蒙特卡洛法評(píng)定測量不確定度

1、蒙特卡洛法評(píng)定測量不確定度JJF1059.2-2011JJF中華人民共和國國家計(jì)量技術(shù)規(guī)范JJF1059.2-2011用蒙特卡洛法評(píng)定測量不確定度Monte Carlo Method for Evaluation of Measurement Uncertainty201 x - x x - x x 發(fā)布201x - x x-x x 實(shí)施國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局 發(fā)布JJF1059.2-2011JJF1059.2-201X用蒙特卡洛法傳播概率分布Monte Carlo Method for Evaluationof Measurement Uncertainty本規(guī)范經(jīng)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局

2、于 201X年x X月x X日批準(zhǔn)，并自201X年 X X月X X日起施行。歸口單位：全國法制計(jì)量管理計(jì)量技術(shù)委員會(huì)起草單位：北京理工大學(xué)中國計(jì)量科學(xué)研究院國家質(zhì)檢總局計(jì)量司本規(guī)范由全國法制計(jì)量管理計(jì)量技術(shù)委員會(huì)解釋JJF1059.2-2011本規(guī)范起草人：周桃庚 北京理工大學(xué)葉德培沙定國北京理工大學(xué)原遵東 中國計(jì)量科學(xué)研究院施昌彥陳紅 國家質(zhì)檢總局計(jì)量司JJF1059.2-2011 TOC o 1-5 h z 引言71 1舌用范圍82引用文獻(xiàn)和參考文獻(xiàn)83術(shù)語和岸文94蒙特卡洛法14蒙特卡洛法的實(shí)施步驟 14模型的建立15蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)15輸入量概率分布的抽樣及模型侑計(jì)尊 16輸出量分布函

3、數(shù)的離散表示 16輸出量及其標(biāo)準(zhǔn)不確空度17輸出量的包含區(qū)間184.8自適應(yīng)蒙特卡洛方法5報(bào)告結(jié)果6用蒙特卡洛法驗(yàn)證 GUM 法的結(jié)果1820216.1用蒙特卡洛法聆證GUM法的結(jié)果21用干驗(yàn)證 GUM 法的蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù) .22附錄A常見的輸入量概率密度函數(shù)（補(bǔ)充件）24附錄B用蒙特卡洛法傳播概率分布實(shí)例（補(bǔ)充件）.28B.1加法模型28JJF1059.2-2011 TOC o 1-5 h z B.2質(zhì)量校準(zhǔn)32B.3微波功率計(jì)校準(zhǔn)中的比較損耗 36B.4量塊校準(zhǔn)41附錄C GUM 法與MCM 的比較（補(bǔ)充件）46附錄D分布傳播的基本原理（補(bǔ)充件）48D.1概率分布的傳播 48D.2分布傳

4、播的實(shí)施方法 48附錄E詞匯和基本符號(hào)（參考件）51附錄F常用術(shù)語的英漢對(duì)照（參考件）58JJF1059.2-2011引言本規(guī)范規(guī)定了用蒙特卡洛法評(píng)定與表示測量不確定度的方法，其核心內(nèi)容是基于測量模型采用蒙特卡洛法（MCM）進(jìn)行概率分布傳播。本規(guī)范適用于具有多個(gè)輸入量和單一輸出 量的測量模型。本規(guī)范描述的MCM尤其適用于以下兩種情況：1）不宜對(duì)測量模型進(jìn)行線性化等近似的場合。在這種情況下 ，按JJF1059.1測量不確 定度評(píng)定與表示的方法（按國際標(biāo)準(zhǔn)ISO/IEC簡稱為GUM）確定輸出量的估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)不 確定度可能會(huì)變得不可靠；2）輸出量的概率密度函數(shù)（PDF）較大程度地偏離正態(tài)分布或t分布

5、，例如分布明顯不 對(duì)稱的場合。在這種情況下，可能會(huì)導(dǎo)致對(duì)包含區(qū)間或擴(kuò)展不確定度的估計(jì)不切實(shí)際。在JJF1059.1測量不確定度評(píng)定與表示中，測量不確定度的傳播是通過測量模型采用 不確定度傳播公式來實(shí)現(xiàn)的，它在評(píng)定輸出量估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，須給定乂1）輸入量 的最佳估計(jì)值；（2）輸入量估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；必要時(shí)，還須給定：（3）這些標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度；（4）每對(duì)估計(jì)值之間的非零協(xié)方差。視輸出量的 PDF為正態(tài)分布或t分布 時(shí)，還可獲取輸出量給定包含概率的包含區(qū)間。本規(guī)范就GUM中未涉及的概率分布傳播的問題提供指導(dǎo)，以擴(kuò)大測量不確定度評(píng)定 與表示的適用范圍。本規(guī)范基于最佳估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)不確定

6、度、協(xié)方差和自由度，或原始統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以及其他相關(guān)的科學(xué)描述，包括專業(yè)的判斷等信息，構(gòu)造輸入量的PDF,進(jìn)而確定輸出量的PDFc 一旦獲取輸出量的PDF，則其期望值和標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為該量的最佳估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定 度。由PDF還可獲取輸出量給定包含概率的包含區(qū)間。本規(guī)范的附錄A ”輸入量的概率密度函數(shù)”、附錄B “用蒙特卡洛法傳播概率分布實(shí) 例、附錄C ”與GUM法的比較”和附錄D ”分布傳播的基本原理”是本規(guī)范內(nèi)容的 補(bǔ)充，所用的基本符號(hào)，取自GUM 及有關(guān)的ISO、IEC標(biāo)準(zhǔn)。附錄E ”詞匯和基本符號(hào)” 和附錄F “常用術(shù)語的英漢對(duì)照”分別為參考文件。JJF1059.2-20111適用范圍本規(guī)

7、范為測量不確定度評(píng)定提供了一個(gè)通用的數(shù)值方法，該方法與JJF1059.1-2010和GUM的主要原則一致。本規(guī)范適用于具有任意多個(gè)輸入量和單一輸出量的模型，輸入量 可由PDFS征。本規(guī)范主要關(guān)注定義完善的、本質(zhì)上可用唯一值表征的被測物理量的測量不確定度。本規(guī)范為輸出量PDF提供一個(gè)表示方法。由于一般不能確定輸出量的PDF的解析表達(dá)式，故本方法是在規(guī)定的數(shù)值容差下估計(jì)出PDF的三個(gè)主要特征量：（1）輸出量的估計(jì)值；（2）該估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；（3）給定包含概率的卒&出量包含區(qū)間（包括任意包含概率， 以及概率對(duì)稱包含區(qū)間和最短包含區(qū)間）。本規(guī)范特別適用評(píng)定以下典型情況的測量不確定度問題 ：1）各

8、不確定度分量的大小不相近；2）應(yīng)用不確定度傳播公式時(shí)，計(jì)算模型的偏導(dǎo)數(shù)困難或不方便；3）輸出量的PDF背離正態(tài)分布、縮放平移t分布；4）輸出量的估計(jì)值和其標(biāo)準(zhǔn)不確定度的大小相當(dāng)；5）模型非常復(fù)雜，不能用線性模型近似；6）輸入量的PDF不對(duì)稱。1.5本規(guī)范提供了檢查GUM法是否適用的驗(yàn)證方法。GUM法若明顯適用，則依然是不 確定度評(píng)定的主要方法。注：.本規(guī)范未考慮定義輸出量不唯一的模型的情 形。例如，沒有指定二次方程取哪個(gè)解。.本規(guī)范未考慮獲得輸出量先驗(yàn)PDF的情形，但本規(guī)范采用的方法作適當(dāng)?shù)母膭?dòng)后可處理這種 情形。2引用文獻(xiàn)和參考文獻(xiàn)JJF1059.1-201X 測量不確定度評(píng)定與表示JJF1

9、001-201X 通用計(jì)量術(shù)語及定義8JJF1059.2-2011GB/T 3358.1-1993統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語 第一部分 一般統(tǒng)計(jì)術(shù)語ISO/IEC Guide 98-3:2008 Uncertainty of measurement Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995)(y量不確定度，第 3 部分 測量不確 定度表示指南(GUM:1995)ISO/IEC GUIDE 98-3/Suppl.1 :2008Uncertainty of measurement Part 3: Guideto

10、the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method測量不確定度第3部分 測量不確定度表示 指南(GUM : 1995)附件1:用蒙特卡洛方法傳播概率分布)ISO/IEC Guide 99:2007 International vocabulary of metrology - Basic and general concepts and associated terms (VIM)(際計(jì)量學(xué)詞匯-

11、基本和通用概念以及相關(guān)術(shù)語 (VIM)3術(shù)語和定義概率分布 probability distribution給出一個(gè)隨機(jī)變量取任意給定值或取值于某給定集合的概率的(隨機(jī)變量)函數(shù)。注：隨機(jī)變量在整個(gè)集合中取值的概率等于1。一個(gè)概率分布與單一(標(biāo)量)隨機(jī)變量有關(guān)時(shí)稱 為單變量概率分布，與隨機(jī)變量的向量有關(guān)時(shí)稱為多變量概率分布。多變量概率分布也稱聯(lián)合分 布。一個(gè)概率分布可以采用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)的形式。分布函數(shù) distribution function9JJF1059.2-2011對(duì)于每個(gè)己值，給出了隨機(jī)變量 X小于或等于之的概率的一個(gè)函數(shù)。Gx( ) = Pr(X )PDF概率密度函數(shù) p

12、robability density function分布函數(shù)的微商，若微商存在，則gx ( ) = dGx( ) d正態(tài)分布 normal distribution連續(xù)隨機(jī)變量X的概率分布,其概率密度函數(shù)為gx()=expf-lpHI 21 仃式中，N是X的期望，。為標(biāo)準(zhǔn)偏差。注：正態(tài)分布也稱作正態(tài)分布t 分布 t distribution連續(xù)隨機(jī)變量X的概率分布，其概率密度函數(shù)為gx()二（廠射（十孝廠卻2式中，q ,參數(shù)v為正整數(shù)，分布的自由度，伽馬函數(shù)為如下形式3.6期望 expectation(z)= ：t0z4 . te dt, z 0隨機(jī)變量的性質(zhì)，概率密度函數(shù) PDF為gxK）

13、的連續(xù)隨機(jī)變量X的期望定義為E(X)= ： gx( )d3.7方差 variance隨機(jī)變量的性質(zhì)，概率密度函數(shù) PDF為gxS）的連續(xù)隨機(jī)變量X的方差定義為V(X)=.二-E(X)fgx(bdt標(biāo)準(zhǔn)偏差 standard deviation10JJF1059.2-2011方差的正平方根V(x)112r 階矩 moment of order r隨機(jī)變量的r次幕的期望，即E(X)= ： ( )dCO注：. r階中心矩為隨機(jī)變量Z = E1X.E(x)的期望。.期望E(x)是一階矩，方差V(X)是2階中心矩。協(xié)方差 covariance兩個(gè)隨機(jī)變量之間的一種性質(zhì)，兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量Xi和X2的聯(lián)合(

14、多變量)PDF為gX (力,式中X =(Xi,X2), U),協(xié)方差定義為Cov(Xi,X2): I I 二1 - E(Xi) H 2 - E(X2) lgX ( )d 1d 2不確定度矩陣 uncertainty matrixN父N維矩陣，其對(duì)角線上的元素為 N維向量中分量的估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的平方，其他非對(duì)角線上的元素為兩個(gè)估計(jì)值之間的協(xié)方差。注：、1.向量X的估計(jì)值x的NMN維不確定度矩陣U x的 表達(dá)式為；U(Xi,Xi) III U(Xi,Xn)Ux=: i、 式中，u(Xi,Xi) =u2(xlU(，Xi的昉uB(標(biāo)準(zhǔn)不確定度的平 方),ujp為xi和xj2間的協(xié)方差,若X的分量

15、Xi和Xj不相關(guān))則u(xi,xj) = 0 o.協(xié)方差又稱作相互不確定度。.不確定度矩陣又稱作協(xié)方差矩陣或方差-協(xié)方 差矩陣。包含區(qū)間 coverage interval基于可獲信息確定的包含某量的值的區(qū)間，量值以說明了概率落在該區(qū)間內(nèi)。注：.包含區(qū)間有時(shí)被稱為可信區(qū)間或貝葉斯區(qū) 間。11JJF1059.2-2011. 一般情況下，對(duì)于一個(gè)給出的概率，存在多于 一個(gè)的包含區(qū)間。.不應(yīng)把包含區(qū)間稱為置信區(qū)間，以避免與統(tǒng) 計(jì)學(xué)概念混淆。包含概率 coverage probability在規(guī)定的包含區(qū)間內(nèi)包含某量的值的概率。注：.不應(yīng)把包含概率稱為置信水平，以避免與統(tǒng) 計(jì)學(xué)概念混淆。.包含概率替代

16、了置信的水平或置信水準(zhǔn)。包含區(qū)間長度 length of a coverage interval在包含區(qū)間內(nèi)，最大值減去最小值。概率對(duì)稱包含區(qū)間 probabilistically symmetric coverage interval某個(gè)量的包含區(qū)間，其中該量小于區(qū)間內(nèi)最小值的概率等于該量大于區(qū)間內(nèi)最大值的概率。最短包含區(qū)間 shortest coverage interval在具有相同包含概率的一個(gè)量的所有包含區(qū)間中，長度最短的包含區(qū)間。分布傳播 propagation of distributions應(yīng)用與輸出量相關(guān)的輸入量的概率分布確定輸出量的概率分布的方法。注：此方法可以是解析的或數(shù)

17、值的，確切的或近 似的。GUM測量不確定度評(píng)定方法 / GUM法 GUM method一種應(yīng)用測量不確定度傳播公式的方法。為提供輸出量的包含區(qū)間 ，該方法將輸出量 近似為正態(tài)分布或縮放位移 t分布。該方法是國際組織ISO/IEC在Guide 98-3:2008測量 不確定度表示導(dǎo)則中推薦采用的。蒙特卡洛法 Monte Carlo method MCM利用對(duì)概率分布進(jìn)行隨機(jī)抽樣而進(jìn)行分布傳播的方法。數(shù)值容差 numerical tolerance最短區(qū)間的半寬度，該區(qū)間包含能正確表達(dá)到指定位數(shù)的有效十進(jìn)制數(shù)的所有數(shù)。例12JJF1059.2-2011如，大于1.75且小于1.85的所有數(shù)可以表達(dá)

18、為兩位有效十進(jìn)制數(shù) 1.8的數(shù)值容差就是(1.85-1.75)/2=0.05。21 獨(dú)立 independence如果兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布是它們每個(gè)概率分布的乘積，那么這兩個(gè)隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。注：如果兩個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的，那么它們的協(xié) 方差和相關(guān)系數(shù)等于零，但反之不一定成立。3.22 測量模型 measurement model簡稱模型model測量中涉及的所有已知量間的數(shù)學(xué)關(guān)系。注：.測量模型的通用形式是方程：h(Y, X1,，Xn)=0,其中測量模型中的輸出量 Y是被測量，其 量值由測量模型中輸入量 X1,，Xn的有關(guān)信 息推導(dǎo)得到。.在有兩個(gè)或多個(gè)輸出量的較復(fù)雜情況下，測量模型

19、包含一個(gè)以上的方程。.在測量模型中M由輸入量的已知量值計(jì)算得 到的值是輸出量的沏得值時(shí)，輸入量與輸出量間 的量的函數(shù)關(guān)系。.如果測量模型h(Y, X1,，X n )=0可明確 地寫成Y = f (X1,，Xn),其中Y是測量模型 中的輸出量，則函數(shù)f是測量函數(shù)。更通俗地說，f 是一個(gè)算法符號(hào)，算出與輸入量 X1,Xn相應(yīng)的 唯一的輸出量值y=f(X1),Xn)。13JJF1059.2-20114蒙特卡洛法在測量不確定度的評(píng)定中采用的 MCM是一種通過重復(fù)采樣實(shí)現(xiàn)分布傳播的數(shù)值方法。與GUM法利用線性化模型傳播不確定度的解析方法不同， MCM通過對(duì)輸入量Xi 的PDF離散采樣，由測量模型傳播輸入

20、量的分布，計(jì)算獲得輸出量Y的PDF的離散采樣 值，進(jìn)而由輸出量的離散分布數(shù)值直接獲取輸出量的最佳估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度和包含區(qū)問。該輸出量的最佳估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度和包含區(qū)間等特性的計(jì)算質(zhì)量隨PDF采樣數(shù)增加可得到改善。圖1描述的是，由輸入量Xi (i=1,|,N )的PDF,通過模型傳播，給出輸出量Y的PDF的一個(gè)過程示意。圖1中，列出了分別為相互獨(dú)立的正態(tài)分布、三角分布和正態(tài)分布的3個(gè)輸入量，而輸出量的PDF顯示為分布不對(duì)稱的情形。圖1輸入量獨(dú)立時(shí)分布傳播的描述蒙特卡洛法的實(shí)施步驟MCM是通過如下步驟實(shí)現(xiàn)概率分布的傳播和不確定度的評(píng)定MCM輸入(1)定義輸出量Y,即需測量的量(被測量)；(2

21、)確定與Y相關(guān)的輸入量X1,|Xn ；14JJF1059.2-2011建立Y和Xi,|Xn之間的模型Y = Xi,|Xn );(4)利用可獲信息，為Xi設(shè)定PDF正態(tài)分布，矩形(均勻)分布等；(5)選擇蒙特卡洛試驗(yàn)樣本量的大小MoMCM傳播(1)從輸入量Xi的PDF gxfj中抽取M個(gè)樣本值Xi.，i=1,2,.,N, r = 1,2,，M ;(2)對(duì)每個(gè)樣本矢量(Xir ,X2r ,| ,XNr),計(jì)算相應(yīng)Y的模型值yr= f (、.，X2-111 , X ),r=1,M。MCM輸出將這些M個(gè)模型值按嚴(yán)格遞增次序排序，這些排序的模型值而得到輸出量Y的PDF的離散表小Go4)報(bào)告結(jié)果(1)由G

22、計(jì)算Y的估計(jì)值y及y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u( y);(2)由G計(jì)算在給定包含概率p時(shí)的Y的包含區(qū)間yiow, yhigh。模型的建立當(dāng)被測量Y (即輸出量)由N個(gè)其他量Xi, X2,Xn (即輸入量)，通過函數(shù)關(guān)系f來確 定時(shí)，則y = f(X1,X2,IH,XN)稱為測量模型或數(shù)學(xué)模型。式中大寫字母表示量的符號(hào)，f為測量函數(shù)。如果輸入量Xi的估計(jì)值為Xi,被測量Y的估計(jì)值為y,則測量模型可寫為y uf(Xi,x2,IH,Xn)蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)需合理選擇蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)即樣本量的大小M,也就是測量模型計(jì)算的次數(shù)。在規(guī)定的數(shù)值容差下MCM所提供的結(jié)果所需的試驗(yàn)次數(shù)跟輸出量的 PDF “形狀”及包含概

23、率有關(guān)。注：M = 106通常會(huì)為輸出量提供95%包含區(qū)間，15JJF1059.2-2011該包含區(qū)間長度被修約為1或2位有效十進(jìn)制數(shù) 字。M取值應(yīng)遠(yuǎn)大于1/(1-p),例如，M至少應(yīng)大于1/(1 p)的104倍。由于無法保證這個(gè)數(shù)是否足夠，因此可使用自適應(yīng)方法選擇M,即試驗(yàn)次數(shù)不斷增加的方法(4.8)。輸入量概率分布的抽樣及模型值計(jì)算Xi獨(dú)立時(shí)，可根據(jù)一系列測量值的分析，或根據(jù)某些歷史數(shù)據(jù)、校準(zhǔn)數(shù)據(jù)和專家判斷之類的信息所得到的科學(xué)判斷，為各Xi設(shè)定PDF gxi(。)，參見附錄Ao在MCM的實(shí)現(xiàn)過程中，從N個(gè)輸入量Xi的PDF gxi()中抽取M個(gè)樣本值為,i=1,2,.,N,r =1,2,

24、，M。計(jì)算模型在每個(gè)樣本(X1r, X2r,lll,XNr)處的值yr = f (xr1 , Xr2, , XrN )=1,2； , M輸出量分布函數(shù)的離散表示可采用如下步驟獲得輸出量 Y的PDF的離散表示G:1)將MCM得到的模型值yr, r =1,|,M按非遞減次序排序。排序后的模型值記為y(r) , r =1,用；M。2)如有必要，對(duì)所有重復(fù)的模型值y(r)進(jìn)行微小的數(shù)值擾動(dòng)，使得y(r) , r =1,ltl,M的 集合構(gòu)成嚴(yán)格的遞增序列。3)將 G 設(shè)為集合 y(r) , r =1,IH,M。注：.關(guān)于步驟1),應(yīng)采用數(shù)值運(yùn)算次數(shù)正比于MlnM 的排序算法。低效算法的運(yùn)算時(shí)間正比于M

25、 2 ,使得運(yùn)算時(shí)間過長。.步驟1)中，使用術(shù)語“非遞減”，而不是 “遞 增是因?yàn)槟Ｐ椭祔r有可能相等。16JJF1059.2-2011.關(guān)于步驟2）,只能用微小的數(shù)值擾動(dòng)才可使y 的統(tǒng)計(jì)特性不變。.從G能得到期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的補(bǔ)充信息，如峰態(tài)系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)以及其它統(tǒng)計(jì)量，如眾數(shù)和中位數(shù)。將y“）（或y,）以適宜的子區(qū)問問隔繪制成直方圖，得到頻率分布。若歸一化具有單位面積，則此頻率分布提供了 Y的PDFgY（n）的一個(gè)近似。直方圖的分辨率取決于選用的子區(qū)問問距，所以一般不根據(jù)直方圖而是根據(jù) G來進(jìn)行各種計(jì)算。直方圖有助于理解PDF的本質(zhì)，如非對(duì)稱性的程度。輸出量及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度平均值Myrrj和

26、由c1 Mcu(y)”y)（3）確定的標(biāo)準(zhǔn)偏差u（）,分別為Y的估計(jì)y和y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（y）。注：1在一些特殊情況下，如其中一個(gè)輸入量服從自由度小于3的t分布時(shí)，PDF為gY（）的Y的期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差可能不存在。公式（2）、（3）計(jì)算出的 結(jié)果可能沒有意義。但是，由于 G是有意義的且能確定，因此仍可得 Y的包含區(qū)間。2 一般不等于模型在輸入量的最佳估計(jì)處的 值，這是因?yàn)椋瑢?duì)于非線性模型f（X）,E（ Y尸E X（書fX E。）無論f線性或者非線性，M趨17JJF1059.2-2011近于無窮大時(shí)，如果Elf( X )1存在， 則的值近似等于Ef( X )o輸出量的包含區(qū)間可由PDF的離散表示

27、G來確定Y的包含區(qū)間。如果pM為整數(shù)，設(shè)4 = pM ,否則取q的值為pM +1/2的整數(shù)部分。則一%w, 丫忡為Y的100p%包含區(qū)間，其中，對(duì)任意的r =1,|,M -q , %w = y(r), 丫忡=丫(.煙)。如果(M -q)/2是整數(shù)，取r=(M -q)/2 ;否則，取r等于(M - q+1)/2的整數(shù)部分,可得概率對(duì)稱100p%包含區(qū)間y(r),y(r4q)如果PDF不對(duì)稱，可米用最短100p%包含區(qū)間。確定r ,使得y(r* 加-y(r*)- y(r 書)-y(r) , r =1,lll, M -q ,可得最短 100 p% 包含區(qū)間-y(r*” y(r* */。對(duì)于對(duì)稱的PD

28、F,如GUM法中使用的正態(tài)分布和縮放位移 t分布，概率對(duì)稱100p% 包含區(qū)間和最短100p%包含區(qū)間是相同的。例1:如p=95% , M=10000,則包含區(qū)間可能為(1)，型501), Jy(2)，y(9502)L )(500.(10000)。例 2: 如 p=95% , M=10000,因(Mq)/2=(1 . p)M/2=250 , 則概率對(duì)稱100p%包含區(qū)間 y(250)，y(9750) I。自適應(yīng)蒙特卡洛方法概要在執(zhí)行自適應(yīng)蒙特卡洛方法的基本過程中，蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)不斷增加，直至所需要的各種結(jié)果達(dá)到統(tǒng)計(jì)意義上的穩(wěn)定。如果某結(jié)果的兩倍標(biāo)準(zhǔn)偏差小于標(biāo)準(zhǔn)不確定度 u( y)的數(shù)值容差時(shí)

29、(4.8.2),則認(rèn)定該數(shù)值結(jié)果穩(wěn)定。和一個(gè)數(shù)值有關(guān)的數(shù)值容差如將數(shù)值z(mì)表示為cM10l的形式，c是門叫個(gè)有效十進(jìn)制整數(shù)，l是整數(shù)。則z的數(shù)值 容差6取為18JJF1059.2-20111 ,二二102(4)例1:標(biāo)稱值為100g的標(biāo)準(zhǔn)祛碼的輸出量的估計(jì) 值為y = 100.02147g) 標(biāo)準(zhǔn)不確定度 u( y) =0.00035 ) 這兩個(gè)有效數(shù) 字都是有意義的。因此,ndig=2時(shí))u(y)表示為35父10亙g ,此 時(shí) c = 35,l = -5, 則 5 =1/2 m 10互g =0.000005 g 0例2：若u(y)只有一位有效雙字有效)其余同例1。此時(shí) ndig=1)u(y)

30、=0.0004g =4 - 10g)得到 c=4,l=-4)因此1 =1/2 父10Kg =0.000 05g o例 3：在溫度測量中)u(y)=2K。則 ndig=1, u(y) = 2x10K, 此時(shí) c = 2,l=0)因此 6=1/2M100K =0.5K o自適應(yīng)方法的目的自適應(yīng)方法的目的是為了獲得Y的估計(jì)值y ;2)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y);3)規(guī)定包含概率下Y的包含區(qū)間的端點(diǎn)丫出和丫川的。以上四個(gè)值都必須滿足所需的數(shù)值容差。注：.由于其隨機(jī)特性，該方法不能保證能提供這樣 的區(qū)間。.就蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)而言，y和u(y)的“收斂” 速度通常要比ylow和yhigh快得多。.通常情況下，包

31、含概率越大，給定數(shù)值容差下 確定丫皿和丫川時(shí)所需的蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)就越大。自適應(yīng)方法的步驟1)設(shè)%ig為適當(dāng)小的正整數(shù)(4.8.2);2)設(shè)4M = max( J,10 )19JJF1059.2-2011式中，J是大于或等于100/(1-p)的最小整數(shù)；3)設(shè)h =1 ,表示在序列中初次應(yīng)用 MCM ;4)執(zhí)行M次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)；5)利用獲得的M個(gè)模型值y/ILyM計(jì)算y(h), u(y(h), y和yhh ,它們分別為Y的估計(jì)值，標(biāo)準(zhǔn)不確定度，100p%包含區(qū)間的左、右端點(diǎn)，也就是序列中的第h個(gè)值；6)如果h=1, h增加1,返回到步驟4);7)按下式計(jì)算Y的估計(jì)值yH|,y(h)的平均值的標(biāo)

32、準(zhǔn)偏差Sy1h(h -1)h% (yr 1(r)-y)式中h-1 L(r)y 二二 yh r 18)以相同的方式分別計(jì)算u(y),|,u(y(h)的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差出，y“川，yf。？的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差Sy|ow以及yh* ,|, yhhgh的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差Syhigh ；9)利用所有的hXM個(gè)模型值來獲得u(y);10)計(jì)算u(y)的數(shù)值容差6;11)如果2Sy,2Su(y),2Sy|ow和2Syhigh中的任何一個(gè)值大于,則h增加1并返回到步驟4)；12)若所有的計(jì)算已達(dá)穩(wěn)定，利用獲得的 hXM個(gè)模型值計(jì)算出y,u(y)和100p%包 含區(qū)間。注：.通常步驟1)中的ndig選為1或2。.

33、步驟2)中，對(duì)M可任意選擇，但是實(shí)際應(yīng)用中 需選擇適當(dāng)?shù)腗o5報(bào)告結(jié)果5.1根據(jù)概率分布傳播的用途，對(duì)下述項(xiàng)目進(jìn)行報(bào)告20JJF1059.2-20111)輸出量Y的估計(jì)值y;2) y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y);3)包含概率的100p%(如95%);4) Y的100 p %包含區(qū)間(如95%包含區(qū)間)的端點(diǎn)；5)任何其它相關(guān)信息，如包含區(qū)間是概率對(duì)稱包含區(qū)間還是最短包含區(qū)間。5.2報(bào)告Y的y, u(y)和100 p %包含區(qū)間的端點(diǎn)時(shí)，都應(yīng)采用十進(jìn)制數(shù)字的形式，具有效數(shù)字的末位相對(duì)于小數(shù)點(diǎn)的位置應(yīng)與u(y)有效數(shù)字的末位相一致。u(y)通常取12位有效數(shù)字。注：.可通過四舍五入獲得報(bào)告的每個(gè)數(shù)值。.

34、 u(y)的十進(jìn)制有效數(shù)字的首位是影響選擇一位 還是二位十進(jìn)制有效數(shù)字的一個(gè)因素。如這個(gè)數(shù)字是1或2,則僅以此位數(shù)值報(bào)告的u(y)數(shù)值與 四舍五入之前的數(shù)值的偏差相對(duì)于后者而言較大；如這個(gè)數(shù)字 是9,則偏差相對(duì)地較小。如果在以后的計(jì)算中需要使用報(bào)告中的結(jié)果， 則應(yīng)考慮是否多保留幾位有效數(shù)字。例：u(y)有效數(shù)字為兩位，包含區(qū)間關(guān)于y不對(duì)稱，報(bào)告的結(jié)果為y=1.024V, u(y) =0.028V,最短 95%包含區(qū)間=0.983, 1.088V。如以u(píng)(y)有效數(shù)字為一位時(shí)表示同樣的結(jié)果，則y=1.02V, u(y)=0.03V,最短 95%包含區(qū)間=0.98, 1.09V。6用蒙特卡洛法驗(yàn)證

35、GUM法的結(jié)果用蒙特卡洛法驗(yàn)證GUM法的結(jié)果雖然GUM法在許多情況下被認(rèn)為是非常適用的，但是確定是否滿足其所有應(yīng)用條 件并不總是一件容易的事。由于MCM的適用范圍比GUM法的更廣泛，建議用MCM及 GUM法兩種方法，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較。如果比較結(jié)果較好，則 GUM法適用于此場合及 今后足夠類似的情形。否則，應(yīng)考慮采用 MCM或者其它合適的替代方法。特別推薦采用下面步驟：21JJF1059.2-20111)應(yīng)用GUM法(可能應(yīng)用基于高階泰勒級(jí)數(shù)近似的不確定度傳播律)得到輸出量的100p%包含區(qū)間y 土 Up,此處p為約定包含概率；2)運(yùn)用自適應(yīng)蒙特卡洛方法(4.8.4)獲得輸出量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(

36、y)和概率對(duì)稱或最 短的100p%包含區(qū)間的端點(diǎn)值ylow和丫忡；3)比較過程的目的是，確定由GUM法及MCM獲得的包含區(qū)間在約定的數(shù)值容差下 是否一致。此數(shù)值容差根據(jù)包含區(qū)間的端點(diǎn)來評(píng)定，且與不確定度u(y)的有效十進(jìn)制數(shù)字的有效數(shù)位相符合。具體過程如下：(1)確定u(y)的數(shù)值容差d ；(2)對(duì)GUM法和MCM獲得的包含區(qū)間進(jìn)行比較，確定是否能獲得GUM法提供的包含區(qū)間中正確十進(jìn)制數(shù)字的所需位數(shù)，尤其可確定dlow y - U p - ylowdhigh =|y+U p yhigh即兩個(gè)包含區(qū)間的各自端點(diǎn)的絕對(duì)偏差。 如果dlow和dhigh不大于6 ,則GUM法可通過 驗(yàn)證。注：由于不同

37、100p%包含區(qū)間的選擇可能得到 不同的比較結(jié)果，因此，上述驗(yàn)證僅適用于設(shè)定的包含概率p。6.2用于驗(yàn)證GUM法的蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)為了 6.1中的驗(yàn)證目的，在獲取 MCM結(jié)果過程中應(yīng)采用足夠大的蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù) Mo當(dāng)用MCM來驗(yàn)證GUM法時(shí)，ig表示u(y)的有效十進(jìn)制數(shù)字的位數(shù)。每表示u(y)的數(shù)值容差。建議采用自適應(yīng)蒙特卡洛法提供數(shù)值容差為6/5時(shí)的MCM結(jié)果。在4.8.4的步驟11)中用6/5取代6 ,可獲得此結(jié)果。22JJF1059.2-201123JJF1059.2-2011附錄A常見的輸入量概率密度函數(shù)(補(bǔ)充件)Xi獨(dú)立時(shí)，可根據(jù)一系列測量值的分析，或根據(jù)某些歷史數(shù)據(jù)、校準(zhǔn)數(shù)據(jù)和

38、專家判斷 之類的信息所得到的科學(xué)判斷，為各 Xi設(shè)定PDF gxi(),見表Ao當(dāng)某些Xi相互獨(dú)立時(shí)，對(duì)它們的每一個(gè)都設(shè)定 PDF,而為其余的Xi設(shè)定聯(lián)合PDF表A 可獲信息及據(jù)此設(shè)定的PDF某量X的可獲信 息X所設(shè)定 的分布PDF圖示(未按比 例繪制)對(duì)于某3X,僅 知其下限為a,上限為b, ab矩形分布：R(a,b)fl/(b-a),at b*k*a*i已知一個(gè)量X位 于下限A與上限 BN間，A0、 a+db-do曲線梯形 分布： CTrap(a,b, d)gX(T,式中，x =(a +b )2ln(w +d) / (x0 a d t a +dln(w +d) /(w d) a +d -b

39、dln(w +d) / (匕x)b db+d0,其它,w=(b -a ) 2八/ /24JJF1059.2-2011量X為兩個(gè)獨(dú)立 量Xi和X2的和， Xi服從下限為ai、 上限為b的矩形 分布 R(ai，b)i=1,2梯形分布： Trap (a, b, P ) 其中， a = a1 + a2) b = b1 +b20 _|(b1 a1 y-(b2 -a2) b _aTgX =I其中一. b a股2(亡一x+%)/(九;一九2),X 七x九1/(九十后，x九 之x 十九 (x+九一與/(七一九2),x +兒 i1 -a1) -(b2 -a2)|九12,且0M九1 M九2I11量X為兩個(gè)獨(dú)立 量

40、Xi和X2的和, Xi服從下限為ai、 上限為b的矩形 分布 R(anb)i = 1,2) 且 n -ai =b2 -a2三角分布：T(a,b) 其中， a =a1 +a2b =b1 +b29x0=，式中x=(巴-a)/w2, a x (bU)/w2, xZwb0,其它a+b)/2, w= (b-a)/2量X在下限a、 上限b (ab)之 間以未矢口相位 正弦周期變化， ,從矩形分布 R(0,2 兀),X嚀+寧sin。反正弦(U 形)分布：U(a, b)gx () (1/2(bDKa)/2 aa ? 0指數(shù)分布：Ex（1/x）gx ( j -777 、n:TT；tt/z(2n) detUxT

41、1 UT 3e exp 1 - (x) U x (X)12)，八(n/2)9Xr(n1)/2)J(n1)n1 i i ft-X 號(hào)11=x 1,X 1s/ Jn 、 n -1 0/2j1gx(-) -(V 1VUp/kp p p(n/2) (n-1)/2)V(n-1)n i+1 r1-x 1十n-1 1Up/kp j2i_d/2j19x(-) = exp(-/x)/ x,：之 0, g其它r一26JJF1059.2-201127JJF1059.2-2011附錄B用蒙特卡洛法傳播概率分布實(shí)例(補(bǔ)充件)加法模型本例構(gòu)建了一個(gè)加法模型。表明了當(dāng)滿足 GUM法的應(yīng)用條件時(shí)，MCM與GUM法 兩者的結(jié)果

42、一致。當(dāng)輸入量服從不同分布的PDF時(shí)，即使是相同的數(shù)學(xué)模型，也會(huì)因不能滿足GUM法所有條件而表現(xiàn)出一定的偏差。表達(dá)式本例的模型為Y = X1 X2 X3 X4(B.1)假設(shè)輸入量Xi服從三組不同的PDF gXj(。)，且相互獨(dú)立。第一組，每個(gè)9%(。)為標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分布PDF,即Xi的期望為0,標(biāo)準(zhǔn)偏差為1;第二組，每個(gè)gXi)為矩形PDF ,同樣 地，Xi的期望為0,標(biāo)準(zhǔn)偏差為1；第三組，除gX4仁4)的標(biāo)準(zhǔn)偏差為10外，其余與第二 組相同。輸入量服從正態(tài)分布各Xi服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Xi的最佳估計(jì)值為Xi = 0 ,標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x) = 1 ,i =1,2,3,4。表B.1中前5列對(duì)結(jié)果作

43、了概括。為了有助于相互間比較，報(bào)告的結(jié)果保留到三 位有效數(shù)字。表中還給出 6= 0.05時(shí)的GUM法是否通過驗(yàn)證。由不確定度傳播公式，可得到 Y的估計(jì)值為y= 0.0及標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(y)=2.0, u(y)保留兩位有效十進(jìn)制數(shù)字，數(shù)值容差為6= 0.05。當(dāng)包含因子為1.96時(shí)，Y的概率對(duì)稱 95%包含區(qū)間為-3.9, 3.9。當(dāng)取不同的試驗(yàn)次數(shù)時(shí)，應(yīng)用 MCM方法所得結(jié)果在數(shù)值容差內(nèi)一致，即均為 y = 0.0, u(y)=2.0,概率對(duì)稱95%包含區(qū)間-3.9, 3.9。第四和第五行的數(shù)值為當(dāng)數(shù)值容差28JJF1059.2-2011為95時(shí)應(yīng)用自適應(yīng)蒙特卡洛法所得結(jié)果。表 B.1第6

44、7列給出了端點(diǎn)偏差值dow和dhigh（表達(dá)式（5）和（6）,第8列給出6= 0.05時(shí)的GUM法均通過驗(yàn)證。解析法得到Y(jié)的PDF為期望為0,標(biāo)準(zhǔn)偏差為2的正態(tài)PDF。表B.1各Xj服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)PDF時(shí)對(duì)模型（B.1）分別應(yīng)用（a）GUM法，（b）MCM , （c）解析法所得的結(jié)果方法Myu(y)95%概率對(duì)稱包含區(qū)間diowdhighGUM法驗(yàn)證結(jié)果（8= 0.05）GUM法0.002.00-3.92,3.92MCM一-5 100.002.01-3.94,3.92MCM1060.002.00-3.92,3.92MCM1060.002.00-3.92,3.92自適應(yīng)MCM1.23 X 1060

45、.002.00-3.92,3.930.000.01Yes自適應(yīng)MCM0.86 X 1060.002.00-3.92,3.920.000.00Yes解析法0.002.00-3.92,3.92圖B.1給出了 GUM法獲彳4的Y的（正態(tài)）PDF以及由MCM 所提供的PDF的離散 表示G的一種近似（Y的M = 106個(gè)模型值頻率分布（直方圖）。由兩種方法所提供的概率對(duì) 稱95%包含區(qū)間的端點(diǎn)如圖中垂直線所示。PDF及其近似表示在直觀上難以區(qū)分，各自的包含區(qū)間同樣如此。29JJF1059.2-2011圖B.1通過（a）GUM法和（b）MCM法提供各Xj服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)PDF時(shí)模型（B.1）的近似概率分布輸入

46、量服從相同寬度矩形分布各Xi服從矩形PDF,且Xi的期望為0,標(biāo)準(zhǔn)偏差為1。因此，Xi的最佳估計(jì)值 為 Xi =0,標(biāo)準(zhǔn)不確定度 u（xi） = 1, i=1, 2, 3, 4。按照類似 B.1.2.3 B.1.2.5中的步驟，可得出表 B.2中的結(jié)果。概率對(duì)稱 95%包 含區(qū)間的端點(diǎn)的解析解為2祁2（3/5）1/4定=3.88。圖B.2顯示了與圖B.1相對(duì)應(yīng)的結(jié)果。通過與圖 B.1的比較可看出，在PDF的近 似表示之間存在細(xì)微的差異。包含區(qū)間的端點(diǎn)在直觀上幾乎難以區(qū)分，但在表 B.2中體現(xiàn) 出微小的差別。在本例中，由GUM法確定的卞S率對(duì)稱95%包含區(qū)間比解析得到的要稍微保守一 些。驗(yàn)證結(jié)果

47、見表B.1中6 8列。數(shù)值容差為6= 0.05。端點(diǎn)差值diow和dhigh要大于正態(tài) 分布量情況下的端點(diǎn)偏差值（表B.1）。對(duì)于自適應(yīng)蒙特卡洛方法的第一個(gè)應(yīng)用，GUM法通過了驗(yàn)證。而對(duì)于第二個(gè)應(yīng)用，雖然diow和dhigh接近于數(shù)值容差6= 0.05,仍然認(rèn)為GUM 法沒有通過驗(yàn)證。這些不同的驗(yàn)證結(jié)果是由蒙特卡洛方法的隨機(jī)特性所造成的。表B.2除為矩形PDF外，其余同表 B.1,此時(shí)Xi存在相同的期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差方法Myu(y)95%概率對(duì)稱包含區(qū)間diowdhighGUM法驗(yàn)證結(jié)果（8= 0.05）GUM法0.002.00-3.92,3.92MCM1050.002.01-3.90,3.89M

48、CM1060.002.00-3.89,3.88MCM一-6 100.002.00-3.88,3.88自適應(yīng)MCM1.02 X 1060.002.00-3.88,3.890.040.03Yes自適應(yīng)MCM0.86 X 1060.002.00-3.87,3.870.050.05No解析法0.002.00-3.88,3.8830JJF1059.2-2011輸出量、度密率概圖B.2 Xj服從矢!形PDF時(shí)，與圖B.1相對(duì)應(yīng)的結(jié)果輸入量服從不同寬度矩形分布將B.1.3中的X4的標(biāo)準(zhǔn)偏差從1改為10。表B.3給出了這種情況下所獲得的結(jié)果表B.3一如同表B.2,除第四個(gè)輸入量的標(biāo)準(zhǔn)偏差為10,且未提供解析解

49、方法Myu(y)95%概率對(duì)稱包含區(qū)間diowdhighGUM法驗(yàn)證結(jié)果（8= 0.5）GUM法0.010.1-19.9,19.9MCM1050.010.2-17.0,17.0MCM1060.010.2-17.0,17.0MCM一-6 100.010.1-17.0,17.0自適應(yīng)MCM0.03 X 1060.110.2-17.1,17.12.82.8No自適應(yīng)MCM0.08 X 1060.010.1-17.0,17.02.92.9No31JJF1059.2-2011自適應(yīng)方法中所取的蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù) M(0.03m106及0.08父106)遠(yuǎn)小于此例中前 兩種情況。主要原因是，按u(y)保留兩

50、位有效數(shù)字的要求得到的數(shù)值容差6= 0.5,是以前的10倍。圖B.3給出了 Y的PDF的兩個(gè)近似表示，兩者明顯不同。 X4的PDF占統(tǒng)治地 位是明顯的。Y的PDF與X4的PDF非常相似，但是在兩翼存在其它 Xi的PDF的影響。圖B.3還給出了由這些近似計(jì)算得到的 Y的概率對(duì)稱95%包含區(qū)間的端點(diǎn)。內(nèi) 側(cè)的兩條垂直實(shí)線表示由 MCM所確定的卞S率對(duì)稱95%包含區(qū)間的端點(diǎn)，外側(cè)的兩條垂 直虛線來自于GUM法，包含因子k=1.96。輸出量概率分布輸出量圖B.3同圖B.2,但第四個(gè)輸入量的標(biāo)準(zhǔn)偏差為 10。度密率概在本例中，由GUM法確定的卞S率對(duì)稱95%包含區(qū)間比解析得到的要稍微保守一 些。再次應(yīng)用

51、驗(yàn)證程序(表B.3中6 8列)。對(duì)于自適應(yīng)蒙特卡洛法的兩種應(yīng)用，GUM法均無效。如果u(y)為1位有效數(shù)字，即 A 5時(shí)則兩種情況的驗(yàn)證結(jié)果都是可靠的，95% 包含區(qū)間均為2X 101, 2X101。質(zhì)量校準(zhǔn)本例是關(guān)于質(zhì)量計(jì)量的校準(zhǔn)問題，表明了只有考慮了模型函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)近似展開的高 階項(xiàng)時(shí)，GUM法才有效。B.2.1表達(dá)式32JJF1059.2-2011用質(zhì)量密度為Pr的參考整碼R對(duì)質(zhì)量密度為Pw的整碼W進(jìn)行校準(zhǔn)，兩個(gè)整碼標(biāo) 稱值相同，需要在質(zhì)量密度為Pa的空氣中進(jìn)行平衡配重。通常 Pw和Pr不同，因此需考慮 浮力的影響，應(yīng)用阿基米德定律，得到模型如下mW （1 -卜 a 八 W ） = （

52、mR -mR）（1 - 卜 a /R ）（B.2）其中，6mR是加到整碼R上的密度為Pr小整碼質(zhì)量，以實(shí)現(xiàn)和 W的平衡。按照常規(guī)質(zhì)量的計(jì)算方式，W的常規(guī)質(zhì)量mw,c是在密度為Pa。=1.2kg/m3的空氣中 平衡配重的密度為P0=8000kg/m3的參考整碼質(zhì)量，因此mw （1 一a0 /rW）= mW,C （1 一： a0 / ： 0 ）以常規(guī)質(zhì)量mw,c、mR,c以及5mR,c為變量，模型（B.2）轉(zhuǎn)變?yōu)閙w,c（1-：a/：W）（1 -7a0/：W）=（mR,c、mR,C）（1i、a/：R）（J：a0/：R）（B.3）對(duì)上述公式作近似處理，得,一、：一八、-1 ）1mw,c （mR,c

53、+ 6mR,c） |1 4（ Pa -巳0） V W 1 R Z設(shè) m = mw,c - mnom為mW,c與標(biāo)稱質(zhì)量mnom =100g的偏差。本例中使用的模型為11、m =(mR,c 、mR,c)1( ： a - ： a0)()- mnomW R（B.4）注：由于偏導(dǎo)的解析計(jì)算復(fù)雜，難以對(duì)“精確”模型（B.3）應(yīng)用不確定度傳播公式，而采用直接計(jì)算33JJF1059.2-2011模型值的MCM就顯得比較容易了。B.2.1.4 有關(guān)mR,c和r,c，已知的信息僅是這些量的最佳估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度。按表A. 1,設(shè)定mR,c和5mR,c的分布都為正態(tài)分布，最佳估計(jì)值為其期望，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為其標(biāo)準(zhǔn)

54、偏差。對(duì)于Pa,即和Pr,只知道它們的上下限，按照表 A.1,設(shè)定它們中的每一個(gè)的分布都為下限及上限為其端點(diǎn)的矩形分布。表B.4概括了輸入量及對(duì)應(yīng)的PDF。對(duì)于正2態(tài)分布N(n, 6，表B.4給出了期望N及標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的大小，對(duì)于端點(diǎn)為a, b(a b)的矩 形分布R(a, b),給出了期望(a+b)/2及半寬度(b-a)/2的大小。注：將不含不確定度的值1.2kg/m3賦予質(zhì)量校準(zhǔn) 模型(B.4)中量Pa。表B.4關(guān)于質(zhì)量校準(zhǔn)模型(B.4)的輸入量Xi及其服從的PDFXi分布期望標(biāo)準(zhǔn)偏差(T參數(shù)期望(a+b)/2半寬度(b-a)/2mR,cSmR,c paN(% b)N(mJ )R(a,b)

55、100 000.000mg1.234mg0.050mg0.020mg_ _31.20kg/m3_30.10 kg/m3PWR(a,b)8x 103 kg/m31 x 103 kg/m3RR(a,b)8.00 X103 kg/m30.05 x 103 kg/m3B.2.2結(jié)果報(bào)告分別應(yīng)用GUM法及自適應(yīng)蒙特卡洛法得到6m的估計(jì)值6m、標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(6m)及6m的最短95%包含區(qū)間，如表B.5所示。表中Gi表示含一階項(xiàng)的GUM法, MCM為自適應(yīng)蒙特卡洛法，G2則表示含高階項(xiàng)的GUM法。34JJF1059.2-2011表B.5質(zhì)量校準(zhǔn)模型(B.4)的計(jì)算結(jié)果方法加/mgu(6m)/mg95%最短

56、包含區(qū)間dlow/mgdhigh/mgGUM法驗(yàn)證結(jié)果(3=0.005)Gi1.234 00.053 91.1285,1.33950.045 10.043 0NoMCM1.234 10.075 41.0834,1.382 5G21.234 00.075 01.0870,1.381 00.003 60.001 5Yes根據(jù)u(6m)為一位有效數(shù)字來設(shè)置 6,即ndig=1,因此u(6m) =0.08=8父10-2, c=8, 一-2l = 2, 6= 1/2父10 2=0.005。圖B.4給出了分別由含一階項(xiàng)的 GUM法及MCM獲得的5m的PDF的近似。連續(xù) 曲線表示參數(shù)由GUM法給出白正態(tài)PD

57、F,內(nèi)側(cè)的兩條(虛)垂直線為基于此PDF得到的6m 最短95%包含區(qū)間。直方圖是使用MCM獲得的作為PDF的近似頻率分布，外側(cè)的兩條(連 續(xù))垂直線為5m的最短95%包含區(qū)間。結(jié)果表明，盡管GUM法(一階)及MCM在給出的5m估計(jì)值具有很好的一致性， 但標(biāo)準(zhǔn)不確定度的大小顯著不同。由MCM計(jì)算得到的u(6m) (0.0754mg)比由GUM法(一階)計(jì)算得到的u(6m) (0.0539mg)大40%,后者有點(diǎn)高估。由 MCM計(jì)算得到的u(Sm)與由含高階項(xiàng)的GUM法所提供的u(6m) (0.0750mg)S本一致。35JJF1059.2-2011輸出量概率分布76 54 321 o度密率概0.

58、80.911.11.21.31.41.51.6輸出量圖B.4應(yīng)用含一階項(xiàng)的 GUM法及MCM 獲得的輸出量 6m的PDF近似(B.2.2.3)表B.5最右側(cè)的三列給出了應(yīng)用 6.1和6.2驗(yàn)證程序所獲得的結(jié)果。表中最后一列給出當(dāng)u(Sm)保留一位有效數(shù)字時(shí)結(jié)果是否通過驗(yàn)證。如果僅考慮一階項(xiàng)，則 GUM法未 通過驗(yàn)證；如果考慮了高階項(xiàng)，則 GUM法有效。因此，在討論模型的非線性時(shí)，僅考慮 一階項(xiàng)是不夠的。B.3微波功率計(jì)校準(zhǔn)中的比較損耗本實(shí)例中，輸出量PDF顯著不對(duì)稱。本例表明即使考慮了所有的高階項(xiàng)，GUM法得出的結(jié)果也是不正確的。B.3.1表達(dá)式在微波功率計(jì)校準(zhǔn)中，功率計(jì)和標(biāo)準(zhǔn)功率計(jì)依次連接到

59、穩(wěn)定的信號(hào)源。由于輸入 電壓反射系數(shù)不同，各功率計(jì)吸收的功率通常并不相同。被校功率計(jì)吸收的功率Pm和標(biāo)準(zhǔn)功率計(jì)吸收的功率Ps的比值Y為36Ps1-M21- -S|1-5(B.5)JJF1059.2-2011式中，G是信號(hào)源的電壓反射系數(shù)，rM是被校功率計(jì)的電壓反射系數(shù)，S是標(biāo)準(zhǔn)功率計(jì) 的電壓反射系數(shù)，功率比為“比較損耗”的一個(gè)實(shí)例。假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)功率計(jì)和信號(hào)源無反射，即 s=g=0,可測值為m的實(shí)部Xi和虛部X2,M = Xi +jX2, j2=-1,由于 |M 2 =X；+X；,式(B.5)變換為Y =1 . X12 一 x2(B.6)通過測量可分別得到Xi和X2的最佳估計(jì)值xi和X2及標(biāo)準(zhǔn)不確定

60、度u(xj和u(X2)。這里假設(shè)Xi和X2獨(dú)立。設(shè)定Xi的PDF為期望為為和標(biāo)準(zhǔn)偏差為u(x)的正態(tài)PDF, i=i,2。由于公式(B.6)中的Xi和X2的大小實(shí)際上與單位1相比是個(gè)小量，因此計(jì)算得到 的Y的值接近單位1。測量模型可為22Y = 1 _丫 = x1 X2(B.7)由物理性質(zhì)可知，04勺，因此0WYM。B.3.1.6對(duì)不同的xi, X2, u(xj, u(X2),計(jì)算8Y的估計(jì)值 兇,標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(陰及 兇 的包含區(qū)間。B.3.1.7考慮三種不同取值情況，每種情況下X2=0,且u(x1) = u(x2) =0.005。xi分別取xi=0,0.010, 0.050。B.3.2輸入