專(zhuān)題研究報(bào)告：全等三角形證明方法歸納典型例題

1、-. z全等三角形的證明全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線(xiàn)相等，面積相等尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角(6)兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵全等三角形的判定方法：(1)

2、邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線(xiàn)段相等、角相等、兩直線(xiàn)垂直等問(wèn)題，在證明的過(guò)程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線(xiàn)拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過(guò)判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線(xiàn)段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線(xiàn)段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證明的根底專(zhuān)題1、

3、常見(jiàn)輔助線(xiàn)的做法典型例題找全等三角形的方法：1可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線(xiàn)段或兩個(gè)角分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；2可以從條件出發(fā)，看條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；3可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；4假設(shè)上述方法均不可行，可考慮添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法：延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線(xiàn)構(gòu)造全等三角形；作連線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形。常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法有以下幾種：1遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用三線(xiàn)合一的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的對(duì)折。例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于

4、點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。思路分析：1題意分析：此題考察等腰三角形的三線(xiàn)合一定理的應(yīng)用2解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)橛蠦D平分ABC的條件，可以和等腰三角形的三線(xiàn)合一定理結(jié)合起來(lái)。解答過(guò)程：證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)的逆命題在添加輔助線(xiàn)中的應(yīng)用不但可

5、以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開(kāi)拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線(xiàn)的過(guò)程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。2假設(shè)遇到三角形的中線(xiàn)，可倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的旋轉(zhuǎn)。例2：如圖，ABC中，AD是BAC的平分線(xiàn)，AD又是BC邊上的中線(xiàn)。求證：ABC是等腰三角形。思路分析：1題意分析：此題考察全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)。2解題思路：在證明三角形的問(wèn)題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線(xiàn)、中位線(xiàn)等條件，一般這些條件都是解題的突破口，此題給出了AD又是BC邊上的中線(xiàn)這一條件，而且要求證AB=AC

6、，可倍長(zhǎng)AD得全等三角形，從而問(wèn)題得證。解答過(guò)程：證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE。又因?yàn)锳D是BC邊上的中線(xiàn)，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC，E=2，AD是BAC的平分線(xiàn)1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線(xiàn)，常加倍延長(zhǎng)此線(xiàn)段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。3遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的*一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，利用的思維模式是三角形全等變換中的對(duì)折，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理或逆定理。例3：，如圖，AC平分BAD，CD=CB，ABAD。求證：B+ADC=180。思路分析：1題

7、意分析：此題考察角平分線(xiàn)定理的應(yīng)用。2解題思路：因?yàn)锳C是BAD的平分線(xiàn)，所以可過(guò)點(diǎn)C作BAD的兩邊的垂線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明三角形全等解決問(wèn)題。解答過(guò)程：證明：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180，B+ADC=180。解題后的思考：關(guān)于角平行線(xiàn)的問(wèn)題，常用兩種輔助線(xiàn)；見(jiàn)中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線(xiàn)。4過(guò)圖形上*一點(diǎn)作特定的平行線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的平移或翻轉(zhuǎn)折疊例4：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連EF交B

8、C于D，假設(shè)EB=CF。求證：DE=DF。思路分析：1題意分析：此題考察全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：作平行線(xiàn)。2解題思路：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形DEB與DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過(guò)添加輔助線(xiàn)進(jìn)展相等線(xiàn)段的等量代換：過(guò)E作EG/CF，構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問(wèn)題得以解決。解答過(guò)程：證明：過(guò)E作EG/AC交BC于G，則EGB=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。解題后的思考：此題的輔助線(xiàn)還可以有以下幾種作法：例5：ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC

9、交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1題意分析：此題考察全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：作平行線(xiàn)。2解題思路：此題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢(shì)較為復(fù)雜，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線(xiàn)段的和即可得證?？蛇^(guò)O作BC的平行線(xiàn)。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。解答過(guò)程：證明：如圖1，過(guò)O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PB

10、O=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：1此題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即截長(zhǎng)法。2此題利用平行法的解法也較多，舉例如下：如圖2，過(guò)O作ODBC交AC于D，則ADOABO從而得以解決。如圖5，過(guò)P作PDBQ交AC于D，則ABPADP從而得以解決。小結(jié)：通過(guò)一題的多種輔助線(xiàn)添加方法，體會(huì)添加輔助線(xiàn)的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線(xiàn)段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不管是作平行線(xiàn)還是倍長(zhǎng)中線(xiàn)，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。5截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在*條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段與特定線(xiàn)段相等，或是將*條線(xiàn)段延長(zhǎng)，使之與特定線(xiàn)段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目。例6：如圖甲，ADBC，點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求證：CD=AD+BC。思路分析：1題意分析：此題考察全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法。2解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用截長(zhǎng)補(bǔ)短法中的截長(zhǎng)，即在CD上截取CF