地下工程監(jiān)測與檢測技術(shù)第九章測量誤差分析及數(shù)據(jù)處理

1、地下工程監(jiān)測與檢測技術(shù)第九章 測量誤差分析及數(shù)據(jù)處理人民交通出版社測量誤差及分類單隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)處理多數(shù)據(jù)變量的處理內(nèi)容提要第一節(jié) 測量誤差及分類一.測量誤差的定義 測量值與被測量的真實(shí)量值之間存在著差異，這個(gè)差異稱為測量誤差。誤差公理認(rèn)為，在測量過程中各種各樣的測量誤差的產(chǎn)生是不可避免的，測量誤差自始至終存在于測量過程中，一切測量結(jié)果都存在誤差。因此，誤差的存在具有必然性和普遍性。二.測量誤差的分類 系統(tǒng)誤差是指在相同條件下，對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量時(shí)，所出現(xiàn)的數(shù)值大小和符號都保持不變的誤差，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差；系統(tǒng)誤差的主要特性是規(guī)律性。 隨機(jī)誤差是指在相同的條

2、件下，對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量時(shí)，所出現(xiàn)的數(shù)值大小和符號都以不可預(yù)知的方式變化的誤差；隨機(jī)誤差的主要特性是隨機(jī)性。 明顯地偏離被測量真值的測量值所對應(yīng)的誤差，稱為粗大誤差。1. 系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差2. 基本誤差和附加誤差 任何測量裝置都有一個(gè)正常的使用環(huán)境要求，這就是測量裝置的規(guī)定使用條件。根據(jù)測量裝置實(shí)際工作的條件，可將測量所產(chǎn)生的誤差分為基本誤差和附加誤差。測量裝置在規(guī)定使用條件下工作時(shí)所產(chǎn)生的誤差，稱為基本誤差。而在實(shí)際工作中，由于外界條件變動，使測量裝置不在規(guī)定使用條件下工作，這將產(chǎn)生額外的誤差，這個(gè)額外的誤差稱為附加誤差。 3. 靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差 根據(jù)被測量隨時(shí)間變化

3、的速度，可將誤差分為靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差。在測量過程中，被測量穩(wěn)定不變，所產(chǎn)生的誤差稱為靜態(tài)誤差。在測量過程中，被測量隨時(shí)間發(fā)生變化，所產(chǎn)生的誤差稱為動態(tài)誤差。在實(shí)際的測量過程中，被測量往往是在不斷地變化的。當(dāng)被測量隨時(shí)間的變化很緩慢時(shí)，這時(shí)所產(chǎn)生的誤差也可認(rèn)為是靜態(tài)誤差。三.測量的精度 測量的精度，包含準(zhǔn)確度、精密度和精確度，它們都是定性的概念，不能用數(shù)值作定量表示。 測量的準(zhǔn)確度表征了測量值和被測量真值的接近程度。準(zhǔn)確度越高則表征測量值越接近真值。準(zhǔn)確度反映了測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的大小程度，準(zhǔn)確度越高，則表示系統(tǒng)誤差越小。 測量的精密度表征了多次重復(fù)對同一被測量進(jìn)行測量時(shí)，各個(gè)測量值分布的密集

4、程度。精密度越高則表征各測量值彼此越接近，即越密集。精密度反映了測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的大小程度，精密度越高，則表示隨機(jī)誤差越小。測量的精確度是準(zhǔn)確度和精密度的綜合，精確度高則表征了準(zhǔn)確度和精密度都高。精確度反映了系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的綜合影響，精確度高，則反映了測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。對于具體的測量，精密度高的準(zhǔn)確度不一定高；準(zhǔn)確度高的，精密度也不一定高；但是精確度高的，精密度和準(zhǔn)確度都高。第二節(jié) 單隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)處理一.誤差估計(jì) 測量值與被測量的真實(shí)量值之間的差異稱為誤差，對誤差的計(jì)算稱為誤差估計(jì)。1.絕對誤差 絕對誤差只能用來判斷對同一測量的測量精確度，但不能表征精確的程度

5、，它需要用相對誤差來判別。測量值和真值之間的差值的絕對值。2.算術(shù)平均誤差 當(dāng)n較大時(shí)，可用下式估算為各次測量誤差絕對值的算術(shù)平均值叫算術(shù)平均誤差3.相對誤差 相對誤差是一個(gè)沒有單位的量，常用百分?jǐn)?shù)表示。測量值得到的相對誤差相等，則其測量精確度也相等。絕對誤差與算術(shù)平均值的百分比叫相對誤差，又叫百分誤差4.標(biāo)準(zhǔn)誤差(試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差)標(biāo)準(zhǔn)誤差是測量列中各次誤差的方均根，反映了數(shù)據(jù)的分散狀況。5.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤差( 實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差)的關(guān)系二.可疑似數(shù)據(jù)的舍棄 在多次測量中，有時(shí)會遇到個(gè)別測值和其它多數(shù)測值相差較大的情況，這些個(gè)別數(shù)據(jù)就是所謂的可疑數(shù)據(jù)。對可疑數(shù)據(jù)，可利用正態(tài)分

6、布來決定取舍。因?yàn)樵诙啻螠y量中，誤差在-3 +3之間時(shí)，其出現(xiàn)概率為99.7，在此范圍之外的誤差出現(xiàn)的概率只有0.3。 常用3 法三.單隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)處理1.標(biāo)準(zhǔn)差法例1：同一巖體的10個(gè)巖石試件的抗壓強(qiáng)度分別為15.3,14.4,16.2,15.3,15.6,14.8,16.9,18.2,14.7,14.9。計(jì)算平均值計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差剔除可疑值：第8個(gè)數(shù)據(jù)18.2疑為可疑數(shù)據(jù)，故18.2應(yīng)當(dāng)剔除。再計(jì)算其余9個(gè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差：在余下的9個(gè)數(shù)據(jù)中再檢查可疑數(shù)據(jù)，取與平均值偏差最大的第7個(gè)數(shù)據(jù)16.9故16.9應(yīng)當(dāng)剔除。再計(jì)算其余8個(gè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差：在余下的8個(gè)數(shù)據(jù)中再檢查可疑數(shù)據(jù)

7、，取與平均值偏差最大的第7個(gè)數(shù)據(jù)16.9故16.2這個(gè)數(shù)據(jù)是合理的處理結(jié)果用算術(shù)平均值和極限誤差表示為 根據(jù)誤差的分布特征，該種巖石的抗壓強(qiáng)度在13.46 16.94MPa的概率是99.7%，正常情況下的測試結(jié)果不會超出該范圍。2.保證極限法 地基基礎(chǔ)規(guī)范中對重要建筑物的地基土指標(biāo)采用保證極限法。這種方法是根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的推斷理論提出來的，如。如前述在 區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率與所取的k有關(guān)。例如k2，相當(dāng)于保證率為95，即在 區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率為95， 第三節(jié) 多數(shù)據(jù)變量的處理一.數(shù)據(jù)擬合與回歸分析1.數(shù)據(jù)擬合 在測量數(shù)據(jù)的處理中，通常需要根據(jù)實(shí)際測量所得數(shù)據(jù)，求得反映各變量之間的最佳函數(shù)關(guān)系

8、表達(dá)式。如果變量間的函數(shù)形式根據(jù)理論分析或以往的經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)確定了，而其中有一些參數(shù)是未知的，則需要通過測量數(shù)據(jù)來確定這些參數(shù)；如果變量間的具體函數(shù)形式還沒有確定，則需要通過測量數(shù)據(jù)來確定函數(shù)形式和其中的參數(shù)。根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)，求得反映各變量之間的最佳函數(shù)關(guān)系表達(dá)式稱為數(shù)據(jù)擬合，所得函數(shù)關(guān)系式為擬合方程式。2.回歸分析 應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的方法稱為回歸分析，求得的函數(shù)關(guān)系式稱為回歸方程。回歸分析實(shí)質(zhì)上就是應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，從而求出反映變量間相互關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式，即回歸方程。將最小二乘法應(yīng)用于等精度測量的數(shù)據(jù)擬合，其基本原則是各個(gè)實(shí)測的數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合曲線的偏差（即殘余誤差

9、）的平方和應(yīng)為最小值。二.一元線性回歸一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型回歸方程的參數(shù)估計(jì)正規(guī)方程組正規(guī)方程的求解回歸效果衡量三.多元元線性回歸多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型正規(guī)方程及其解回歸效果衡量指標(biāo)四.一元元非線性回歸1.非線性回歸 在實(shí)際問題中，有時(shí)變量之間的內(nèi)在關(guān)系并不是線性，而是某種曲線關(guān)系，需進(jìn)行非線性回歸。對于非線性回歸，一般分兩步進(jìn)行：首先確定非線性回歸的數(shù)學(xué)模型；其次求解回歸方程中的未知參數(shù)。 最小二乘法直接求解非線性回歸方程是非常復(fù)雜的，通常采用下面兩種方法： 一是通過相應(yīng)的變量代換，把曲線回歸轉(zhuǎn)換成線性回歸，即采用線性化回歸，繼而用前面給出的線性回歸的方法求解線性化回歸方程，最后將線性化回歸方程還原為非線性回歸方程。 二是把回歸方程展開成回歸多項(xiàng)式，直接用回歸多項(xiàng)式來描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系，這樣就把求解曲線回歸的問題轉(zhuǎn)化為解多項(xiàng)式回歸的問題。2.回歸方程函數(shù)類型的選擇 線性化回歸的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)模型的判定，亦即回歸方程的函數(shù)類型的選擇。較常用的方法有下面兩種方法： 一是直接判斷法，即根據(jù)專業(yè)知識，從理論上推導(dǎo)或者根據(jù)以往的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)類型。 二是觀察法，即將測量數(shù)據(jù)描在坐標(biāo)紙