線性代數(shù)講義老師lecture

1、17.1 行列式計(jì)算公式和展開(kāi)定理先看一個(gè)例子：17.1 行列式計(jì)算公式和展開(kāi)定理共有項(xiàng)，每項(xiàng)都是不不同列的元素乘積，正負(fù)號(hào)由置換陣的行列式給出.17.1 行列式計(jì)算公式和展開(kāi)定理的一個(gè)排列.一般項(xiàng)奇排列偶排列例：是置換陣的行列式置換陣的行列式，則稱其為奇排列.注：一個(gè)排列經(jīng)過(guò)奇數(shù)次對(duì)換變?yōu)?7.1 行列式計(jì)算公式和展開(kāi)定理一般地，共有 項(xiàng).17.1 行列式計(jì)算公式和展開(kāi)定理例：因此 是奇異陣.滿足17.1 行列式計(jì)算公式和展開(kāi)定理通常計(jì)算量很大.用以上公式直接求行(列)消去，再寫成方法二：將以遞歸計(jì)算.定義：設(shè)階矩陣. 例如階行列式的組合，這樣可是劃去第行和第列得到的(complement

2、minor).稱其為代數(shù)稱為(algebraic令complement, cofactor).17.1 行列式計(jì)算公式和展開(kāi)定理定理：17.1 行列式計(jì)算公式和展開(kāi)定理例：17.2 典型例題行列式計(jì)算方法：化上(下)三角形法和降階法.例：法一：化上三角形法.17.2 典型例題17.2 典型例題法二：降階法.17.2 典型例題注：利用行列式按行(列)展開(kāi)定理計(jì)算行列式時(shí)，一般利用有較多的行(列)展開(kāi). 對(duì)一般的數(shù)字行列式，可將某行(列)化到只剩一非零元時(shí)再做降階處理.例：17.2 典型例題(Vandermonde)行列式.例：計(jì)算階范分析：相鄰兩行元素較接近. 從末行開(kāi)始，后一行加上其前行的倍，

3、階范下面的元素都變?yōu)椋词琢姓归_(kāi)后，可提取公因子得到行列式. 再重復(fù)此過(guò)程.17.2 典型例題解：17.2 典型例題17.2 典型例題可以證明階范行列式17.2 典型例題例：設(shè)是階陣，是階陣，求證：證明：考慮分塊矩陣17.2 典型例題即：17.2 典型例題若則18 Cramer法則及行列式的幾何意義18.1 引言考慮行列式的幾個(gè)應(yīng)用.這次課需要以下定理.定理：行列式某一行(列)的各元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)乘積之和等于零. 即18.1 引言理解：18.1 引言綜合定理及推論得“代數(shù)的重要性質(zhì)”：例：設(shè)計(jì)算18.1 引言例：設(shè)求和分析：注意到第二、第四行元素的特點(diǎn)，利用行列式按某行展開(kāi)定

4、理的推論，將方程組求解.解：與分別看成整體，列18.2.1 求逆矩陣公式可逆，構(gòu)造如下矩陣，稱為 的伴隨矩陣(adjo設(shè)of).矩陣.的代數(shù)18.2.1 求逆矩陣公式例：18.2.1 求逆矩陣公式定理：設(shè)可逆，則上例：18.2.1 求逆矩陣公式證明：其中，18.2.1 求逆矩陣公式由引言中定理，故18.2.1 求逆矩陣公式的秩的可能性.例：若解：是一個(gè)階陣，求的零空間.故而的列屬于，且存在的任意故階子矩陣不可逆.18.2.2 線性方程組的公式解設(shè)的公式.為可逆方陣，來(lái)學(xué)習(xí)的解(難于)寫成行列式的形式18.2.2 線性方程組的公式解一般地，不使用行列式，公式將非常復(fù)雜.定理(Cramers rule)：設(shè)可逆，如上，令的唯一解為是將的第后的矩陣. 則列換成向量18.2.2 線性方程組的公式解例：解：18.2.2