高等數學課件3-4單調性(monotonicity)的判別法

1、1$3-4函數單調性的判別法一、單調性(monotonicity)的判別法（切線斜率 為負）2$3-4函數單調性的判別法定理(monotone decreasing).(monotone increasing);3$3-4函數單調性的判別法證應用拉氏定理,得注：由證明可知，定理對各種區(qū)間（開、閉、有限或無窮區(qū)間）都成立。4$3-4函數單調性的判別法例1(P179)解 + 0列表（tabulation)5$3-4函數單調性的判別法解 注意:區(qū)間內個別點導數為零,而其它點處的導數保 號，不影響函數在該區(qū)間內的單調性.又如,例2(P182習題3-4，1） 并求的單調性,討論單調區(qū)間.6$3-4函數單

2、調性的判別法定義域為注意：要在定義域內討論.解7$3-4函數單調性的判別法例4(P180)解單調區(qū)間為8$3-4函數單調性的判別法列表不存在圖形注意（1）導數不存在的點可能是單調區(qū)間的分界點;(2)(0,0)稱為尖點（cusp).(3) 區(qū)間內個別點導數不存在但連續(xù),而其它點導數保號,不影響單調性.如9$3-4函數單調性的判別法解 在不存在不存在（補充）10$3-4函數單調性的判別法解函數在處間斷,令列表討論：不存在間斷例6 （補充）求.)1(2的單調區(qū)間-=xxy注：間斷點可能是單調區(qū)間的分界點.(demarcation point)11$3-4函數單調性的判別法二、單調區(qū)間求法問題:函數在

3、定義區(qū)間上不是單調的，但在各個部分區(qū)間上單調（如上面各例） 定義:若函數在其定義域的某個區(qū)間內是單調的，則該區(qū)間稱為函數的單調區(qū)間. 導數等于零的點、不可導的點及間斷點，可能是單調區(qū)間的分界點方法:(monotone interval)12$3-4函數單調性的判別法解例7(P181).31292)(23的單調區(qū)間確定函數-+-=xxxxf單調區(qū)間為13$3-4函數單調性的判別法列表圖形14$3-4函數單調性的判別法例8(補充）證注意:利用單調性可以證明不等式.f(x)f(0),即思考：此題還可如何證明？（用lagrange中值定理）15$3-4函數單調性的判別法思路:從幾何上看,某區(qū)間上的單調

4、的連續(xù)曲線,從軸的一側變到另一側時,曲線與軸有唯一交點,即方程在該區(qū)間內有且僅有一個實根.證 令則在內連續(xù),可導,且即方程例9（習題3-1，12）試證方程只有一個實根.(real root)16$3-4函數單調性的判別法三、小結 Brief summary1、單調性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用.2、定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論仍然成立. 3、應用：（1）利用（2）利用函數的單調性可以確定某些方程實 根數；（3）利用函數的單調性可以證明不等式.17$3-4函數單調性的判別法4、主要題型：（1）證明恒等式（2）證明不等式（3）討論方程的根（羅爾定理、單調性等）；（4）利用羅必達法則求不定式；（5）討論函數的性態(tài)（單調性、極值、凹凸、 拐點、作圖)(6）實際應用：求函數的最值.18$3-4函數單調性的判別法思考題 Consideration19$3-4函數單調性的判別法思考題解答不能斷定.例但20$3-4函數單調性的判別法當 時，當 時，注意 可以任意大，故在 點的任何鄰域內， 都不單調遞增21$3-4函數單調性的判別法注意:函數的單調性是一個區(qū)間上的性質，要用導數在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區(qū)間上的單調性22$3-4函數單調性的判別法練 習 題 Exercises23$3-4函數