材料力學(I)第四章

1、第四章 彎曲應力4-1 對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖4-2 梁的剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖4-3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖4-4 梁橫截面上的正應力 梁的正應力強度條件4-5 梁橫截面上的切應力 梁的切應力強度條件4-6 梁的合理設(shè)計 -3 慣性矩和慣性積的平行移軸公式 組 合截面的慣性矩和慣性積1共二百一十三頁4-1 對稱彎曲的概念(ginin)及梁的計算簡圖. 關(guān)于彎曲(wnq)的概念 受力特點： 桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。 變形特點： 直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。 梁以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。第四章 彎曲應力2共二百一十三頁彎曲(wnq)變形第

2、四章 彎曲應力3共二百一十三頁第四章 彎曲應力工程實例F2F14共二百一十三頁縱向?qū)ΨQ面 對稱彎曲外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因而變形后梁(HuLing)的軸線(撓曲線)是在該縱對稱面內(nèi)的平面曲線。 非對稱彎曲(wnq)梁不具有縱對稱面(例如Z形截面梁)，因而撓曲線無與它對稱的縱向平面；或梁雖有縱對稱面但外力并不作用在縱對稱面內(nèi)，從而撓曲線不與梁的縱對稱面一致。第四章 彎曲應力5共二百一十三頁本章討論(toln)對稱彎曲時梁的內(nèi)力和應力。 對稱彎曲時和特定條件下的非對稱彎曲時，梁的撓曲線(qxin)與外力所在平面相重合，這種彎曲稱為平面彎曲。第四章 彎曲應力6共二百一十三頁. 梁的計算(j s

3、un)簡圖 對于對稱彎曲的直梁，外力為作用在梁的縱對稱面內(nèi)的平面力系，故在計算(j sun)簡圖中通常就用梁的軸線來代表梁。 這里加“通?！倍质且驗楹喼Я涸谒矫鎯?nèi)對稱彎曲時不能用軸線代表梁。第四章 彎曲應力F7共二百一十三頁(1) 支座的基本(jbn)形式1. 固定端實例如(lr)圖a，計算簡圖如圖b, c。第四章 彎曲應力(b)(c)MRFRxFRy(a)8共二百一十三頁 2. 固定鉸支座(zh zu)實例如圖中左邊的支座(zh zu)，計算簡圖如圖b，e。 3. 可動鉸支座實例如圖a中右邊(yu bian)的支座，計算簡圖如圖c，f。第四章 彎曲應力9共二百一十三頁懸臂梁(2) 梁的基

4、本(jbn)形式簡支梁外伸梁第四章 彎曲應力10共二百一十三頁 在豎直荷載作用下，圖a，b，c所示梁的約束力均可由平面力系的三個獨立的平衡方程求出，稱為(chn wi)靜定梁。(3) 靜定(jn dn)梁和超靜定(jn dn)梁 圖d，e所示梁及其約束力不能單獨利用平衡方程確定，稱為超靜定梁。第四章 彎曲應力11共二百一十三頁例題(lt)4-1 試求圖a所示有中間鉸C的梁A、B處的約束力。第四章 彎曲應力(a) 解：1. 此梁左端A為固定端，有3個未知約束力FAx，F(xiàn)Ay和MA；右端B處為可動鉸支座(zh zu)，有1個未知約束力FBy。此梁總共有4個未知支約束力。12共二百一十三頁 對于平面

5、力系，雖然可列出3個獨立平衡方程，但此梁具有(jyu)中間鉸C，故根據(jù)鉸不能傳遞力矩的特點，作用在中間鉸一側(cè)(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷載和約束力)對于中間鉸C的力矩應等于零，還可列出1個獨立的平衡方程。這樣就可利用4個平衡方程求解4個未知支約束力。由此也可知，此梁是靜定梁。第四章 彎曲應力13共二百一十三頁第四章 彎曲應力于是(ysh)可求得約束力如下：14共二百一十三頁第四章 彎曲應力15共二百一十三頁 2. 此梁的約束力亦可將梁在中間鉸C處拆開，先利用(lyng)CB段梁作為分離體求約束力FBy和AC段梁在中間鉸C處作用在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作為分離體求約

6、束力FAx，F(xiàn)Ay和MA。第四章 彎曲應力16共二百一十三頁 3. 顯然可見(kjin)，作用在此梁CB段上的荷載是要通過中間鉸傳遞到梁的AC段上的，但作用在AC段上的荷載是不會傳遞給CB段的。故習慣上把梁的AC段稱為基本梁(或稱主梁)，把梁的CB段稱為副梁。第四章 彎曲應力17共二百一十三頁思考(sko)： 1. 如果上述例題中所示的梁上，沒有原來的荷載，但另外加一個作用在中間鉸C上的集中荷載F =100 kN，試求該梁的約束力。第四章 彎曲應力18共二百一十三頁 2. 在中間鉸C的左側(cè)(zu c)加一個力矩為Me的力偶和在中間鉸C的右側(cè)加一力矩同樣大小的力偶，它們產(chǎn)生的約束力是否一樣？第四

7、章 彎曲應力19共二百一十三頁4-2 梁的剪力和彎矩剪力圖(lt)和彎矩圖. 梁的剪力和彎矩(shearing force and bending moment) 圖a所示跨度(kud)為l的簡支梁其約束力為 梁的左段內(nèi)任一橫截面mm上的內(nèi)力，由mm左邊分離體(圖b)的平衡條件可知：第四章 彎曲應力20共二百一十三頁 它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖b中所示。顯然(xinrn)這些內(nèi)力是 mm右邊的梁段對于左邊梁段的作用力和作用力矩。 故根據(jù)作用與反作用原理，mm左邊的梁段對于右邊(yu bian)梁段(圖c)的作用力和作用力矩數(shù)值應與上式所示相同，但指向和轉(zhuǎn)向相反。這一點也可由mm右邊分離體的平衡條件加

8、以檢驗：第四章 彎曲應力21共二百一十三頁從而有第四章 彎曲應力22共二百一十三頁 梁的橫截面上位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力(nil)FS是與橫截面左右兩側(cè)的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯動(剪切)相對應，故稱為剪力；梁的橫截面上作用在縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩是與梁的彎曲相對應，故稱為彎矩。第四章 彎曲應力23共二百一十三頁 為使無論取橫截面左邊或右邊為分離體，求得同一橫截面上的剪力和彎矩其正負號相同，剪力和彎矩的正負號要以其所在橫截面處梁的微段的變形(bin xng)情況確定，如圖。第四章 彎曲應力24共二百一十三頁 綜上所述可知： (1) 橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)(yu c)梁段上外力的代

9、數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力或右側(cè)(yu c)梁段上向下的外力將引起正值的剪力；反之，則引起負值的剪力。 (2) 橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力對該截面形心的力矩之代數(shù)和。 1. 不論(bln)在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負值的彎矩。第四章 彎曲應力25共二百一十三頁 2. 截面(jimin)左側(cè)梁段上順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩，而逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負值的彎矩；截面(jimin)右側(cè)梁段上的外力偶引起的彎矩其正負與之相反。第四章 彎曲應力26共二百一十三頁. 剪力方程(fngchng)和彎矩方程(fngchng)剪力圖

10、和彎矩圖 剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。顯示(xinsh)這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應力27共二百一十三頁 例題(lt)4-4 圖a所示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應力(a)28共二百一十三頁 距右端為x的任意(rny)橫截面上的剪力FS(x)和彎矩M(x)，根據(jù)截面右側(cè)梁段上的荷載有解：1. 列剪力方程(fngchng)和彎矩方程(fngchng) 當求懸臂梁橫截面上的內(nèi)力(剪力和彎矩)時，若取包含自由端截面的一側(cè)梁段來計算，則

11、可不求出約束力。第四章 彎曲應力FS(x)29共二百一十三頁2. 作剪力圖(lt)和彎矩圖 根據(jù)剪力方程和彎矩方程作出剪力圖和彎矩圖分別(fnbi)如圖b和圖c。按照習慣，剪力圖中正值的剪力值繪于x軸上方，彎矩圖中正值的彎矩值則繪于x軸的下方(即彎矩值繪于梁彎曲時其受拉的邊緣一側(cè))。第四章 彎曲應力 (b)(c) 30共二百一十三頁 由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力其值為FS,max=ql，最大彎矩(按絕對值)其值為 (負值)，它們都發(fā)生在固定端右側(cè)橫截面上。第四章 彎曲應力 (b) (c) (a)31共二百一十三頁 例題4-5 圖a所示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作(sh zu)梁的剪

12、力圖和彎矩圖。解：1. 求約束力第四章 彎曲應力(a)32共二百一十三頁2. 列剪力方程(fngchng)和彎矩方程(fngchng)FS(x)第四章 彎曲應力33共二百一十三頁 由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力(按絕對值)其值為 (正值，負值)，發(fā)生在兩個支座各自的內(nèi)側(cè)橫截面上；最大彎矩其值為 發(fā)生在跨中橫截面上。3. 作剪力圖(lt)和彎矩圖第四章 彎曲應力34共二百一十三頁 簡支梁受滿布荷載作用是工程上常遇到的計算情況，初學者對于(duy)此種情況下的剪力圖、彎矩圖和FS,max，Mmax的計算公式應牢記在心！第四章 彎曲應力35共二百一十三頁 例題4-6 圖a所示簡支梁受集中荷載F 作

13、用(zuyng)。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應力F(a)解：1. 求約束力36共二百一十三頁2. 列剪力方程(fngchng)和彎矩方程(fngchng) 此梁上的集中荷載將梁分隔成AC和CB兩段，兩段內(nèi)任意(rny)橫截面同一側(cè)梁段上的外力顯然不同，可見這兩段梁的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章 彎曲應力FAC段梁FS(x)37共二百一十三頁CB段梁第四章 彎曲應力FFxFS(x)38共二百一十三頁3. 作剪力圖(lt)和彎矩圖 如圖b及圖c。由圖可見，在b a的情況下，AC段梁在0 xa的情況下，C截面右側(cè)(x=a+)橫截面上的彎矩絕對值最大， 為 （負值)。彎

14、矩圖在集中力偶作用處有突變，也是因為集中力偶實際上只是作用在梁上很短長度范圍內(nèi)的分布力矩的簡化。第四章 彎曲應力45共二百一十三頁思考1：一簡支梁受移動荷載F作用，如圖所示。試問： (a) 此梁橫截面上的最大彎矩是否一定在移動荷載作用處？為什么？ (b) 荷載F移動到什么位置時此梁橫截面上的最大彎矩比荷載在任何(rnh)其它位置時的最大彎矩都要大？該最大彎矩又是多少？亦即要求求出對于彎矩的最不利荷載位置和絕對值最大彎矩值。第四章 彎曲應力46共二百一十三頁思考2：對于圖示帶中間鉸C的梁，試問： (a) 如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有向下的同樣(tngyng)的集中力F，這兩種情況下梁的剪力圖

15、和彎矩圖是否相同？ (b) 如果分別在中間鉸左側(cè)和右側(cè)作用有同樣大小且同為順時針的力偶矩Me的力偶，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？第四章 彎曲應力C47共二百一十三頁思考3：根據(jù)(gnj)對稱性與反對稱性判斷下列說法是否正確。(a) 結(jié)構(gòu)(jigu)對稱、外力對稱時，彎矩圖為正對稱，剪力圖為 反對稱；(b) 結(jié)構(gòu)對稱、外力反對稱時，彎矩圖為反對稱，剪力圖為正對稱。第四章 彎曲應力48共二百一十三頁 例 簡支梁受力如圖a所示。試寫出梁的剪力方程(fngchng)和彎矩方程(fngchng)，并作剪力圖和彎矩圖。解：1. 求支座(zh zu)約束力 可利用平衡方程 對所求約束力進行校核。

16、第四章 彎曲應力(a) xBAl/2l/2CqFAFB49共二百一十三頁2. 建立(jinl)剪力方程和彎矩方程 AC段： CB段： 第四章 彎曲應力(a) xBAl/2l/2CqFAFB50共二百一十三頁3求控制截面(jimin)內(nèi)力，繪FS , M圖 FS圖：AC段內(nèi) 剪力方程是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，故求出兩個(lin )端截面的剪力值即可CB段內(nèi) 剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的內(nèi)力值連一水平線即為該段剪力圖。 第四章 彎曲應力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql51共二百一十三頁M圖：AC段內(nèi) 彎矩方程是x的二次函數(shù)，表明(biomng)彎

17、矩圖為二次曲線，需求出兩個端截面的彎矩。需判斷(pndun)頂點位置，該處彎矩取得極值。 第四章 彎曲應力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql252共二百一十三頁我們(w men)可以發(fā)現(xiàn)，對于該梁來說有CB段內(nèi) 彎矩方程是x的一次函數(shù)，分別求出兩個端點(dun din)的彎矩，并連成直線即可。 第四章 彎曲應力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql253共二百一十三頁 （a） 當梁上有向下的均布荷載時，剪力圖為一條直線，其斜率 為負；而且(r qi)，

18、這微分關(guān)系也體現(xiàn)在該梁的剪力圖和彎矩圖中：第四章 彎曲應力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql254共二百一十三頁第四章 彎曲應力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2 （b）從剪力圖可見，隨x的增大剪力FS由正值逐漸變?yōu)樨撝?，故彎矩圖切線的斜率 也應隨x的增大而由正值逐漸變?yōu)樨撝担磺以?的截面處 ，即彎矩圖切線的斜率為零而彎矩有極值；55共二百一十三頁 （c）由 可知，彎矩圖的曲率 為負，亦即在彎矩圖的縱坐標如圖中那樣取向下為正時，彎矩圖為下凸的二次

19、曲線。第四章 彎曲應力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql256共二百一十三頁. 彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系(gun x)及其應用M(x), FS(x)與q(x)間微分(wi fn)關(guān)系的導出 從圖a所示簡支梁的有分布荷載的區(qū)段內(nèi)，取出長為dx的梁段，如圖b所示。這里分布荷載的集度q(x)以向上為正值，且略去荷載集度在微量dx范圍內(nèi)的變化。梁的微段其左、右橫截面上的剪力和彎矩均為正值。第四章 彎曲應力57共二百一十三頁從而得：由梁的微段的平衡方程略去二階無窮小項 ，即得第四章 彎曲應力58共二百一十三頁 應用這些關(guān)系時

20、需要注意，向上的分布荷載(hzi)集度為正值，反之則為負值。由以上(yshng)兩個微分關(guān)系式又可得第四章 彎曲應力59共二百一十三頁常見(chn jin)荷載下FS，M圖的一些特征第四章 彎曲應力60共二百一十三頁集中力作用(zuyng)處集中力偶(l u)作用處 若某截面的剪力FS(x)=0，根據(jù) ，該截面的彎矩為極值。 第四章 彎曲應力61共二百一十三頁 利用以上各點，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下： (1) 求支座(zh zu)約束力； (2) 分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀； (3) 求控制截

21、面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖； (4) 確定|FS|max和|M|max 。第四章 彎曲應力62共二百一十三頁 例題 一簡支梁在其中(qzhng)間部分受集度為 q=100 kN/m的向下的均布荷載作用，如圖a所示。試利用彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。第四章 彎曲應力x+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq-63共二百一十三頁而根據(jù) 可知，AC段內(nèi)的剪力圖(lt)應當是水平直線。該段內(nèi)梁的橫截面上剪力的值顯然為1. 校核(xio h)剪力圖 解：此梁的荷載及約束

22、力均與跨中對稱，故知約束力FA，F(xiàn)B為第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 該梁的AC段內(nèi)無荷載，64共二百一十三頁 對于該梁的CD段，分布荷載的集度q為常量(chngling)，且因荷載系向下而在微分關(guān)系中應為負值，即q=-100 kN/m。第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 根據(jù) 可知CD段內(nèi)的剪力圖確應為向右下方傾斜的斜直線。由于C點處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故斜直線左端的縱坐標確為100 kN。根據(jù)斜直線的斜率為 ，可證實D截面處的剪力確應為65共二百

23、一十三頁 對于該梁的DB段，梁上無荷載，故剪力圖應該(ynggi)是水平直線；且由于D點處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故該水平直線的縱坐標確為-100 kN。作為復核，顯然支座B偏左橫截面上的剪力就是第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖yFAFBABCDE2 m1 m4 mq66共二百一十三頁2. 校核(xio h)彎矩圖這與圖中所示相符(xingf)。 該梁的AC段內(nèi)，剪力為常量，因而根據(jù) 常量可知此段梁的彎矩圖應為斜率為 的正值的斜直線。據(jù)此，由支座A處橫截面上的彎矩為零可知C截面處的彎矩為第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150

24、100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq67共二百一十三頁 事實上，這個(zh ge)彎矩值也可根據(jù) 此式中的 從幾何意義上來說，它就是AC段內(nèi)剪力圖的面積。第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）通過(tnggu)積分來復核：68共二百一十三頁 對于該梁的CD段，根據(jù) 可知： 彎矩圖是如圖(c)中所示曲率為負(即向下凸)的二次曲線。因為梁上C點處無集中(jzhng)力偶作用，故彎矩圖在C截面處應該沒有突變；第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFA

25、FBABCDE2 m1 m4 mq69共二百一十三頁 由于C截面處剪力無突變(tbin)，故CD段的彎矩圖在C處的切線的斜率應該與AC段梁彎矩圖在C處的斜率相等，即兩段梁的彎矩圖在C處應光滑連接。第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq70共二百一十三頁 在剪力為零的跨中截面E處，彎矩圖切線(qixin)的斜率為零，而彎矩有極限值，其值為同樣，根據(jù) 可知，這些(zhxi)均與圖(c)中所示相符。第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）71共

26、二百一十三頁 對于該梁的DB段，由于剪力為負值的常量，故彎矩圖應該是斜率為負的斜直線(zhxin)。因為梁上D點處無集中力偶作用，故彎矩圖在D截面處不應有突變，再考慮B支座處彎矩為零，即可證實圖(c)中此段梁的彎矩圖也無誤。第四章 彎曲應力+-100 kN100 kNFSxFS 圖+100150100 xMM圖（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq72共二百一十三頁已知：圖中梁的約束力為思考：試指出圖示三根梁各自的剪力圖(lt)和彎矩圖中的錯誤。正確(zhngqu)答案：第四章 彎曲應力(a)73共二百一十三頁圖中梁的約束力為正確(zhngqu)答案：第四章 彎曲應力(b)74共二

27、百一十三頁圖中梁的約束力為正確(zhngqu)答案：第四章 彎曲應力 (c) 75共二百一十三頁. 按疊加原理(yunl)作彎矩圖第四章 彎曲應力76共二百一十三頁 (1) 在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時，我們都是按梁未變形時的原始尺寸進行計算的，例如(lr)對于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為第四章 彎曲應力(a)77共二百一十三頁 這就是說，在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨(dnd)作用時(圖b和圖c)相應內(nèi)力的代數(shù)和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也就可以利用疊加的方法作出。第四章 彎曲應力(b)(c) (a)78共二百一十三頁

28、 (2) 疊加原理 當所求參數(shù)(約束力、內(nèi)力、應力或位移)與梁上(或結(jié)構(gòu)上)荷載(hzi)成線性關(guān)系時，由幾項荷載共同作用所引起的某一參數(shù)之值，就等于每項荷載單獨作用時所引起的該參數(shù)值的疊加。第四章 彎曲應力79共二百一十三頁 (3) 示例 圖a所示受滿布均布荷載q并在自由端受集中荷載 作用的懸臂梁，其剪力圖(lt)和彎矩圖顯然就是圖b和圖c所示，該梁分別受集中荷載F和滿布均布荷載q作用時兩個剪力圖和兩個彎矩圖的疊加。第四章 彎曲應力F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)80共二百一十三頁第四章 彎曲應力- F(a)-FF=ql/4(b)(c)F-81共二百一十三頁第四章 彎曲應力 圖d為

29、直接將圖b和圖c中兩個(lin )彎矩圖疊加后的圖形，將圖中斜直線作為彎矩圖的水平坐標軸時，它就是圖a中的彎矩圖。(c)-(d)82共二百一十三頁 作剪力圖時雖然(如上所示)也可應用疊加原理(yunl)，但由于梁上通常無集度變化的分布荷載，而剪力圖由直線段組成，作圖比較簡單，故往往只說按疊加原理(yunl)作彎矩圖。 由圖a可見，該梁橫截面上的最大剪力為 (負值) ,最大彎矩為 (負值)，而極值彎矩 并非最大彎矩。第四章 彎曲應力- F(a)-F83共二百一十三頁4-3 平面(pngmin)剛架和曲桿的內(nèi)力圖. 平面(pngmin)剛架 平面剛架由同一平面內(nèi)不同取向的桿件相互間剛性連接的結(jié)構(gòu)。

30、 平面剛架桿件的內(nèi)力當荷載作用于剛架所在平面內(nèi)時，桿件橫截面上的內(nèi)力除剪力和彎矩外，還會有軸力。第四章 彎曲應力84共二百一十三頁 作剛架內(nèi)力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習慣上按下列約定： 彎矩圖，畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負號； 剪力圖及軸力圖，可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值(zhn zh)畫在剛架外側(cè)），但須注明正負號； 剪力和軸力的正負號仍與前述規(guī)定相同。第四章 彎曲應力85共二百一十三頁 例題4-13 試作圖a所示剛架的內(nèi)力圖(lt)(即作出組成剛架的各桿的內(nèi)力圖(lt)。第四章 彎曲應力(a)86共二百一十三頁各桿的內(nèi)力(nil)方程為：CB桿：(桿

31、的外側(cè)受拉)(桿的外側(cè)受拉)BA桿： 解：此剛架的C點為自由端，故求內(nèi)力(nil)時如取包含自由端的那部分分離體作為研究對象，則可不求固定端A處的約束力。第四章 彎曲應力(a)87共二百一十三頁 繪內(nèi)力圖時，軸力圖和剪力圖可畫在各桿的任一側(cè)，但需注明(zh mn)正負號(圖b及圖c)；彎矩圖則畫在桿件彎曲時受拉的一側(cè)(圖d)。第四章 彎曲應力(a)88共二百一十三頁 作為校核可取該剛架的結(jié)點(ji din)B為分離體，標出結(jié)點處的外力及內(nèi)力，考察結(jié)點是否滿足平衡條件。第四章 彎曲應力(a)89共二百一十三頁思考：能根據(jù)概念繪出圖示平面剛架(框架(kun ji)的內(nèi)力圖嗎？第四章 彎曲應力90共

32、二百一十三頁. 平面(pngmin)曲桿 平面曲桿的橫截面系指曲桿的法向截面(亦即圓弧形曲桿的徑向截面)。當荷載作用于曲桿所在(suzi)平面內(nèi)時，其橫截面上的內(nèi)力除剪力和彎矩外也會有軸力 。第四章 彎曲應力91共二百一十三頁 圖a所示A端固定的半圓環(huán)在B端受集中荷載F作用時，其任意(rny)橫截面m m上的內(nèi)力有 此即內(nèi)力方程。根據(jù)內(nèi)力方程將內(nèi)力值在與q 相應(xingyng)的徑向線上繪出，即可得到內(nèi)力圖，如圖b，圖c及圖d。第四章 彎曲應力92共二百一十三頁-+(c) FN圖第四章 彎曲應力(d) FS 圖+93共二百一十三頁4-4 梁橫截面上的正應力梁的正應力強度(qingd)條件 純

33、彎曲 (pure bending) 梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有(zhyu)彎矩，橫截面上只有(zhyu)與彎矩對應的正應力。第四章 彎曲應力MeM94共二百一十三頁 橫力彎曲(wnq) (bending by transverse force) 梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應地，橫截面既有正應力又有切應力。第四章 彎曲應力95共二百一十三頁. 純彎曲(wnq)時梁橫截面上的正應力計算公式的推導(tudo) (1) 幾何方面 藉以找出與橫截面上正應力相對應的縱向線應變在該橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律。表面變形情況 在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁(圖a)：第四章 彎曲應力(a)96共二百一十

34、三頁第四章 彎曲應力彎曲變形97共二百一十三頁 1. 彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb(圖b)，在梁彎曲后成為(chngwi)弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；第四章 彎曲應力98共二百一十三頁 2. 相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個(y )角度，且與弧線aa和bb保持正交。第四章 彎曲應力99共二百一十三頁 根據(jù)表面(biomin)變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：平面(pngmin)假設(shè) 梁在純彎曲時，其原來的橫截面

35、仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學的理論分析結(jié)果所證實。第四章 彎曲應力100共二百一十三頁 橫截面的轉(zhuǎn)動使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形(bin xng)的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層 (圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉(zhuǎn)動的軸 中性軸 (neutral axis)。第四章 彎曲應力（f)101共二百一十三頁令中性層的曲率半徑為r(如圖c)，則根據(jù)曲率的定義 有縱向線應變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 圖c為由相距d x的兩橫截面取出的梁

36、段在梁彎曲后的情況，兩個原來(yunli)平行的橫截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動了角dq。梁的橫截面上距中性軸 z為任意距離 y 處的縱向線應變由圖c可知為第四章 彎曲應力(c)102共二百一十三頁 即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點處的縱向(zn xin)線應變e與該點至中性軸的距離 y 成正比。第四章 彎曲應力(c)彎曲變形103共二百一十三頁 小變形時純彎曲情況下可假設(shè)梁的各縱向線之間無擠壓，認為梁內(nèi)各點均處于(chy)單軸應力狀態(tài)。 (2) 物理方面 藉以由縱向線應變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 找出橫截面上正應力的變化規(guī)律。 梁的材料在線彈性范圍(fnwi)內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時，有 這表明

37、，直梁的橫截面上的正應力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化(如圖)。第四章 彎曲應力M104共二百一十三頁 (3) 靜力學方面 藉以(ji y)找出確定中性軸位置的條件以及橫截面上正應力的計算公式。 梁的橫截面上與正應力相應的法向內(nèi)力元素sdA(圖d )不可能組成軸力( )，也不可能組成對于與中性軸垂直的y 軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩( )，只能組成對于中性軸 z 的內(nèi)力偶矩，即第四章 彎曲應力(d)105共二百一十三頁將 代入上述三個靜力學條件，有(a)(b)(c) 以上(yshng)三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)，而第四章 彎曲應力

38、106共二百一十三頁 其中(qzhng) 為截面對于z軸的靜矩(static moment of an area)或一次矩，其單位為m3。 為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。 為截面對于z軸的慣性矩(moment of inerita of an area)或二次軸矩，其單位為m4。第四章 彎曲應力107共二百一十三頁 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而該兩式要求： 1. 橫截面對于中性軸 z 的靜矩等于零， ；顯然這是要求中性軸 z 通過橫截面的形心； 2. 橫截面對于 y 軸和 z 軸的慣性積等于零， ；在對稱彎曲情況下，y 軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。(

39、a)(b)(c)第四章 彎曲應力108共二百一十三頁由式(c)可知，直梁純彎曲(wnq)時中性層的曲率為 上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M 不隨截面位置變化，故知對于(duy)等截面的直梁包含在中性層內(nèi)的那根軸線將彎成圓弧。 將上式代入得出的式子 即得彎曲正應力計算公式：(c)第四章 彎曲應力109共二百一十三頁 應用(yngyng)此式時，如果如圖中那樣取 y軸向下為正的坐標系來定義式中 y 的正負，則在彎矩 M 按以前的規(guī)定確定其正負的情況下，所得正應力的正負自動表示拉應力或壓應力。但實際應用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應力之點在中性軸的哪

40、一側(cè)來判別彎曲正應力為拉應力還是壓應力；在此情況下可以把式中的 y 看作求應力的點離中性軸 z 的距離。第四章 彎曲應力110共二百一十三頁 中性(zhngxng)軸 z 為橫截面對稱軸的梁 (圖a，b) 其橫截面上最大拉應力和最大壓應力的值相等；中性軸 z 不是橫截面對稱軸的梁 (圖c) ，其橫截面上的最大拉應力和最大壓應力的值不相等。第四章 彎曲應力dzyo(b) yc,max yt,maxyz bd1 hOd2(c) hbzyo(a)111共二百一十三頁 中性(zhngxng)軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲(wnq)截面系

41、數(shù)(section modulus in bending)，其單位為m3。hbzyodzyo第四章 彎曲應力112共二百一十三頁 中性軸 z 不是橫截面的對稱軸時(參見(cnjin)圖c)，其橫截面上最大拉應力值和最大壓應力值為第四章 彎曲應力113共二百一十三頁簡單截面對于形心軸的慣性矩和彎曲(wnq)截面系數(shù)(1) 矩形(jxng)截面第四章 彎曲應力114共二百一十三頁思考: 一長邊寬度為 b，高為 h 的平行四邊形，它對于形心軸 z 的慣性矩是否也是 ？第四章 彎曲應力115共二百一十三頁(2) 圓截面(jimin)在等直圓桿扭轉(zhuǎn)(nizhun)問題(3-4)中已求得：zoyyzdA而

42、由圖可見，2=y2+z2 , 從而知第四章 彎曲應力116共二百一十三頁而彎曲(wnq)截面系數(shù)為 根據(jù)對稱性可知(k zh)，原截面對于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得第四章 彎曲應力zoyyzdA117共二百一十三頁(3) 空心(kng xn)圓截面 由于(yuy)空心圓截面的面積等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有式中， 。dOyzD第四章 彎曲應力118共二百一十三頁根據(jù)(gnj)對稱性可知：思考： 空心圓截面對于形心軸的慣性矩就等于(dngy)大圓對形心軸的慣性矩減去小圓對于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數(shù)并不等于(dngy)大

43、圓和小圓的彎曲截面系數(shù)之差，為什么？而空心圓截面的彎曲截面系數(shù)為第四章 彎曲應力dOyzD119共二百一十三頁型鋼截面及其幾何性質(zhì)(xngzh)：參見型鋼表 需要注意的是，型鋼(xnggng)規(guī)格表中所示的x軸是我們所標示的z軸。第四章 彎曲應力120共二百一十三頁. 純彎曲理論(lln)的推廣 工程中實際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時梁的橫截面由于切應力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對于梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實際上都不再成立。但彈性力學的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形截面簡支梁，當其跨長與截面高度之比

44、 大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應力其誤差不超過1%，故在工程應用中就將純彎曲時的正應力計算公式用于橫力彎曲情況，即第四章 彎曲應力121共二百一十三頁 例題4-15 圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150 kN。試求危險截面上的最大正應力(yngl)smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處(圖b)的正應力sa。第四章 彎曲應力122共二百一十三頁 解：在不考慮梁的自重( )的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應的最大彎矩值為第四章 彎曲應力123共二百一十三頁由型鋼(xnggng)規(guī)格表查得56a號工字鋼截面于是(

45、ysh)有危險截面上點a 處的正應力為第四章 彎曲應力124共二百一十三頁 該點處的正應力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應力在與中性軸z垂直(chuzh)的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160 MPa來計算：第四章 彎曲應力125共二百一十三頁顯然(xinrn)，梁的自重引起的最大正應力僅為而危險截面(jimin)上的最大正應力變?yōu)檫h小于外加荷載F 所引起的最大正應力。 如果考慮梁的自重(q=1.041 kN/m)則危險截面未變，但相應的最大彎矩值變?yōu)榈谒恼?彎曲應力126共二百一十三頁 .梁的正應力(yngl)強度條件 等直梁橫截面上的最大正應力發(fā)生在最大彎矩所在橫截

46、面上距中性軸最遠的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起(ynq)的切應力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起(ynq)的擠壓應力可以忽略不計。因此可以認為梁的危險截面上最大正應力所在各點系處于單軸應力狀態(tài)。于是可按單向應力狀態(tài)下的強度條件形式來建立梁的正應力強度條件：式中，s為材料的許用彎曲正應力。第四章 彎曲應力127共二百一十三頁對于(duy)中性軸為橫截面對稱軸的梁，上述強度條件可寫作 由拉、壓許用應力(yngl)st和sc不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強度，其橫截面上的中性軸往往不是對稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應力st,max和最大工

47、作壓應力sc,max分別達到(或接近)材料的許用拉應力st和許用壓應力sc 。第四章 彎曲應力128共二百一十三頁(a)(b) 例題4-17 圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲(wnq)正應力s=152 MPa 。試選擇工字鋼的號碼。第四章 彎曲應力129共二百一十三頁解：在不計梁的自重(zzhng)的情況下，彎矩圖如圖所示第四章 彎曲應力130共二百一十三頁強度條件 要求： 此值雖略小于要求的Wz但相差(xin ch)不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼(xnggng)規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為第四章 彎曲應力131共二百一十三頁此時(c sh

48、)危險截面上的最大工作應力為 其值超過(chogu)許用彎曲應力約4.6%。工程實踐中，如果最大工作應力超過許用應力不到5%，則通常還是允許的。 如果計入梁的自重 ，危險截面仍在跨中，相應的最大彎矩則為第四章 彎曲應力132共二百一十三頁 例題4-19 圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對于中性軸z 的慣性矩Iz=5493104 mm4。已知圖a中，b=2 m。鑄鐵的許用拉應力(yngl)st=30 MPa，許用壓應力sc=90 MPa 。試求梁的許可荷載F。第四章 彎曲應力(a)(b)133共二百一十三頁 解：最大負彎矩所在B截面處，若截面的上邊緣處最大拉應力st,max達到

49、st，則下邊緣處最大壓應力sc,max為 根據(jù) 可知此sc,max并未達到許用壓應力sc，也就是說，就B截面而言，梁的強度由最大拉應力控制。第四章 彎曲應力134共二百一十三頁 最大正彎矩在C截面處，若截面的下邊緣處最大拉應力st,max達到st，則上邊緣處的最大壓應力sc,max為 ，它遠小于sc故就C截面而言，梁的強度也由最大拉應力控制。第四章 彎曲應力135共二百一十三頁 由以上分析可知，該梁的強度條件系受最大拉應力控制(kngzh)。至于究竟是B截面上還是C 截面上的最大拉應力控制了梁的強度，可進一步分析如下：顯然(xinrn)，B截面上的最大拉應力控制了梁的強度。B截面：C截面：第四

50、章 彎曲應力136共二百一十三頁 當然，這個許可荷載是在未考慮梁的自重(zzhng)的情況下得出的，但即使考慮自重(zzhng)，許可荷載也不會減少很多。 于是由B截面(jimin)上最大拉應力不得超過鑄鐵的許用拉應力st的條件來求該梁的許可荷載F：由此得F19200 N，亦即該梁的許可荷載為F=19.2 kN。第四章 彎曲應力137共二百一十三頁dx4-5 梁橫截面上的切應力梁的切應力強度(qingd)條件. 梁橫截面上的切應力(yngl)(1) 矩形截面梁從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長為dx的微段，如圖所示。第四章 彎曲應力hbzyO138共二百一十三頁 由于mm和nn上的彎矩不相等，故兩截面

51、上對應點處的彎曲正應力s1和s2不相等。因此(ync)，從微段中用距離中性層為y且平行于它的縱截面AA1B1B假想地截出的體積元素mB1(圖a及圖b)，其兩個端面mmA1A上與正應力對應的法向內(nèi)力F*N1和F*N1也不相等。第四章 彎曲應力139共二百一十三頁它們(t men)分別為第四章 彎曲應力式中， 為面積A*(圖b)對中性軸z的靜矩； A*為橫截面上距中性軸z為y的橫線AA1和BB1以外部分的面積(圖b中的陰影線部分)。140共二百一十三頁即由于 ，故縱截面AA1B1B上有切向內(nèi)力dFS(圖b)：第四章 彎曲應力141共二百一十三頁 為確定離中性軸z為y的這個縱截面上與切向內(nèi)力dFS對

52、應的切應力(yngl)t，先分析橫截面與該縱截面的交線AA1處橫截面上切應力t 的情況：第四章 彎曲應力142共二百一十三頁 1. 由于梁的側(cè)面為自由表面(圖a和圖b中的面mABn為梁的側(cè)表面的一部分)，其上無切應力，故根據(jù)切應力互等定理可知(k zh)，橫截面上側(cè)邊處的切應力必與側(cè)邊平行； 2. 對稱彎曲時，對稱軸y處的切應力必沿y軸方向(fngxing)，亦即與側(cè)邊平行。第四章 彎曲應力143共二百一十三頁從而對于狹長(xichng)矩形截面可以假設(shè)：1. 橫截面上各點處的切應力(yngl)均與側(cè)邊平行；2. 橫截面上距中性軸等遠處的切應力大小相等。zyy第四章 彎曲應力144共二百一十三

53、頁 于是根據(jù)(gnj)切應力互等定理可知，距中性層為y的縱截面AA1B1B上在與橫截面的交線AA1處各點的切應力t 均與橫截面正交，且大小相等。至于t 在dx長度內(nèi)可以認為沒有變化。這也就是認為，縱截面AA1B1B上的切應力t 在該縱截面范圍內(nèi)是沒有變化的。于是有第四章 彎曲應力145共二百一十三頁 以上式代入前已得出(d ch)的式子得 根據(jù)切應力互等定理可知(k zh)，梁的橫截面上距中性軸z的距離為y處的切應力t 必與t 互等，從而亦有第四章 彎曲應力146共二百一十三頁矩形(jxng)截面梁橫力彎曲時切應力計算公式zyyy1式中，F(xiàn)S為橫截面上的剪力；Iz 為整個橫截面對于中性軸的慣性

54、矩；b為矩形截面的寬度(與剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*為橫截面上求切應力t 的點處橫線以外部分面積對中性軸的靜矩， 。第四章 彎曲應力 上式就是矩形截面(jimin)等直梁在對稱彎曲時橫截面(jimin)上任一點處切應力的計算公式。147共二百一十三頁橫截面上切應力(yngl)的變化規(guī)律 前已講到，等直的矩形截面梁橫力彎曲時，在對稱彎曲情況下距中性軸等遠處各點處的切應力大小相等(xingdng)?，F(xiàn)在分析橫截面上切應力t 在與中性軸垂直方向的變化規(guī)律。 上述切應力計算公式中，F(xiàn)S在一定的橫截面上為一定的量，Iz和b也是一定的，可見t 沿截面高度(即隨坐標y)的變化情況系由部分面積的靜矩Sz

55、*與坐標y之間的關(guān)系確定。第四章 彎曲應力148共二百一十三頁bhdy1yyzOy1第四章 彎曲應力149共二百一十三頁可見(kjin)： 1. t 沿截面高度系按二次拋物線規(guī)律變化； 2. 同一橫截面上的最大切應力(yngl)tmax在中性軸處(y=0):第四章 彎曲應力150共二百一十三頁 例題 某空心矩形截面梁，分別按圖a及圖b兩種方式(fngsh)由四塊木板膠合而成。試求在橫力彎曲時每一膠合方式(fngsh)下膠合縫上的切應力。梁的橫截面上剪力FS已知。第四章 彎曲應力151共二百一十三頁解：圖a所示膠合方式(fngsh)下，由圖可知：第四章 彎曲應力bdx(c) 152共二百一十三頁

56、圖b所示膠合(jioh)方式下，由圖可知：第四章 彎曲應力b-2dx(d)153共二百一十三頁(2) 工字形截面(jimin)梁1. 腹板上的切應力(yngl)其中第四章 彎曲應力154共二百一十三頁 可見腹板上的切應力在與中性軸z垂直(chuzh)的方向按二次拋物線規(guī)律變化。第四章 彎曲應力155共二百一十三頁2. 在腹板與翼緣交界處：在中性(zhngxng)軸處： 對于軋制的工字鋼，上式中的 就是型鋼表中給出的比值 ，此值已把工字鋼截面的翼緣厚度變化和圓角等考慮在內(nèi)。第四章 彎曲應力156共二百一十三頁3. 翼緣上的切應力(yngl) 翼緣橫截面上平行于剪力FS的切應力在其上、下邊緣處為零

57、(因為翼緣的上、下表面無切應力)，可見翼緣橫截面上其它(qt)各處平行于FS的切應力不可能大，故不予考慮。分析表明，工字形截面梁的腹板承擔了整個橫截面上剪力FS的90%以上。第四章 彎曲應力157共二百一十三頁 但是，如果從長為dx的梁段中用鉛垂的縱截面在翼緣上截取如圖所示包含翼緣自由邊在內(nèi)的分離體就會發(fā)現(xiàn)，由于橫力彎曲情況下梁的相鄰橫截面上的彎矩不相等，故所示分離體前后兩個同樣大小的部分橫截面上彎曲正應力構(gòu)成的合力 和 不相等，因而鉛垂的縱截面上必有由切應力t1構(gòu)成的合力。第四章 彎曲應力hdxA*自由邊158共二百一十三頁根據(jù) 可得出 從而由切應力互等定理可知，翼緣橫截面上距自由邊為h處有

58、平行于翼緣橫截面邊長的切應力t1，而且(r qi)它是隨h按線性規(guī)律變化的。第四章 彎曲應力hdxA*自由邊159共二百一十三頁思考題: 試通過(tnggu)分析說明，圖a中所示上、下翼緣左半部分和右半部分橫截面上與腹板橫截面上的切應力指向是正確的，即它們構(gòu)成了“切應力流”。第四章 彎曲應力160共二百一十三頁 例題4-20 對于由56a號工字鋼制成的如圖a所示簡支梁，試求梁的橫截面上的最大切應力(yngl)tmax和同一橫截面上腹板上a點處(圖b)的切應力t a 。梁的自重不計。第四章 彎曲應力161共二百一十三頁 圖d為該梁的剪力圖，最大剪力為FS,max，存在(cnzi)于除兩個端截面A

59、，B和集中荷載F 的作用點處C 以外的所有橫截面上。(d)第四章 彎曲應力 解：由型鋼表查得56a號工字鋼截面的尺寸如圖b所示，且根據(jù)型鋼表有Ix=65 586 cm4和 。前者就是前面一些公式中Iz，而后者就是我們以前在求tmax公式所 。162共二百一十三頁第四章 彎曲應力(d)163共二百一十三頁其中(qzhng)：于是(ysh)有：164共二百一十三頁腹板上切應力(yngl)沿高度的變化規(guī)律如圖所示。第四章 彎曲應力tmax165共二百一十三頁(3) 薄壁環(huán)形(hun xn)截面梁 薄壁環(huán)形截面梁在豎直平面內(nèi)彎曲時，其橫截面上切應力的特征如圖a所示： 1. 由于d r0，故認為切應力t

60、 的大小和方向沿壁厚d 無變化(binhu)； 2. 由于梁的內(nèi)、外壁上無切應力，故根據(jù)切應力互等定理知，橫截面上切應力的方向與圓周相切；第四章 彎曲應力(a)166共二百一十三頁 3. 根據(jù)與y軸的對稱關(guān)系可知： (a) 橫截面上與y軸相交的各點處切應力(yngl)為零； (b) y軸兩側(cè)各點處的切應力其大小及指向均與y軸對稱。第四章 彎曲應力167共二百一十三頁 薄壁環(huán)形截面梁橫截面上的最大切應力tmax在中性軸z上，半個環(huán)形截面的面積A*=pr0d，其形心離中性軸的距離(圖b)為 ，故求tmax時有第四章 彎曲應力168共二百一十三頁及得出： 整個環(huán)形截面(jimin)對于中性軸z的慣性