dt dtd L%2其中,加2為振子的動(dòng)能,我為彈簧的彈性勢(shì)能,即3+ _ = 0dt6量綱法我們已經(jīng)知道彈簧的彈性勢(shì)能與彈簧的勁度系數(shù)及彈簧的形變量x有關(guān)。不 防設(shè)彈性的彈性勢(shì)能為勺=苗&/。同時(shí)我們知道振子的動(dòng)能為=；八，2。Ep 的量綱為作鏟5-%，/的量綱為2.心尸。因?yàn)楫?dāng)和用的單位都是焦耳，2故兩者應(yīng)具有相同的量綱，即/ = 6Z = 1, /? = 2所以與二h2,此即彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式。2本文用六種不同的方法推導(dǎo)出了彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式。其中微元法在高中 物理學(xué)習(xí)中具有重要而廣泛的運(yùn)用，用這種方法推導(dǎo)彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式，是 學(xué)生常見(jiàn)也是容易理解的。用動(dòng)能定理處理該問(wèn)題時(shí)顯得尤為簡(jiǎn)潔且易于理解。 利用簡(jiǎn)單的積分計(jì)算也能迅速解決問(wèn)題。機(jī)械能守恒法和公式變形法涉及到簡(jiǎn)諧 振動(dòng)方程及一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生不大容易理解，但可以擴(kuò)大他們的視野，激 發(fā)他們更深入學(xué)習(xí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的興趣。最后的量綱法則非常巧妙，也是大家最不容 易想到的。同一個(gè)問(wèn)題從