概率論第二章概率2

1、 第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量分布律的定義離散型隨機(jī)變量表示方法三種常見分布小結(jié) 布置作業(yè) 從中任取3 個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量 .(1) X 可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每個(gè)值的概率為:看一個(gè)例子一、離散型隨機(jī)變量分布律的定義定義1 ：某些隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無限多個(gè), 這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量 .其中 (k=1,2, ) 滿足： k=1,2, （1）（2） 定義2 ：設(shè) xk (k=1,2, ) 是離散型隨機(jī)變量 X 所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變量 X 的分布律.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律解: 依據(jù)分布律的性質(zhì)P

2、(X =k)0, a0 ,從中解得即例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：k =0,1,2, ,試確定常數(shù)a .二、離散型隨機(jī)變量表示方法（1）公式法（2）列表法X例3 某籃球運(yùn)動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解： X可取值為0,1,2 ; PX =0=(0.1)(0.1)=0.01 PX =1= 2(0.9)(0.1) =0.18 PX =2=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為： 這就是X的分布律.例4 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X 的分布律.解: 顯然，X 可能取的值是1,2, ， PX=1=P(A1)=p,

3、為計(jì)算 PX =k ， k = 1,2, ，Ak = 第k發(fā)命中，k =1, 2, ，設(shè)于是可見這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.例5 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個(gè)信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號燈顯示的時(shí)間相等. 以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)，求X的分布律.解: 依題意, X可取值0, 1, 2, 3. PX=0=P(A1)=1/2, Ai=第i個(gè)路口遇紅燈, i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1PX=1=P( )= 1/4 PX=2=P( )=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)路口3路口2路口1路口3路

4、口2路口1=1/8P(X=3)= P( )路口3路口2路口1即X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)三、三種常見分布1、（0-1）分布：（也稱兩點(diǎn)分布）隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，其分布律為：看一個(gè)試驗(yàn) 將一枚均勻骰子拋擲3次.X的分布律是：2.伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布令X 表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù) 擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)” 抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品” 一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)E中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A 或 .這樣的試驗(yàn)E稱為伯努利試驗(yàn) .“重復(fù)”是指這 n 次試驗(yàn)中P(A)= p 保持不變. 將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次 ,則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯

5、努利試驗(yàn) .“獨(dú)立”是指各 次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響 . 用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則易證：（1）稱 r.v X 服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作 Xb(n,p)（2）例6 已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率. 解: 因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3 次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X b(3,0.05)，若將本例中的“有放回”改為”無放回”, 那么各次試驗(yàn)條件就不同了, 此試驗(yàn)就不是伯努利試驗(yàn) . 此時(shí), 只能用古

6、典概型求解.請注意： 伯努利試驗(yàn)對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是n重伯努利試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn)的次數(shù) X 的分布律 .（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果 A 或 ， （3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.可以簡單地說， 且 P(A)=p ， ； 例7 某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.解: 設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù) . X b (3, 0.8)，把觀察一個(gè)燈泡的使用時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn),“使用到1000小時(shí)已壞”視為事件A .每次試驗(yàn),A 出現(xiàn)的概率為0.8 PX 1 =P

7、X=0+PX=1=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.1043. 泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0 , 1 , 2 , , 且概率分布為：例8 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿足P X m 0.95 的最小的m .進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)求滿足P X m 0.95 的最小的m.查泊松分布表得PXm 0.05也即于是得 m+1=10,m=9件或 對于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的