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1、復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)及其幾何表示第一張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月 復(fù)變函數(shù)主講教師:趙景霞E-mail: 第二張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月研究對象 復(fù)變函數(shù)(自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù))主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系,具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、課程基本介紹第三張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展,它們之間有許多相似之處。但又有不同之處,在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。第四張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2

2、022年6月復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義,需要再一次擴(kuò)大數(shù)系,使實數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前,由于對復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚,用它們進(jìn)行計算又得到一些矛盾,所以,在歷史上長時期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。第五張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月 直到十八世紀(jì),J.DAlembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義,澄清了復(fù)數(shù)的概念,并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題,復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受,復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程

3、第六張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程1774年,歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個方程。比他更早時,法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中,就已經(jīng)得到了它們。因此,后來人們提到這兩個方程,把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì),上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時,作了更詳細(xì)的研究,所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。第七張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì),就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣,復(fù)變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支

4、,并且稱為這個世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受,也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程第八張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月二十世紀(jì)以來,復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面,與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程第九張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月第一章 復(fù)數(shù)及復(fù)平面1.1 復(fù)數(shù)及其幾何表示學(xué)習(xí)要點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的意義與復(fù)數(shù)的表示方法掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算熟練掌握復(fù)數(shù)的方根第十張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月一、 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)z 的實部 Re(z) = x ; 虛部 Im(z) = y . (real part) (imagina

5、ry part)第十一張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月 一般, 任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)相等二、 四則運(yùn)算 z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為: z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)第十二張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足加法交換律、結(jié)合律;乘法交換律、結(jié)合律和分配律。第十三張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)定義 若z=x + iy , 稱z=x - iy 為z 的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)三、 共軛復(fù)數(shù)第十四

6、張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例4第十五張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月第十六張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月解:第十七張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例4證明:第十八張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例4證明:第十九張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月四、復(fù)數(shù)的幾何意義橫坐標(biāo)軸稱為實軸,縱坐標(biāo)軸稱為虛軸;復(fù)平面一般稱為z-平面,w-平面等。 第二十張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月我們可以得到兩個重要的不等式 oxy(z) z1z2 z1+z2oxy(z) z1z2z2- z1第二十一張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月o

7、xy(z)P(x,y)xy z=0時,幅角無意義。 幅角無窮多:Arg z=0+2k, kZ,第二十二張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月第二十三張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月1. 三角表示法可以用復(fù)數(shù)的模與輻角來表示非零復(fù)數(shù)z2. 指數(shù)表示法yox第二十四張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例5例6第二十五張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例5解:第二十六張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例6解:第二十七張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例6解:第二十八張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月練習(xí):求下列復(fù)數(shù)的模與幅角主值:求下列復(fù)數(shù)的三角表

8、示式與指數(shù)表示式.第二十九張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月解:第三十張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月.第三十一張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月五、 復(fù)數(shù)的乘積與商利用復(fù)數(shù)的三角表示,我們可以更簡單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法集合相等定理:第三十二張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月對除法,有 將復(fù)數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度Argz2,再將其伸縮到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法的幾何意義第三十三張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例7解:第三十四張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例5解:第三十五張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月第

9、三十六張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例6 藏寶圖從絞架走到橡樹,并記住走了多少步;到了橡樹向右轉(zhuǎn)個直角再走這么多步,在這里打個樁。某島,島的北岸有一大片草地。草地上有一株橡樹和一株松樹,還有一個絞架?;氐浇g架,朝松樹走,同時記住所走的步數(shù),到了松樹向左拐個直角再走這么多步,在這里也打個樁。在兩個樁中間挖,就可以找到寶藏!問題是絞架年代久遠(yuǎn)爛掉了,還能找到寶藏嗎? 第三十七張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月1-1第一根樁位置第二根樁位置第三十八張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例7解:第三十九張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月第四十張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于

10、2022年6月六、 復(fù)數(shù)的乘冪與方根則有:棣摩弗 (De Moivre)公式第四十一張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月第四十二張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月而k取其它整數(shù)時,這些根又會重復(fù)出現(xiàn)。第四十三張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例11練習(xí)例10第四十四張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例9第四十五張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月第四十六張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月幾何上, 的n個值是以原點(diǎn)為中心, 為半徑的圓周上n個等分點(diǎn),即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個頂點(diǎn)。xyo第四十七張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月例10第四十八張,PPT共五十一頁,創(chuàng)作于2022年6月NAOz七、復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)球極平面射影法取一個在原點(diǎn)O與z平面相切的球面,過O點(diǎn)作z平面的垂線與球面交于N點(diǎn)(稱為北極或者球極)。對于平面上的任一點(diǎn)A ,用一條空間直線把它和球極連接起來,交球面于 。

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