《數(shù)值分析簡明教程》第二版王能超編著課后習(xí)題答案解析高等教育出版社

1、學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考資料0.1算法1、(p.ll，題1)用二分法求方程x3x1=0在1,2內(nèi)的近似根，要求誤差不超過10-3.【解】由二分法的誤差估計式IX*x11000.兩端取自然對數(shù)得k1沁8.96，因此取k=9，即至少需ln2二分9次.求解過程見下表。2、(p.11，題2)證明方程f(x)=ex+10 x2在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一個實根；使用二分法求這一實根，要求誤差不超過2x10-22【解】由于f(x)=ex+10 x2，則f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，且f(0)=e0+10 x02=10，即f(0)-f(1)0，即f(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)的，故f(x)在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一實根.由二分法的誤差估

2、計式Ix*-x1=100.k2k+12k+12兩端取自然對數(shù)得k2ln沁2x3.3219=6.6438，因此取k=7，即至少需二分ln27次.求解過程見下表。0.2誤差1（p.12，題8）已知e=2.71828，試問其近似值x=2.7，x=2.71，x才2.71，x2-718TOC o 1-5 h z1223各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對誤差限。【解】有效數(shù)字：e-xI0.01828.0.05x10-1x2.7121Ie一xI0.00828.0.05x10-1，所以x2.71亦有兩位有效數(shù)字；22因為丨e一xI0.00028.0.0005x10-3，所以x2.718有四位有效數(shù)字；23r1

3、Ie-xI1x10051.85%2.7r21.85%Ie-xI0.052x2.712r3二0.0184%e一xI0.00053x2.7183評（1）經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其所有數(shù)字均為有效數(shù)字；2）近似數(shù)的所有數(shù)字并非都是有效數(shù)字.2-（p.12，題9）設(shè)x=2.72，x=2.71828，x二0.0718均為經(jīng)過四舍五入得出的近123似值，試指明它們的絕對誤差（限）與相對誤差（限）?！窘狻?0.005，=沁1.84x10-3；r1x2.7210.000005=0.000005，=沁1.84x10一；r2x2.718282=0.00005，=二0.00005沁6.96x10一4；r3x0.07

4、183評經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其絕對誤差限為其末位數(shù)字所在位的半個單位.3（p.12，題10）已知x=1.42，x=0.0184，x=184x10-4的絕對誤差限均為1230.5x10-2,問它們各有幾位有效數(shù)字？【解】由絕對誤差限均為0.5x10-2知有效數(shù)字應(yīng)從小數(shù)點后兩位算起，故x=1.42，有三位；x=0.0184有一位；而x=184x10-4=0.0184，也是有一位。23泰勒插值和拉格朗日插值1（p.54，習(xí)題1）求作f（x）=sinx在節(jié)點x=0的5次泰勒插值多項式P5（x），并計算p（0.3367）和估計插值誤差,最后將p（0.5）有效數(shù)值與精確解進(jìn)行比較?！窘狻坑蒮(x)=

5、sinx，求得f(1)(x)=cosx;f(2)(x)=sinx;f(3)(x)=cosx;f(4)(x)=sinx;f(5)(x)=cosx;f(6)(x)=sinx，所以f(2)(x)f(5)(x)P(x)=f(x)+f(1)(x)(xx)+(xx)2HF(xx)550002!05!0f(2)(0)f(5)(0)=f(0)+fd)(0)x+2!x2+丿5!=xx3+x53!5!/、If化)1、lsin(g)1、/1cl插值誤差：R(x)=(xx)6=(xx)6x6，若x=0.5，則56!06!06!p(0.3367)=0.3367-0.33673+0.336750.3303742887，而

6、5、丿3!5!而R(0.3367)沁沁2.02x10-60.5x10-5，精度到小數(shù)點后5位，56!故取P(0.3367)二0.33037，與精確值f(0.3367)=sin(0.3367)=0.330374191相比較，在插值誤差的精度內(nèi)完全吻合！2、(p.55，題12)給定節(jié)點xo=T,x二1,=二3,二4，試分別對下列函數(shù)導(dǎo)出拉格朗日余項：f(x)二4x3-3x+2；f(x)二x4-2x3f(4)(g)”【解】依題意，n二3，拉格朗日余項公式為R(x)二I】(xx)34!線性插值因為x=0.3367在節(jié)點x和x1之間，先估計誤差i=0f(4)(x)=0R(x)=0;因為f(4)(x)=4

7、!，所以f(己)R(x)=-(x+1)(x-1)(x-3)(x-4)=(x+1)(x-1)(x-3)(x-4)34!3、(p.55，題13)依據(jù)下列數(shù)據(jù)表，試用線性插值和拋物線插值分別計算sin(0.3367)的近似值并估計誤差。i012xi0.320.340.36sin(x-i0.3145670.3334870.352274f(4)(g)桿【解】依題意，n=3，拉格朗日余項公式為R(x)=I】(xx)34!ii=0完美WORD格式編輯x1學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考資料R(x)=墮(x-x)(x-x)=沁(x-x)(x-x)-噸(x一xo)(xi一x)2!0120120.0121-2=2x104；須保留到小

8、數(shù)點后4為，計算過程多余兩位。yP1(x)P1(x)插值誤差：R(x)=2(x-x)(x-x)(x-x)=3!012-cos(g)_6_(x-x)(x-x)(x-x)012max(x-x)(x-x)(x-x)01263x0.0136=2x10-6=_xsin(x)+_ksin(x)=1l(x一x)sin(x)+(x一x)sin(x)x-x0 x-x1x-x0110011010=爲(wèi)(0.3367-0.32)sin(0.34)+(0.34-0.3367)sin(0.32)=爲(wèi)b.0167xsin(0.34)+0.0033xsin(0.32)沁0.33042)拋物線插值拋物線插值公式為：P(x)2完

9、美WORD格式編輯學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考資料(x-x)(x-x)./、(x-x)(x-x)./、(x-x)(x-x)./、12sm(x)+02sm(x)+iosm(x)(x-x)(x-x)0(x-x)(x-x)1(x-x)(x-x)20102101221201r(x-x)(x-x)、/、(x-x)(x-x)./、i2sin(x)+(xx)(xx)sin(x)ism(x)0.0222002122P(0.3367)2膾品45x吋辺+3&911xsin(0-34)-氓5xsin(0.36)蠱伽5xsin(0.32)+3&911xsin(0-34)-”xsin(0-36)=0.33037439經(jīng)四舍五入后得：P

10、(0.3367)二0.330374，與sin(0.3367)=0.330374191精確值相比較，在插值誤差范圍內(nèi)完全吻合！1.3分段插值與樣條函數(shù)c/、x3+x20 x11、(p.56，習(xí)題33)設(shè)分段多項式S(x)=仁2x3+bx2+cx-11x2是以0,1,2為節(jié)點的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)b，c的值.【解】依題意，要求S(x)在x=1節(jié)點函數(shù)值連續(xù)：S(1)=13+12=2x13+bx12+cx1一1=S(1)，+即：b+c=1(1)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：S(1)=3x12+2x1=6x12+2xbx1+c=S(1)，+即：2b+c=-1(2)解方程組(1)和(2)，得b=-2,c=3，即一、

11、x3+x20 x1S(x)=2x3-2x2+3x-11x2由于S(1)=3x2x1+2=6x2x1-2x2=S”(1)，所以S(x)在x=1節(jié)點的二+階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。2、已知函數(shù)y=的一組數(shù)據(jù)，x=0,x=1,x=2和y=1,y=0.5,y=0.2，+x2012012（1）求其分段線性插值函數(shù)；（2）計算f（1.5）的近似值，并根據(jù)余項表達(dá)式估計誤差?！窘狻浚?）依題意，將x分為0,1和1,2兩段，對應(yīng)的插值函數(shù)為S/x）和S2（x），利用拉格朗日線性插值公式，求得x-x丄x-xS(x)二-y+Jy1x-x0 x-x10110二!x1+x0.5-0.5x+1；0-11-0 xx丄xxS(x)二4

12、y+1y2x-x1x-x21221二二x0.5+x0.2=-0.3x+0.81-22-1f(卩)=占030769230769S(1.5)=-0.3x1.5+0.8=0.352實際誤差為：If(1.5)-(1.5)1=0.04230.05。由f(1)(x)=2x(1+x2)2f(2)(x)=-2(1-3x2)(1+x2)3f(3)(x)=24x(1-x2)(1+x2)4,可知M=f(2)(1)=0.5，則余項表達(dá)式2If(2)(?)IMR(x)=丄(乙I(x1)(x2)Ix0.52=0.54=0.06250.52!2!1.4曲線擬合l、(p.57，習(xí)題35)用最小二乘法解下列超定方程組：2x+4

13、y=113x一5y=3x+2y=6解】2x+y=7構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下：Q(x,y)=(2x+4y-11)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(2x+y-7)2，分別就Q對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：QQ(x,y)Ox6x-y=17-3x+46y=48(1)，(2)，解方程組（1）和（2），得46x17+48沁3.04029,6x48+3x17273沁1.241762（p.57，習(xí)題37）用最小二乘法求形如y=a+bx2的多項式，使之與下列數(shù)據(jù)相擬合。【解】令X=x2，則y=a+bX為線性擬合，根據(jù)公式（p.39,公式43），取m=2，a1=0，N=5，求得5a+b工X=5a+b工

14、x2=工yiii=1i=1aZX+bLX2=aZx2+iiii=1i=1i=1(1)i=1i=1bZx4=ZXii=1i=Zx2yii(2)X.iyiXi(=xQX2(=X4)X.y.ii(=xi2yi)191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8E157271.453277277699369321.5i=1i=1依據(jù)上式中的求和項，列出下表將所求得的系數(shù)代入方程組（1）和（2），得5a+5327b=271.405327a+7

15、277699b=369321.5(2)0271.4x7277699-369321.5x53277791878.1a=沁0.97258;5x7277699-5327x532780115665x369321.5-5327x271.4400859.7b=0.05004;5x7277699-5327x53278011566即：y=0.97258+0.05004x2。機(jī)械求積和插值求積1、（p.94，習(xí)題3）確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度：(1)Jhf(x)dx沁Af(-h)+Af(0)+Af(h)012-Af(；)+Af(；)+Af(3)；041224

16、f(x)dx4f(0)+A。【解】（1）令f（x）=1,x,x2時等式精確成立，可列出如下方程組：A+A+A=2h(1)012-A+A=0(2)022A+A=-h(3)023完美WORD格式編輯完美WORD格式編輯學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考資料0學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考資料h4h解得：A=A=-,A=亍h，即：Jhf(x)dx沁-f(_h)+4f(0)+f(h)，可以0233_h3驗證，對f(x)二x3公式亦成立，而對f(x)二x4不成立，故公式(1)具有3次代數(shù)精度。(2)令f(x)二1,x,x2時等式精確成立，可列出如下方程組：(1)(2)(3)111解得：A0=A2=3,A1=-3，即：ff(x)dx沁32f(4

17、)_f(_2)+A+A+A1012A+2A+3A20123A+12A+27A16012可以TOC o 1-5 h z2A丄，即:J-y1334驗證，對f(x)x3公式亦成立，而對f(x)x4不成立，故公式(2)具有3次代數(shù)精度。IA-3(3)令f(x)=1,x時等式精確成立，可解得：042x_03132即：f1f(x)dx沁f(0)+f()，可以驗證，對f(x)二x2公式亦成立，而對0443f(x)二x3不成立，故公式(3)具有2次代數(shù)精度。,c3、-dx_2x(_x2_x)2412、(p.95，習(xí)題6)給定求積節(jié)點x0=4,x1求積公式，并指明該求積公式的代數(shù)精度?！窘狻恳李}意，先求插值求積

18、系數(shù)：3xTOC o 1-5 h zAdx-J1400 x_x01301_431,試構(gòu)造計算積分1Jf(x)dx的插值型40A-J1Adx-10 x_x10插值求積公式：f1f(x)dx二工A0f(xkkk_0A0-4x)當(dāng)f(x)=x，左邊1f(x)dx=0當(dāng)f(x)二x2，左邊1f(x)dx=0111當(dāng)f(x)1，左邊f(xié)(x)dx1；右邊=-X1+-X11;左=右；11131X+X右邊=24+242左右111195X+x3右邊21621616左產(chǎn)右故該插值求積公式具有一次代數(shù)精度。2.2梯形公式和Simpson公式l、(p.95，習(xí)題9)設(shè)已給出f(x)二1+e-xsin4x的數(shù)據(jù)表，x0

19、.000.250.500.751.00f(x)1.000001.655341.551521.066660.72159分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分I=卩f(x)dx的近似值。0【解】(1)用復(fù)化梯形法：a=0,b=1,n=5,h=_=0.25n4=藝hf(x)+f(x)=hf(a)+2藝f(x)+f(b)2kk+12kk=0k=10.25=Xf(0.00)+2Xf(0.25)+f(0.50)+f(0.75)+f(1.00)T=0.125x1.00000+2x(1.65534+1.55152+1.06666)+0.721595T=1.283585(2)用復(fù)化辛普生法：a=0,b=1,n=2

20、,h=a=1=0.5n2S=藝hf(x)+4f(x)+f(x)=hf(a)+4藝f(x)+2藝f(x)+f(b)26k,1k+16丄kk=0k+2k=0k+2k=1S=05Xf(0.00)+4Xf(0.25)+f(0.75)+2xf(0.50)+f(1.00)26S=x1.00000+10.888+3.10304+0.72159沁1.3093912112(p.95，習(xí)題10)設(shè)用復(fù)化梯形法計算積分1=Jexdx，為使截斷誤差不超過卞X10-5，02問應(yīng)當(dāng)劃分區(qū)間【0,1】為多少等分？如果改用復(fù)化辛普生法呢？【解】(1)用復(fù)化梯形法，a=，b=1,f(x)=廣(x)=廣(x)=ex，設(shè)需劃分n等

21、分，則其截斷誤差表達(dá)式為：1RtH1-U=忖max小)=晉e；依題意，要求1rt広2x10-5，即金2X10-5=n2晉212.849，可取n=213。(2)用復(fù)化辛普生法，a=0,b=f(x)=f(x)=f(x)=ex，截斷誤差表達(dá)式為：1RsH1-丁富叭廠進(jìn))=(1-0)5ee二2880n42880n4依題意，要求|RS11X10-5,即爲(wèi);2x10-5-n4需370666，可取n=4，劃分8等分。2.3數(shù)值微分f(x)-3f(x)+4f(x)f(x)(51)02h012f(x)-f(x)+f(x)(52)12h02f(x)-2f(x)4f(x)+3f(x)2h012(53)1、(p.96

22、，習(xí)題24)導(dǎo)出三點公式(51)、(52)和(53)的余項表達(dá)式解】如果只求節(jié)點上的導(dǎo)數(shù)值，利用插值型求導(dǎo)公式得到的余項表達(dá)式為f(n+l)(g)pnTkX丄丄(xx)(n+1)!kj0j豐k由三點公式(51)、(52)和(53)可知，n2,hx1一“魚)f(2+D(g)祁()f(g)(0(2+1)!0/3!0R(x)二f(x)-p(x)二kkk=x一x，21f(g)一x)(x一x)h21023隹)h20h26R(x)f(2+D(勺)xH(xx)廣()(xx)(xx)-1(2+1)!1j3!1012j0R(x)f(2+1誕2)xH(xx)廣G2)(xx)(xx)j3!20212(2+1)!2j

23、0j豐223!x1.01.11.2f(x)0.25000.22680.20662、(p.96，習(xí)題25)設(shè)已給出f(x)二1吋的數(shù)據(jù)表，試用三點公式計算f(1.0),f(1.1),f(1.2)的值，并估計誤差。【解】已知1.0,1.1,x21.2,ht一x2一0.1，用三點公式計算微商：f(1.0)沁丄3f(1.0)+4f(1.1)-f(1.2)=-3X0.2500+4x0.2268-0.2066=0.24702h2x0.1f(1.1)沁丄-f(1.0)+f(1.2)=1-0.2500+0.2066=-0.21702h2x0.1f(1.2)沁f(1.0)-4f(1.1)+3f(1.2)=10.

24、2500-4x0.2268+3x0.2066=-0.18702h2x0.11-26-24f(x)=；二f(x)=-；二f(x)=；nf(x)=-，(1+x)2(1+x)3(1+x)4(1+x)5用余項表達(dá)式計算誤差R(1.0)=f0)h2沁-24x0.12沁-0.00253(1+1.0)5R(1.1)二一廣V1)h2沁24x0.12沁0.001253!3!(1+1.0)5R(1.2)=廣住2)h2沁-24x0上沁-0.0496733(1+1.1)53、(p.96，習(xí)題26)設(shè)f(x)=sinx，分別取步長h=0.1,0.01,0.001，用中點公式(52)計算f(0.8)的值，令中間數(shù)據(jù)保留小

25、數(shù)點后第6位。f(a+h)-f(a-h)f(a)【解】中心差商公式：f(a)沁，截斷誤差：R(h)=h2。可2h3!見步長h越小，截斷誤差亦越小。h=0.1,x=0.8-h=0.7,x=0.8+h=0.9,則02f(0.8)沁丄sin(0.9)-sin(0.7)沁10.783327-0.644218沁0.695545；2h2x0.1h=0.01,x=0.8-h=0.79,x=0.8+h=0.81,則02f(0.8)沁sin(0.81)-sin(0.79)沁10.724287-0.710353沁0.69672h2x0.01h=0.001,x=0.8-h=0.799,x=0.8+h=0.801,則

26、02f(0.8)沁sin(0.801)-sin(0.799)沁10.718052-0.716659沁0.69652h2x0.01而精確值f(0.8)=cos(0.8)=0.6967067，可見當(dāng)h=0.01時得到的誤差最小。在h=0.001時反而誤差增大的原因是f(0.8+h)與f(0.8-h)很接近，直接相減會造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。因此，從舍入誤差的角度看，步長不宜太小。3.1Euler格式1、(p.124，題1)列出求解下列初值問題的歐拉格式(1)y=x2一y2(0 x0.4)，y(0)=1，取h=0.2；解】ry)2(1x1.2)，y(0)=1，取h二0.2;y=y+hy=y+h(x2

27、-y2)=y+0.2x(x2-y2);n+1nnnnnnnny2yy2yy=y+h(n+n)=y+0.2x(n+n)。n+1nx2xnx2xnnnn2、（p.124，題2）取h=0.2，用歐拉方法求解初值問題y=-y-xy2(0 x0.6)，y(0)=1。【解】歐拉格式：y=y+hy=y+h(yxy2)=y+0.2x(yxy2)；化n+1nnnnnnnnnnn0123xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.4613簡后，y=0.8y-0.2xy2，計算結(jié)果見下表。n+1nnn3、(p.124，題3)取h=0.11，用歐拉方法求解初值問題y=帀-2y2（。x4）y（0）=0。

28、并與精確解y=比較計算結(jié)果。1+x2解】歐拉格式：yn+1=y+hy=ynnn+h(2y2)=y+0.2x(nn1+x2n-2y2)；n計算結(jié)果見下表?；喓螅瑈=y.4y2+n+1nn1+x2n1、（p.124，題7）用改進(jìn)的歐拉方法求解上述題2，并比較計算結(jié)果?！窘狻抗剑阂驗閥=f(x,y)=-y-xy2(0 x0.6)，h=0.2，且y(0)=1，則改進(jìn)的歐拉y=y+hf(x,y)=y+h(-y-xy2)=0.8y-0.2xy2pnnnnnnnnnny=y+hf(x,y)=y+h(-y-xy2)=y-0.2x(y+xy2)。cnnpnpnpnpnp(y+y)y=pIn+12計算結(jié)果見下

29、表。n0123xn0.00.20.40.6yp1.00.67300.51470.3941yc0.760.70920.55640.4319yn0.880.69110.53560.413與原結(jié)果比較見下表n0123xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.4613yn(改進(jìn))0.880.69110.53560.4133.3龍格-庫塔方法l、(p.l24，題11)用四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法求解初值問題y=8-3y，y(0)=2，試取步長h二0.2計算y(0.4)的近似值，要求小數(shù)點后保留4位數(shù)字。解】四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法公式：n+1K1K2K3=y+-(K+2K+2K+K)n6

30、1234=f(x,y)nnh=f(x丄,y+2K)TOC o 1-5 h z丄n/1n+22h=f(x，y+K)n+1n22n+1n2nxnyn00.02.00010.22.300420.42.4654K4+hK)3列表求得y(0.4)如下：迭代法及收斂定理(k0,1,2,)，求201、(p.153，題1)試取x二1，用迭代公式x二0k+1x2+2X+10kk方程x3+2x2+10 x-20=0的根，要求準(zhǔn)確到10-3。解】迭代計算結(jié)果列于下表kxk%=-10.001kxkXk-Xk-10.00111.538460.53846N61.365930.00937N21.295020.24344N7

31、1.370090.00416N31.401820.10680N81.368240.00185N41.354210.04761N91.369060.00082Y51.375300.02109NIx-x10.0008210-3xC*)二2，解得x*=y遠(yuǎn)，因xx=1.36906。TOC o 1-5 h z9892、(p.153，題2)證明方程x=2cosx有且僅有一實根。試確定這樣的區(qū)間a,b，使迭代過程x=cosx對xGa,b均收斂。k+12k0【證明】設(shè)：g(x)=2cosx則當(dāng)xGR時g(x)=2cosxG-2,2且一階導(dǎo)數(shù)g(x)=-sinx連續(xù)，Ig(x)l=l-sinxI11均收斂于2

32、。k【證明】設(shè)：g(x)=21x1x1vx1x12+對于任意x1因為I+匚-2迂-1卞2所以g(x)八2。2x111-階導(dǎo)數(shù)g(x)=廠贏21均收斂。假設(shè)limx=x*，對迭代式0kxk+1x1二才+兩邊取極限，則有2xkV2不在x1范圍內(nèi)，須舍去。故x*=v2。證畢4.2牛頓迭代法1、（p.154，題17）試用牛頓迭代法求下列方程的根，要求計算結(jié)果有4位有效數(shù)字：x3一3x一1=0，x=20 x2一3x一ex+2=0，x=10【解】（1）設(shè)f（x）=x3-3x-1，則廣（x）=3x2-3，牛頓迭代公式：f(x)x33x12x3+1x=xk+1k（k=O，1，2,）迭代計算過k=x一一kk=k

33、f(x)k3x2一33(x2一1)kkk程見下列表。kxkXk-Xk-10.0001kxkXkF-0.000111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879450.00944NIx一x10.0000610-4x*ux=1.879。323(2)設(shè)f(x)=x2-3x-ex+2，貝寸f(x)=2x-3-ex，牛頓迭代公式：f(x)x23xexk+2x2exk(x1)2門a”、x=xk=x一一kk=kk(k=0,1,2,)k+1kf(x)k2x一3一exk2x一3一exkkkk，迭代計算過程見下列表。kxk1Xk%0.0001kxk0.00110.268940.7310

34、6N30.257530.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y因為丨xxI0.000000）的迭代公式，并證明該迭代公式具有二階收斂性。【證明】（1）設(shè)：f（x）=x3一a，則f（x）=3x2，對任意x0，牛頓迭代公式x=x4k+1kf(xjx3a2x3+a=xkk3x2kk3x2kk=0,1,2，2）由以上迭代公式，有l(wèi)imxkT8k=x*2x3+a亍(x0)g(x*)=x*；g(x*)=3(1一自=0;g(x*)=絲x=3a一x4x=3ag(g)xx*=g(x)g(x*)=g(x*)(xx*)+(xx*)2k+1kk2!kxx*g(x*)1limE二二

35、，可見該迭代公式具有二階收斂性。證畢k*(Xx*)22!3ak線性方程組迭代公式解】雅可比迭代公式：x(k+1)1V121=一一x(k)+=一(2x(k)323327111_x(k)+_(1x(k)21221迭代計算結(jié)果列于下表。kx(k)1x(k)21x(k)一x(k1)|111x(k)一x(k1)|0.0005?000-12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N50.601850.208330.018520.01389N60.597220.199080.004630.00925N70.600310.2013

36、90.003090.00231N80.599540.199850.000770.00154N90.600050.200230.000510.00038N100.599920.199980.000030.00025YX(k+1)213x+x=2l、(p.l70，題1)用雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代求解方程組：|x+2x2=1，要求結(jié)12果有3位有效數(shù)字。x*沁x(10)沁0.600;x*沁x(10)沁0.200;1122由上表可見，所求根皆為小數(shù)點后第1位不為零的小數(shù)，要取3位有效數(shù)，則誤差限為x10-3。2高斯-賽德爾迭代公式x(k+1)1V121=_x(k)+=(2x(k)323327111

37、=一一x(k+1)+=(1+x(k)212627迭代計算結(jié)果列于下表。kx(k)1x(k)21x(k)一x(k1)|111x(k)一x(k1)|0.0005?000-12/31/62/31/6N20.61110.1944N30.60190.19910.00920.0047N40.60030.19990.00160.0008N50.60000.19990.00030.0000Yx(k+1)2x*沁x沁0.600;x*沁x沁0.200;11222、(p.l71，題7)取=1.25，用松弛法求解下列方程組，要求精度為x10-4。4x+3x=16123x+4x-x=20123x+4x=1223解】歐先

38、寫出高斯-賽德爾迭代：(k+1)x(k+1)=3(k)+1x(k)+5丄x(k)+14143162(1)x(k+1)=1(k)3丄x(k)+丄x(k)42642163引入松弛因子，得x(k+1)1=(1)X(k)+(k+1)1x(k+1)2=(1)X(k)+(k+1)2x(k+1)3=(1)x(k)+(k+1)31=X(k)+X(k+1)4141 HYPERLINK l bookmark60 15=X(k)+X(k+1)424215=X(k)+X(k+1)43435(2)將方程組（1）代入（2），并化簡x(k+1)1115=x(k)x(k)+541162x(k+1)22955=X(k)+X(k

39、)+642163(3)x(k+1)3TOC o 1-5 h z4511X(k)X(k)252562643計算結(jié)果見下表。kX(k)1X(k)2X(k)31X(k)一X(k1)|111X(k)一X(k1)|22IX(k)X(k1)|33E0000-152.5-3.12552.53.125N21.406252.65625-2.14844N32.158203.03223-2.28882N41.611733.15872-2.19860N51.635773.24423-2.19187N61.549593.28508-2.17800N71.532843.30793-2.17320N81.515613.31

40、978-2.17001N91.508803.32615-2.16847N01.504533.32951-2.16762N11.502453.33130-2.16717N21.501293.33225-2.16694N31.500693.33276-2.16672N41.500373.33306-2.16676N51.500163.33318-2.16670N61.500103.33325-2.16668N71.500053.33329-2.166680.000050.000040.00000Y迭代解：x*=x(17)u1.5001,x*=x(17)u3.3333,x*=x(u2.1667.11

41、2233精確解：31013x=1.5,x=u3.3333,x=u2.1667.1223365.1線性方程組迭代公式1、（p.l70，題2）試列出求解下列方程組的雅可比迭代公式與高斯-賽德爾迭代公式，并考察迭代過程的收斂性。10 x+x5x=7TOC o 1-5 h z134x+8x一3x=111233x+2x一8x+x=231234x一2x+2x+7x=171234【解】(1)雅可比迭代公式：GJ=1_84810014210，GJ迭代收斂。117x(k+1)=x(k)+x(k)110324101311x(k+1)=x(k)+x(k)+28183831123x(k+1)=x(k)+x(k)+x(

42、k)3814284812217x(k+1)=x(k)+x(k)x(k)+47172737(1)2）高斯-賽德爾迭代公式：117X(k+1)=X(k)+X(k)110324101311X(k+1)=X(k+1)+X(k)+28183831123X(k+1)=X(k+1)+X(k+1)+X(k)3814284812217X(k+1)=X(k+1)+X(k+1)X(k+1)+47172737將方程組(1)帶入(2)，經(jīng)化簡后，得：(2)280316480/91919787(3)X(k+1)=X(k)+X(k)33203644320121393991X(k+1)=X(k)-X(k)+X(k+1)=X(

43、k)-X(k)+41120322441120TOC o 1-5 h z117X(k+1)=-X(k)+X(k)-1103241000GG-S00-1_10318019320891211264392243，IG=21，不收斂。高斯-賽德爾迭代：|x(k+1)=2x(k)1I12x(k+1)=3x(k+1)+221|x(k+1)=2x(k)1或I12，|G|=61,不收斂。X(k+1)=6X(k)+5g213111172）雅可比迭代：x(k+i)=5x(k)+3x(k)+212351一2，llG|=81，不收斂。x(k+)=x(k)+一x(k)22123g2111x(k+1)=x(k)+x(k)+-351525高斯-賽德爾迭代：x(k+i)=5x(k)+3x(k)+2123x(k+)=5x(k+1)+1x(k)2 HYPERLINK l bookmark56 22123x(k+i)=5x(k)+3x(k)+2123或x(k+)=x(k)+8x(k)+3或22232111x(k+1)=x(k+1)+x(k+1)+351525x(k+1)311418=x(k)+x(