薛老師材料物理學(xué)第5.1-2混沌

1、2022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿1一 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)的特點：系統(tǒng)的運動方程確定之后，運動的最終狀態(tài)決定其初條件，將來是必然的，牛頓力學(xué)、薛定諤方程等都是線性系統(tǒng)的運動方程。非線性系統(tǒng)的特點：沒有解析方程，對初始條件敏感;疊加原理不成立。20世紀(jì)60年代后發(fā)現(xiàn)了大量的非線性系統(tǒng)主要表現(xiàn)在三個方面：混沌理論、耗散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和分形理論。5.1.2 混 沌2022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿2二 混沌現(xiàn)象邏輯斯諦差分方程 logistical differental equation xn+1=xn(1-xn) x 0,1 0 4 當(dāng) = 4時出現(xiàn)混沌，表現(xiàn)出對初始條件的敏感性。2

2、022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿32. Logical方程的解4，x0=0.1, x0=0.10000001X2=0.9216, X2=0.9216000358. . X52=0.634955928, X52=0. 2022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿43. 倍周期分叉當(dāng)3前是一種穩(wěn)定態(tài)。xn=xn+1=C0。=3出現(xiàn)二個分叉，Xn,xn+1交替為穩(wěn)定的兩個常數(shù)。=3.449后出現(xiàn)四個分叉。=4后出現(xiàn)主許多分叉，系統(tǒng)進進入混沌。2022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿54. 相空間相空間：坐標(biāo)和速度的空間2022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿65.奇怪 吸引子吸引子 ： 是系統(tǒng)的最后歸宿（

3、終態(tài)集）在相空間中用點或點集表示，經(jīng)典理論的吸引子有不動點、極限環(huán)和二維環(huán)面。吸引子是系統(tǒng)被吸引并最終固定于某一狀態(tài)的性態(tài)。奇怪吸引子：對有耗散性的混沌系統(tǒng),其長期行為穩(wěn)定在相空間的一個點集上，這個點集的運動是極不穩(wěn)定的，稱奇怪吸引子。而奇異吸引子則通過誘發(fā)系統(tǒng)的活力,使其變?yōu)榉穷A(yù)設(shè)模式,從而創(chuàng)造了不可預(yù)測性。 2022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿7三 混沌1.兩種隨機性（1）外在隨機性由于受到外界諸因素的影響而產(chǎn)生。人們對其中的某些因素的作用的原因通常是不清楚的。系統(tǒng)在任何時刻即使是很短時間內(nèi)其狀態(tài)也是不確定的，因而是不可預(yù)報的。只能對系統(tǒng)進行統(tǒng)計描述，給出概率性的分布規(guī)律。2022/7/

4、28材料物理學(xué)第5章講稿8系統(tǒng)在短期內(nèi)按確定規(guī)律演化，且可以有預(yù)報的期限，只是在足夠長的時間后系統(tǒng)才變得不確定。內(nèi)在隨機性是指和系統(tǒng)的足夠長的時間后的行為。內(nèi)在隨機性存在于大量的保守系統(tǒng)與耗散系統(tǒng)中，它是在完全確定論的方程中不需要任何附加隨機因素亦可出現(xiàn)類似的隨機行為，導(dǎo)致混沌的出現(xiàn)。（2）內(nèi)在隨機性2022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿92. 什么是混沌？混沌一般指在確定性的動力學(xué)系統(tǒng)的“無規(guī)則的運動”或“不確定性行為”。這些“無規(guī)則的運動”或“不確定性行為”集中表現(xiàn)于非線性動力學(xué)系統(tǒng)運動規(guī)律所具有的內(nèi)存隨機性。在非線性系統(tǒng)中，確定性系統(tǒng)可能呈現(xiàn)長期行為的不可預(yù)測性和對初始值的敏感性，確定系

5、統(tǒng)中的內(nèi)在隨機性和蝴蝶效應(yīng)。2022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿10(1)內(nèi)在隨機性。描述混沌系統(tǒng)的演化方程確定,但演化行為不確定;系統(tǒng)短期行為確定,但長期行為不確定。 (2)對初值的敏感依賴性。 “蝴蝶效應(yīng)”。系統(tǒng)對初值敏感性依賴的根源仍然在于系統(tǒng)內(nèi)的非線性相互作用,對于一維迭代系統(tǒng)就表現(xiàn)為非線性迭代方程。 (3)奇異性。從整體上看系統(tǒng)穩(wěn)定;從局部上看系統(tǒng)不穩(wěn)定。 2.混沌的三要素：2022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿113. 混沌說明了什么？世界本質(zhì)是非線性的，線性的只是極少數(shù)。一些線性的系統(tǒng)實際上是簡化的。自然界只有一個，但描述它有兩條途徑：決定論描述和概率論描述。牛頓力學(xué)是決定論的代表：已知系統(tǒng)的運動方程和初始條件就可決定今后的狀態(tài)。統(tǒng)計物理和量子力學(xué)是概率論的代表：它們對大量偶然隨機事件作統(tǒng)計性描述。決定論與概率論是兩種對立描述自然界的途徑。2022/7/28材料物理學(xué)第5章講稿12混沌理論認(rèn)為在完全決定論系統(tǒng)中可以出現(xiàn)隨機行為，使復(fù)雜系統(tǒng)的理論開始建立在更符合客觀實際的