高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示法知識(shí)精講

1、高一數(shù)學(xué)集合與集合的表示法【本講主要內(nèi)容】集合與集合的表示法集合的概念，常用數(shù)集的概念及其記法，有限集、無限集、空集的意義，集合的表示方 法?！局R(shí)掌握】【知識(shí)點(diǎn)精析】.集合的概念(1)集合：一般地，某些指定的對(duì)象集合在一起就成為一個(gè)集合；(2)元素：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C元素通常用小寫的拉丁字母表示,如 a、b、c.元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A,記作aCA(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A,記作a堯A.集合中元素的特性(1)確定性：給定一個(gè)集合，任何對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素是確定的了(2

2、)互異性：集合中的元素一定是不同的(3)無序性：集合中的元素沒有固定的順序4.集合分類根據(jù)集合所含元素個(gè)數(shù)不同，可把集合分為如下幾類：(1)把不含任何元素的集合叫做空集中(2)含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集(3)含有無窮個(gè)元素的集合叫做無限集注：應(yīng)區(qū)分 ，, 0, 0等符號(hào)的含義5.常用數(shù)集及其表示方法(1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)：全體非負(fù)整數(shù)的集合，記作 N(2)正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集合，記作 N*或N + TOC o 1-5 h z (3)整數(shù)集：全體整數(shù)的集合，記作Z(4)有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合，記作Q(5)實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合，記作R6.集合的表示方法(1)大寫的字母表

3、示集合；(2)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)；(3)描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)；(4)文氏圖：用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個(gè)集合。注意：描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素，如： (x , y)|y = x2 + 3x+2pfy|y = x2+3x+2不同，一個(gè)是點(diǎn)集，一個(gè)是數(shù)集。列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般無限集，不宜采用列舉法。1_N,0 _N ,-3一 N ,0.5_N ,2 _N;1_Z,0 _Z,-3一Z ,0.5Z,2 _Z;1_Q,0 _Q,-3一 Q,0.5_Q,2 Q分析：上專在集合吶用

4、e,兀素不在集彳、內(nèi)用或答案:1 eN,0c N,-3 - N ,0.5N ,J2 弟 N ;【解題方法指導(dǎo)】例1.用符號(hào)e或更填空:亞總Z;1CZ,0CZ,-3Z,0.5 宓 Z,1CQ,0CQ,3CQ,0.5CQ,例2.由實(shí)數(shù)x,-x, |x|, Vx2 -V33所組成的集合，最多含有個(gè)元素注意：符號(hào)的規(guī)范書寫。x、分析：當(dāng)x等于0時(shí)，集合中只有一個(gè)元素 0;當(dāng)x不等于0時(shí)，集合中有兩個(gè)元素x。因此，最多含有 2個(gè)元素例3.求數(shù)集1 , x, x2x中的元素x應(yīng)滿足的條件。x 1_解：由集合中元素的互異性知，x2x#1,解得x#。，1,2n5。2例4.集合 (x, y) |y =x2 +1

5、 與集合y|y =x2 +1是同一個(gè)集合嗎？分析：認(rèn)識(shí)集合要注意它的代表元素答：不是集合(x,y) |y=x2+1 )是點(diǎn)集，集合y|y =x2+ = y|y 1是數(shù)集例5.下列四個(gè)集合中，表示空集的是()A. 0B. x II x I= 5, x Z,屋 NC. (x, y) I y2 = -x2, xC R,yC R D. x I2x2+3x2=0, xC N分析：選D。選項(xiàng)A是含有一個(gè)元素的集合，選項(xiàng)B含有元素5,選項(xiàng)C含有一個(gè)元素(0, 0),選項(xiàng)D中，方程2x2+3x 2=0雖然有解0.5和2,但都不是自然 數(shù)。所以選項(xiàng)D是空集?！究键c(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】高考命題以考查概念和計(jì)算為主，

6、多與集合的運(yùn)算、不等式結(jié)合出題，題型主要 是選擇題、填空題，以解答題出現(xiàn)的可能性相對(duì)較小，以本節(jié)的知識(shí)作為工具和其它 知識(shí)結(jié)合起來綜合命題的可能性相對(duì)大一些。另外，定義新運(yùn)算在集合方面是一個(gè)新的命題背景。高考所占比重 5分。【典型例題分析】2_.例6. （1） （06北樂宣武 4月，1）設(shè)全集 I是實(shí)數(shù)集 R, M=x|x 4,與x 一3N =x| 0,都是I的子集（如圖1）,則陰影部分所表木的集合為（）圖1B. x|-2x 2D. x|x ： 2x -1A. xH2x1C. x |1 ：x 2答案：A解析：陰影部分表示集合N n CuMM =x |x 2 , N =x |x 1 或x 之3C

7、UM =x | -2 x 2如圖 2 知 N riCUM 式x | 二 Mx 1CjMN Nk 1N=x|x=一十一，k = Z,4 22k +1所取的實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)少于圖2點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合描述法與文氏圖法及它們之間轉(zhuǎn)換集合間的關(guān)系，也考查了不等式的解法。k 1（0獨(dú)國(guó)，5）設(shè)集合m =x|x=k+，kwZ,2 4 TOC o 1-5 h z 則（）A. M=NB. M = N C. M 三 N D.答案：B解析：由 x=k+1得，x =2k +1 2 44, k 1 /目 k 2由 x=一十 得，x=4 24知M與N這兩個(gè)集合中的元素在分母相同的情況下，分子k +2所取的實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)，故應(yīng)選 Bo

8、點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合之間的關(guān)系，對(duì)集合中元素的認(rèn)識(shí)等。（3）（ 0舞，1）設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q=a + b|awp, bQ,若P =0,2,5 , Q =1,2,6,則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是（）A. 9B. 8C. 7D. 6答案：B解析：由于 0+1=1, 0+2=2 , 0+6=6 , 2+1=3, 2+2+4 , 2+6=8 , 5+1=6, 5+2=7, 5+6=11,而集合中元素具有互異性，因此 P+Q=1 , 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11,故選B。點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)以集合為載體的定義新運(yùn)算的題目，本題考查了集合的表示法，集合中元素的特性及對(duì)定義新運(yùn)算的理

9、解運(yùn)用等。例7. (05湖南十校，20)設(shè)S為滿足下列兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合：111S ,若awS,則eS,求解下列問題。- a(I)若數(shù)列2 ,(_1)n中的項(xiàng)都在S中，求S中所含元素個(gè)數(shù)最小的集合 S*;I) S中所含元素個(gè)數(shù)一定是 3n(nw N*)個(gè)嗎？若是，請(qǐng)給出證明；若不是，試說明 理由。解：(I) van =2 .(-1)n.a1 = -2, a2 =2, a3 = 2 又a n三S，集合S中必有一2和2, TOC o 1-5 h z 1_由 2S=eS,即一1WS-21即1 S2一 1由1ES=WS,1-(-1),11_由一WS= - = 2 ,即 HYPERLINK l

10、bookmark10 o Current Document 11 -2所以S中含有元素2, 1, 3。21 一 3 TOC o 1-5 h z 同理由2WS可得-WS和3WS,所以S中含有元素一2, 32因此,所以:(I)S中至少含有元素：2,-1, 1,-2, 1 , HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 23C ,113、S*=2,1, ,2, , HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 23 2，定是 3n(nWN*)個(gè)證明：由a WS且1甲S知aw 11 一而 a - S- S=1 -a111 -

11、1 - a1S：= 1S=a111 -(1)a三S：二a三S所以 a WS時(shí)，有WS,1 -SS TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 1 -aa11.下面證明a, , 1 互不相等。1 -aa121右2= ，則a a+1=0無解，因此a01 -a1-a12. 1右a =1 一，則有a -a+1 =0無解，因此a#1 一一 aa.1111右=1 -,化簡(jiǎn)得 a2 a+1=0無解，因此 #11 -a a1 - a a一 11 即a,1 -互不相等1 -aa所以S中含有元素的個(gè)數(shù)一定是3n(nW N*)個(gè)點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合

12、的表示法， 集合中元素的確定性和互異性及綜合運(yùn)用知識(shí)推理的 能力。一.選擇題（本大題共 6小題，每小題6分，共36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的） TOC o 1-5 h z .下列四個(gè)命題：集合 N中最小的數(shù)是1;0是自然數(shù)；1 , 2, 3）是不大于3的 自然數(shù)組成的集合； aC N, bCN,則a+b不小于2。其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D. 4.若集合a, b, c當(dāng)中的元素是 ABC的三邊長(zhǎng)，則該三角形是（）A.正三角形B.等腰三角形C.不等邊三角形D.等腰直角三角形.已知集合 P= （x, y） I y= 1 + x2x2, xC R

13、, xw0,若點(diǎn) M （x, y） C P,則（）A.點(diǎn)M在第一象限或第二象限B.點(diǎn)M在第二象限或第三象限C.點(diǎn)M在第三象限或第四象限D(zhuǎn).點(diǎn)M在第一象限或第四象限.已知 A=x|x w 3丁萬，xCR, a=V5, b = 2,3,則（）A. aCA 且 b更 A B. a貴 A 且 bCA C. aCA 且 bCA D. a更 A 且 b更 A.給定集合 A、B ,定義 A X B = x|x = m - n, m A , n w B。若 A =4, 5, 6工 B =1, 2, 3，則集合 M B中的所有元素之和為（）A. 15B. 14a6.設(shè)a, b都是非零實(shí)數(shù)，y = a|a|C.

14、27D. - 14a十a(chǎn)b可能取的值組成的集合是（|b| |ab|A. 3B.3 ,2,1C.3 ,1,-1D.3 , 1.填空題：（本題共4小題，每小題6分，共24分）7.已知集合B =m亡Z|6亡N*）,用列舉法表示集合 B=。3 - m.用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎颈?3除余1的自然數(shù)集合 。.若一數(shù)集中的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中，則稱該集合為“可倒數(shù)集” ，試寫出一個(gè) 含三個(gè)元素的可倒數(shù)集。（只需寫出一個(gè)集合）.給出下列關(guān)系： e R；/2的實(shí)數(shù)。A提示：集合AXB中的所有元素為：1、2、3、4、5B提示：根據(jù)兩個(gè)字母的符號(hào)分類討論。二.填空題B=y, 0, 1, 2x I x= 3n+1, n

15、C N提示：被3除余1的自然數(shù)可以表示為 3n+1（n為自然數(shù)）。ci /1、如2 , 1, -2填2,、是正確的。三.解答題解：若A是空集，則方程 ax2+2x+1 = 0無解， = 44av0,彳導(dǎo) a1所以，a 1時(shí)，A是空集。若A中只有一個(gè)元素，一11當(dāng) a=0 時(shí)，2x+1 = 0,得 x =,集合為22當(dāng)a#0時(shí)，須A =4-4a=0,得a= 1,集合為 1若A中至多只有一個(gè)元素，1當(dāng) a=0 時(shí)，2x+1 = 0, 得x = 2當(dāng) a/0 時(shí)，A = 4 4a1.解：（1） 2C A, 1 A,即一1 C A, 1 -2因而1 A ,即。C A一（ -1）2再根據(jù)1 C A ,得 A,即2C A12