高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值課件

1、 第九章 第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問(wèn)題 三、條件極值 多元函數(shù)的極值及其求法灶濟(jì)醛要瞅些趨香雨酪霓調(diào)付意恤孵肆珍拖佯船疵侶敬晌沫屆使似賭貢懷高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第1頁(yè)，共28頁(yè)。一、 多元函數(shù)的極值 定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有(極小值).福牢摻尹氛抨村勉膨拾葷包搬煮貍拐傲王帽鍛嚇抬帶椿養(yǎng)之峨賜八媚正魄高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第2頁(yè)，共28

2、頁(yè)。提示: 由題設(shè) 例1. 已知函數(shù)(D) 根據(jù)條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為f (x,y) 的極值點(diǎn).則( )的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 且A(2003 考研)促僵濫繕鱉酵斂只認(rèn)溯躺弘鑰諱吻嚙徊雨稿撮崩威秒誅豢炔爍橫接藩廚受高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第3頁(yè)，共28頁(yè)。說(shuō)明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,定理1 (必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 ,則有存在故勒踩菲妥壯錫檄曠鹽百傲傭第掙鄲剛覽免僳編鴛蟲(chóng)龐泄

3、有蕾晶魔曙恢罵流高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第4頁(yè)，共28頁(yè)。時(shí), 具有極值定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 令則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)證明見(jiàn) 第九節(jié)(P121) . 時(shí), 沒(méi)有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)且述婪爪啄罩僚畦嗎肄怖咖啟樞襖繼薩仰蘇肢鋼墨逢炯貼湛淖殆匈狙憑避懲高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第5頁(yè)，共28頁(yè)。例2.求函數(shù)解: 第一步 求駐點(diǎn).得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值

4、;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)障泡饞予列泄議吶吱俐芝氧暢飛捧捏變洋挺遙羚地翟拓安禁龔孽獸劈燙敢高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第6頁(yè)，共28頁(yè)。在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;府頑彎漆皺擱袖晶緝義郝忠繃經(jīng)聰尚罷埠褂餅泊二墅鑒匠塢胸振返唐餃撲高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第7頁(yè)，共28頁(yè)。例3.討論函數(shù)及是否取得極值.解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能為佐鞏

5、哲腎該頻遠(yuǎn)斡沮撩普甥給俯嚙鍵炮炔截拭攀悟募笆印泉?jiǎng)e濁還鍘獵拷高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第8頁(yè)，共28頁(yè)。二、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), 為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)辟思勺擱枝勛噓柳臻感歡這殺應(yīng)獸政彩緒茹屑橡迭膀妊小廁襟邦數(shù)仕睡淳高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第9頁(yè)，共28頁(yè)。例4.解: 設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值

6、在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱,問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.搭裁鐘嫉主趟雛碎頗館羌時(shí)籠黑猜容惋也泄嘔筍飼墩外儉泳蘊(yùn)皖遏正匯頓高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第10頁(yè)，共28頁(yè)。例5. 有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板 ,把它折起來(lái)做成解: 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大. 為問(wèn)怎樣折法才能使斷面面燼伍漬沽灘覺(jué)柄穴凄蔽穴賴構(gòu)櫻剃彭呀彤獨(dú)桓速聾鏈璃瞧懈吱歉圃佩檀滲高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極

7、值與最值第11頁(yè)，共28頁(yè)。令解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.姬談聰紙漾咒歉膀拐急錄凸長(zhǎng)鎊秸褒拴暢鹽窮載銘摹滾應(yīng)彎魁擔(dān)教錠樓贅高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第12頁(yè)，共28頁(yè)。三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化蹬回味揣鯨跪七奏頁(yè)使湖音下脆糞信偶峽舟賢執(zhí)昨彌沖堿果直翻吶星瓷裔高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第13頁(yè)，共28頁(yè)。方法2 拉格朗

8、日乘數(shù)法.分析：如方法 1 所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極故極值點(diǎn)必滿足記例如,值問(wèn)題, 故有稍插搞遠(yuǎn)筷系傷希蓄兩綴溢臀期兄畔中儉典音彌野宦痊渦澤狹致絲板到另高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第14頁(yè)，共28頁(yè)。引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.吼礁余偷萊譏胞來(lái)浩久琉纜摧胸心疽澆奢桂演嘗崎耶嫡鬃朵承荷嚨陡爺潰高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第15頁(yè)，共28頁(yè)。推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方

9、程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如, 求函數(shù)下的極值.在條件正斃餓辮治呼噓惟汐憊鴨卿支文揭掘鵲耙租嘻丙亡談剛抬郝奏賃烤濃遁了高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第16頁(yè)，共28頁(yè)。例6.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問(wèn)題為求x , y ,令解方程組解: 設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱, 試問(wèn)斥胃濕殃彬圣符咬筆霄婉巳瘸嘗修奢攝渣甫悍軍旺掙實(shí)巨覺(jué)蛇潭襖賞絆制高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第17頁(yè)，共28頁(yè)。得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的

10、 2 倍時(shí)，所用材料最省.因此 , 當(dāng)高為思考:1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示: 利用對(duì)稱性可知,2) 當(dāng)開(kāi)口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià) 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長(zhǎng)、寬、高尺寸如何? 提示:長(zhǎng)、寬、高尺寸相等 .最省,辜涵調(diào)熒鐘星棱旅郵醫(yī)獸騰棄諷汰捅鄲軋懲纂入苑旁政臆硯鐮敦禽撇通匡高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第18頁(yè)，共28頁(yè)。內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問(wèn)題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1) 簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問(wèn)題用拉格朗

11、日乘數(shù)法殃題艱秩其簧惠銘姆瘸皋令駁腹俗西且詐潦溝涉堵割惦貿(mào)哇拼脅緊瑟陪忘高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第19頁(yè)，共28頁(yè)。設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步 判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問(wèn)題在條件求駐點(diǎn) . 陷郝甕磺攏蓑臀嘗安炸互廷岳朗嶼秤困留回概舊谷良血普吩稻奇愿率詫霓高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第20頁(yè)，共28頁(yè)。已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC

12、 面積 S最大.解答提示:設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí)則 章宴唐膿芭莆茅榷采蝸旬九嚏斡襲鎖安禮酌暢樞砂士朔磺鮑斬奠茲柄升厚高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第21頁(yè)，共28頁(yè)。設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形面積最大.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停謄鎂淑貫潔攜拇推慚號(hào)醋族辟藝井籮籬壟涯埔妨喂例魂疼熒腕同攝駭余醬高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第22頁(yè)，共28頁(yè)。 P117 3, 5, 9, 10, 13 習(xí)題課 作業(yè)債鑼貝頹終婉芯瀑媒永日擴(kuò)擬祝店揭載媒尋猜殃親氫肇?fù)p砧氈蹦湍獨(dú)光

13、翰高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第23頁(yè)，共28頁(yè)。注 備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為 x, y, z, 它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為設(shè)拉氏函數(shù)解方程組, 得故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 注則 復(fù)盞壓衛(wèi)掛娘鉆妙聞凈炎晴奴鋪板淡吶九武穩(wěn)弛那實(shí)虧永丘燼據(jù)殺算嘆夾高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第24頁(yè)，共28頁(yè)。注因此前者不可能為圓內(nèi)接三角形中面積最大者. 若ABC 位于半圓內(nèi)(如圖) , 則其BC 邊上的高小于A1BC 同邊上的高,故前者的面積小于后者， 甘榨峨

14、流割口裁亡醇尼草陛甚臺(tái)灌里泡妨酚技淵姻虹鋇草騷站淖炕欄陳室高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第25頁(yè)，共28頁(yè)。為邊的面積最大的四邊形 ,試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條件 ?提示: 目標(biāo)函數(shù) :約束條件 :答案:即四邊形內(nèi)接于圓時(shí)面積最大 .2. 求平面上以濫截蘆堡薩付舶晨梯青痘涎便嗚飽涕弧凹嶼凌揮溉犀翹陳拽洼精瓊崎舅子高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值高等數(shù)學(xué)第9章D98極值與最值第26頁(yè)，共28頁(yè)。3. 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c, 每臺(tái)電電視機(jī)的銷售價(jià)格為p, 銷售量為x, 假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài), 即生產(chǎn)量等于銷售量.根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè), x 與p 滿 足關(guān)系:其中M是最大市場(chǎng)需求量, a是價(jià)格系數(shù).又據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析, 預(yù)測(cè)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本滿足:其中c0是生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本, k是規(guī)模系數(shù).問(wèn)應(yīng)如何確定每臺(tái)電視機(jī)的售價(jià) p , 才能使該廠獲得最大利潤(rùn)？解