第12講：相似三角形模型的應(yīng)用

1、第11講：相似三角形模型的應(yīng)用知識(shí)講解：一、相似三角形的性質(zhì)1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；2、對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比;3、相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方.、相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型）（二）8字型、反8字型（三）母子型（四）一線三等角型:三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景,一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角 形的兩邊相交如圖所示：（五）一線三直角型：三直角相似可以看著是 “一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例， 三直角型相似通常是以 矩形或

2、者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見(jiàn)的基本圖形如下:當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過(guò)添加輔助線構(gòu)造完整的 三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。（六）雙垂型:五：相似三角形判定的變化模型2一線三直角的變形斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似射影定理：Ct2=AD BRAC2=AD AB,BC2=BD BA(在直角三角形的計(jì)算和證明中有廣泛的應(yīng)用) 課堂練習(xí)：考點(diǎn)一：A型相似【例題】1、如圖， ABC是一張銳角三角形的硬紙片,AD是邊BC上的高，BC=40CfAa30c3從這張硬

3、紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng) HG是寬HE的2倍的矩形EFGH使它白一邊 EF在BC上，頂點(diǎn) G H分別在AC, AB上，AD與HG的交點(diǎn)為 M(1)求證：AM - HG (2)求這個(gè)矩形EFGH勺周長(zhǎng);AD BC2、已知：如圖，在 ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且 BE= EF= FG求 BN: NQ QM【練習(xí)】1.如圖所示，給出下列條件：AC AB/B=/ACD; NADC=/ACB;& =至； ac2 = adab.其中單獨(dú)能CD BC夠判定 ABC s匕ACD的個(gè)數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D. 42.如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2, DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論

4、:DE=1, (2) ACDEACAB (3) CDE勺面積與 CAB的面積之比為 1: 4.其中正確的 有：A. 0個(gè) B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè).如圖，在 ABC 中，/C =90, /B = 60, D 是 AC 上一點(diǎn)，DE _L AB 于 E,且 CD =2, DE =1,則 BC 的長(zhǎng)為()A. 2 B . 4 A/3 C . 2事 D . 4曲 3 .在 ABC中，點(diǎn)D, E分別在 AB, AC邊上，/ AEDW B,如果AE=2, ADE的面積為4,四 邊形BCE曲面積為5,那么AB的長(zhǎng)為().如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn) E在AC邊上，且 AE:EC=1:

5、2, BE交AD于點(diǎn)巳則AP:PD的值為()12 3A. ：B. 2 C. 3D.如圖，在 ABC中，M為AC的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且 AB=4AE連接EM并延長(zhǎng)，交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則BC:CD=()A.4:1 B.2:1C.7:3 D.5:2 7、如圖： ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC BC邊上的中線 AE交CD于F。AB_CF_求證：上二 _:ABEC考點(diǎn)二：X型相似【例題】1、如圖，在LABCD中，/ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點(diǎn)E、F .(1)求證：AB =AF ；.AE . .(2)當(dāng)AB=3, BC=5時(shí)，求 的值A(chǔ)C2、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法

6、，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.原題：如圖1,在口ABCM,點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn) F是線段 AE上一點(diǎn)，BF的延 長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G,若竺=3 ,求CD的值.EFCG(1)嘗試探究在圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EH / AB交BG于點(diǎn)H,則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是 ,CG EH的數(shù)量關(guān)系是，CD的值是CG(2)類(lèi)比延伸如圖2,在原題的條件下，若 AF=m(m0)則CD的值是(用含m的代數(shù)EFCG式表示)，試寫(xiě)出解答過(guò)程.(3)拓展遷移如圖3,梯形ABCD43, DC/ AB,點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F, 若股 =a,BC=b(a 0,b 0),則處的值是(用

7、含a,b的代數(shù)式表示).CD BEEF圖I用2圖3【練習(xí)】1.如圖，AB/ CD,AD,BC相交于點(diǎn)E,過(guò)E作EF/AB,交BD于點(diǎn)F,若AB=2,CD=3貝U EF的長(zhǎng)為()A.1.2 B,2.5C,1.5 D,不確定2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABB邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)A, C分別在x,y軸的正半軸上.點(diǎn) Q在對(duì)角線 OB上，且OQ=OC連接CQ并延長(zhǎng)，交 AB邊于點(diǎn)P,則點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（）A. -，= -:B. -， -： C. -，D.1.如圖，在平行四邊形ABCD中， 0, q為對(duì)角線BD上的三點(diǎn)，且801 =。1。2 =。?。廣州, 連接并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E,連接

8、 歐%并延長(zhǎng)，交AD于 點(diǎn) F,則 AD:FD=（）A.19:2 B,9:1C,8:1 D,7:1.如圖，在平行四邊形 ABCD43, E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，EF交AC于點(diǎn)G,AF=2cm DF=4cm AG=3cnp 則 AC的長(zhǎng)為（）A.9cm B.14cm C.15cm D.18cm.在矩形ABC邛，對(duì)角線 AC, BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OEL BC,垂足為E,連接DE交ACCF于點(diǎn)P,過(guò)P作PFXBC,垂足為F,則CB的值為（）A. j B. j C. D 6、如圖，直線 X 口 h ,若 AF:FB=2:3 , BC:CD=2:1,則 AE:EC=()A.5:2 B,4:

9、1C,2:1 D.3:27、如圖，AB/ CD線段BC AD相交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是線段AF上一點(diǎn)且滿足/ BEF=Z C,其中AF=6, DF=3, CF=2,則 AE=PH.考點(diǎn)三：母子型相似【例題】1、在直角三角形CD2= AC 2=ABC中，/ ACB=9C）, CDLAB,則圖中相似三角形,BC2=8、如圖，P為DABCD勺對(duì)角線 AC上一點(diǎn)，過(guò) P的直線與 AD BC, CD的延長(zhǎng)線、AB的延長(zhǎng) 線分別交于點(diǎn)E, F, G H.求證：PE PG = PF【練習(xí)】1.如圖，在RtABC中，ACL BC, CDL AB于點(diǎn)D,若AC=& AD=6,貝U BD的長(zhǎng)為（） C32 14C.二 D

10、. 1AC AD2、如圖，在4ABC中，CDL AB于點(diǎn)D,下列條件： 好二 AS AC -DC加二亞.其中能證明 ABC是直角三角形的是（）A.B.C.D.3、如圖，在 Rt ABO43, / BA(=90 , ADI BCT點(diǎn)D,若BDCD=3:2 ,則 ACAB=()B.-3r 6C 2dT3B時(shí) 尸,A時(shí)4、如圖，小明在 A時(shí)刻測(cè)得某樹(shù)的影長(zhǎng)為2 m,時(shí)刻又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為8 m,若兩次日照的光線互相垂直，則樹(shù)的高度為 AC5.在 RtABC中，/ BAC=90 , ADBC于點(diǎn) D,若一AB區(qū) 3c.16皿 BD /一,貝 U=(CDD. 1166、如圖，在 RtAABC, / AC

11、B90 , CDLAB于點(diǎn) D,BD=2, AD=8,則 CD=AC=, BC=ED, EC為折痕將7、如圖，四邊形 ABCD, AD/BC, /B=90： E為AB上一點(diǎn)，分別以?xún)蓚€(gè)角（/ A, / B）向內(nèi)折起，點(diǎn)A, B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處.若AD=5, BC=9則EF=考點(diǎn)四：一線三等角型相似【例題】1、在AABC中，AB = AC=5, BC=8,點(diǎn)P、Q分別在射線CB、AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持ZAPQ =/ABC .若點(diǎn)P在線段CB上（如圖），且BP = 6 ,求線段CQ的長(zhǎng)；若BP = x , CQ = y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；【練習(xí)】

12、1.如圖，在四邊形CD=9則AD的長(zhǎng)為（）A.3 B.4C.5 D.6ABCD43, M 為 BC邊的中點(diǎn).若/ B=Z AMDh C=45 , AB=8,CD=-2、.如圖，在等邊 ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且/APD=60 , BP=1,3 ,則4ABC的邊長(zhǎng)為（）A.2 B.3C.4 D.53、等腰 ABC AB=AO8, /BAB120。，P為BC的中點(diǎn)，小慧拿著含 30角的透明三角板, 使30角的頂點(diǎn)落在點(diǎn) P,三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn).（1）如圖1,三角板兩邊分別交 AB AC于點(diǎn)E, F時(shí)，求證： BP3ACFF（2）操作：將三角板繞點(diǎn) P旋轉(zhuǎn)到圖2的情形時(shí)，三角板的兩邊

13、分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)E, F.探究1: 4BPE與CFP相似嗎？（只需寫(xiě)出結(jié)論）探究2：連接EF, BPE與 PF弱否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由. 設(shè)EF=m EPF的面積為S,試用含m的代數(shù)式表示 S.考點(diǎn)五：一線三垂直【例題】1、已知：如圖，在矩形ABC邛下為AD的中點(diǎn)，EFL EC交AB于點(diǎn)F,連接FC.（ABAE(1)人5與4 ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，說(shuō)明理由.（2）設(shè)BC ,是否存在這樣的k值，使得 AEF與4BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.【練習(xí)】1.如圖，正方形ABCM邊長(zhǎng)為4, P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) B, C重合）， 連接AP,過(guò)點(diǎn)P作PQL AP交DC于點(diǎn)Q.設(shè)BP的長(zhǎng)為x, CQ的長(zhǎng)為y,則y與x之間的函 數(shù)關(guān)系式為（）1 1 . 1 .A., J.：.-Ci2.如圖，在等腰直角 ABC中，ZA=90 ,接OP將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90AC=8,點(diǎn)O在AC上，且AO=2 P是AB上一動(dòng)點(diǎn).連得到線段 OD要使點(diǎn)D恰好落在BC上，則AP的長(zhǎng)度為（）A.二B.6C.5 D.4A0_23.在 ABC中，/C=90 , AC=3 BC=4, O是 AB上的一點(diǎn)，且5 , P 是 AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQL OP交線段BC于點(diǎn)