三、完全四邊形的一些性質(zhì)

1、第一階段內(nèi)容三完全四邊形的一些性質(zhì)、內(nèi)容概述幾何中的完全四邊形（完全四線形）定義：由四條直線或球面上四條大圓的弧組成，其中每一條直線或弧都與其余的直線或弧相交于三點（即沒有三線共點）所構(gòu)成的圖形?；蛘呶覀儼褍蓛上嘟唬覠o三線共點的四條直線及它們的六個交點所構(gòu)成的圖形叫做完全四邊形。如圖，完全四邊形ADCFBE中有ACE、AABD、ACDF、ABEF凸四邊形：ADFE凹四邊形：ACFB折四邊形：CDEBEDB六個點：A、B、C、D、E、F三對角線：AF、DE、BC二、性質(zhì)完全四邊形中四個三角形的外接圓共點，稱為密克爾點。完全四邊形中四個三角形的垂心共線，稱為垂心線。完全四邊形的一條對角線被其余兩

2、條對角線被其余兩條對角線調(diào)和分割。過完全四邊形的密克爾點作四個三角形的西姆松線，所得四線重合，稱為完全四邊形的西姆松線。完全四邊形的西姆松線與垂心線平行。完全四邊形的任一組“對節(jié)”在西姆松線（或垂心線）上的射影，其長度總保持相等。完全四邊形的三條對角線的中點三點共線，這條直線被稱為牛頓線。牛頓線與西姆松線、垂心線垂直。梅涅勞斯定理以完全四邊形的三條對角線為直徑的圓共軸，且完全四邊形的四個三角形的垂心在這條軸上，即垂心線（垂足線）。完全四邊形中四個三角形的外接圓圓心共圓，這四個圓心每三個構(gòu)成的三角形的垂心分別在構(gòu)成完全四邊形的四條直線上，且以這四個垂心為頂點構(gòu)成的四邊形與以四個圓心為頂點構(gòu)成的四

3、邊形全等。在完全四邊形ABCDEF中，G是對角線AF所在直線上異于A的任意一點，則cotAGC+cotAGE，cotAGD+cotAGB三、自主嘗試一試證明上述11條性質(zhì)。四邊形ABCD的兩條對角線交于點O,兩組對邊的延長線分別相交于E、F，過O作EF的平行線交BC、AD于I、J.求證：OI=OJ.以厶ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點D、E.過D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G.線段DE、EF分別交于點M.求證：AM丄BC.四、一個命題的應(yīng)用命題：如果完全四邊形的三條對角線互不平行，則任何一條對角線被其他兩條對角線內(nèi)分和外分所得的四條線段都成比例。改述為：在完全四邊形ABC

4、DEF中AC、BD、EF為三條對角線。設(shè)AC與BD、AC與EF、BD與EF分別交于點P、Q、R.證明：（1）EQER（2）_BP_BR（3）APAQQF_RFpdrdpcqc五、自主嘗試二在完全四邊形ABCDEF中,AC與BD交于點P,過P作EF的平行線分別與BC、AD、AB、CD交于點M、N、X、Y,證明：PM=PN,PX=PY.已知動點O在厶ABC內(nèi)部，射線AO、BO、CO分別與對邊交于M、N、P.設(shè)NP與AO、PM與BO、MN與CO分別交于點D、E、F.證明：不論點O位置如何變化，OD+OE+OF恒為一個定值。ADBECF六、完全四邊形的部分優(yōu)美性質(zhì)性質(zhì)1:在完全四邊形PGCABH中，若

5、與邊HC相切且與邊GB切于點G的圓為圓O，與11111邊GB相切且與邊HC切于點H的圓為圓O，則對角線PA垂直于離點P較遠(yuǎn)的這兩圓的外112公切線。性質(zhì)2：在完全四邊形ABCDEF中，過B、F作與對角線AB平行的線分別交對角線CE于G、H，連接BH、FG相交于點P，則點P在直線AD上。性質(zhì)3：在完全四邊形ABCDEF中，點G是對角線AD所在直線上一點，連接BG、CG、EG、FG。若厶GC二,AGE,則,AGB=ZAGF性質(zhì)4:在完全四邊形ABCDEF中，對角線AD所在直線交對角線CE于G，則厶GB,AGF的充要條件是AD丄CE。性質(zhì)5：在完全四邊形ABCDEF中，對角線AD、CE互相垂直，則CDE與CAE互補的充要條件是B、C、E、F四點共圓。性質(zhì)6：過完全四邊形ABCDEF的頂點A的直線交BF于M，交CE于N，交BD于G，交CD于H,則丄+丄=丄+丄.AMANAGAH性質(zhì)7：在完全四邊形ABCDEF中，對角線AD所在直線交BF于M，交CE于N，則MD(32J2)AN.性質(zhì)8：在完全四邊形ABCDEF中，G為AF上一點，直線CG與AD交于點H，