高中數(shù)學(xué)數(shù)列錯(cuò)位相減法求和專題訓(xùn)練含答案

1、錯(cuò)位相減法求和專題訓(xùn)練2018.1.20 2,n為奇數(shù)口 一*. 八1.已知數(shù)列an滿足an 2 4,中路，且n N ,ai 1色 2.2an,n為偶數(shù)求 an的通項(xiàng)公式；一.、一. . . * .一 一 、.一 . . .(2)設(shè)bn an an 1 , n N，求數(shù)列bn的刖2n項(xiàng)和S2n；(3)設(shè) cna2n1 a2 n1 ，證明： GC2C3 Cn42.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 an的刖n項(xiàng)和為Sn ,且滿足出 7 , an 1 6Sn 9n 1 , n N .(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)若正項(xiàng)等比數(shù)列bn滿足b1a1,b3a2,且Cnanbn,數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Tn.求Tn ； 2若對任

2、意n 2, n N ,均有Tn 5 m 6n 31n 35恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.*1.已知n N ,設(shè)Sn是單調(diào)遞減的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1一且2S2 a2,S4 a4,S3 a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列 nan的前n項(xiàng)和為Tn ,求證：對于任意正整數(shù) n , 1 Tn 2.2.遞增的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且& 6 , S4 30.(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；n 1右bnanlogan,數(shù)列bn的刖n項(xiàng)和為Tn,求Tnn 250成立的正整數(shù)n的2最小值.2nn_.已知數(shù)列an及fnxa1xa2xanx，且fn11?i,n 1,2,3,二(1)

3、求 a1，a2, a3 的值；(2)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式; TOC o 1-5 h z 11(3)求證：fn -1 .33.已知數(shù)列 an是以2為首項(xiàng)的等差數(shù)列，且 ai,a3,an成等比數(shù)列(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn n N(n)若 bni一an232,求數(shù)列anbn 1的刖n項(xiàng)之和Tn n N7.在數(shù)列 an中,a14,前n項(xiàng)和Sn滿足Snan 1 n .1.滿足b1, bn 12n 12nbn (1)求數(shù)列an ,bn的通項(xiàng)公式;(1)求證：當(dāng)n 2時(shí)，數(shù)列an 1為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式 annna 1令bn TO? 1 ，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.2n 1 13.已

4、知等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn,且a2 2,S5 15,數(shù)列bnn是否存在最大值,50成立的正整數(shù)n的、2Sn 2 Tn一 .(2)記Tn為數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和，f n n二，試問fn 2若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.，一、， 一一 一 2 一.已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn n 2n .(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式an ；1(2)令bn n N ,求數(shù)列 an的刖n項(xiàng)和Tn .an 110.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足：a2 a4 20, a3 8(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式； 若bn an logman,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn , Sn n 2n 1 2最小值.參考答案1 .

5、解析：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an 2an2 ,此時(shí)數(shù)列*. .a2k i (k N )成等差數(shù)列.d.N ）成等比數(shù)列 q 2當(dāng)n當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，an 2 2an,此時(shí)數(shù)列 a2k （kn n為奇數(shù)an n22 n為偶數(shù)k kk(2)b2k i b2k a2k1a2k a2ka2k i 2k 1 22 2k 1 4k 2$n b b2b3 b4b2n 1 b2n_2_3_nS2n 4 1 2 2 22 3 23 n 2n2s2n 412222 3n 1 2nn 2n 1S2n42222nn 2n1S% = -41- n - 2川=5 1)2.用 4- 8“1-2 Cn 3n 1 2n12n 1Cn

6、2n2n 1 n為奇2n 1 n為偶Cn12n 1 2n 1n為奇Cn12 1 2n 1n為偶I+ + +，一十211 6Sn9n1-122an 6Sn 1 96an2an 122an 1 an 3 且各項(xiàng)為正，an 1 an 3 n 221 ,所以 a2 a13又a3 7 ,所以a2 4 ,再由a2 6S1 9 1得a1an是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，. an 3n 2(2) bi1,b34 bnon 12 ,Cn an bn 3n 22n 1Tn204 213n2n 1 , 2Tn 1 214 223n 2 2nTn21222n3n 23n2n 53n6n231n35n 2,nN 恒成

7、立6n2 31n3n 535 2n3n2n 73n 52n紫，即2n2n設(shè)kn2n 72n kn 1kn2n 52n 12n9 2n2n 1kn4時(shí)，kn1 kn5時(shí),kn 1 knmax k 5，一 m 23232點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，其中解答中涉及到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,數(shù)列的乘公比錯(cuò)位相減法求和，數(shù)列的恒成立的求解等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用,試題有一定的綜合性，屬于中檔試題,解答中準(zhǔn)確運(yùn)算和合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答的關(guān)鍵3.解:(1)設(shè)數(shù)列的公比S2a2S3a3,得S4S2S4S32a4a2%,即4a42 1- qan是單調(diào)遞減數(shù)列，一 an知nan所以Tn2Tn 1222

8、222322-得:Tn342312n2n 424n 2n1Tn一n122n2n由Tn11222 2nTnn 1 an 122nn2n 1n 12n 1Tn, TOC o 1-5 h z 一1故 Tn Ti - 2n 2一.一1又Tn2 一n2,因此對于任意正整數(shù)n ,-Tn2 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 22點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用和不等式關(guān)系證明問題，其中解答涉及到等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算，數(shù)列的乘公比錯(cuò)位相減法求和，以及放縮法證明不等式，突出考查了方程思想和錯(cuò)位相減法求和及放縮法的應(yīng)用，試題綜合性強(qiáng)，屬于難題4.解析：（1）設(shè)等

9、比數(shù)列an的公比為qS22a1 1 q6,由已知，S430 2$ .則 qS44a1 1 q30,兩式相除得q;數(shù)列an為遞增數(shù)列,2,則a12n.bn2n 1嗎2n2Tn212 22232n設(shè)Hn212 223 232Hn2223 3242n 1得:Hn 2122 232n2n 12nn 2n 12n 1 2Tn,n 1Tnn 22n 12n2 n 2n2n 1 52,n的最小值是5.點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用, 及指數(shù)不等式的求解.5.解析：（1）由已知f1 1a11 ,所以a1 1.f2 1a1a2 2,所以 a2 3.a a2a33

10、,所以 a35.fnaia2anfn 11a1兩式相減，得n 11?an 1所以an 1 na2anfn1又日1也滿足上式,所以數(shù)列an(3)fnX所以fnfn1?nan 12n1,的通項(xiàng)公式為3x25x32n2n1,2,3，2n-得3fn所以fn2n1,2,3，2n又fnfn所以fn2n是遞增數(shù)列,fnf1fn11.3【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.3項(xiàng)及通項(xiàng)公式的求法,6.解析:(I)設(shè)數(shù)列an的公差為d ,由條件可得解得d3或d 0 (舍去)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an0,故 fn11.3考查不等式的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,a1ali,即 222d 2 2 10dn 2

11、 3n 1(n)1一 a得bn23則Tnaba2b3anbn 12 215 228233n12n，2Tn2 2223 8243n將-得Tn213 223 23n2 3n2n12n3n 12n 18 3n 4 2n貝 UTn 83n 4 2n【易錯(cuò)點(diǎn)晴】 求數(shù)列的和,本題主要考等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的求和公式、以及屬于中檔題.錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，禾I用錯(cuò)位相減法” 錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：掌握運(yùn)用錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與 個(gè)等比數(shù)列的積）；相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號；求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；最后結(jié)果定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以1q.7.解析：（

12、1） n1,a14當(dāng)n 2時(shí)，ansnsn 1,得 an 12 anan 1 1ann 1an 1 2 ，得an2n4, n 11,n(2)當(dāng)n 1時(shí),b12時(shí),bn1 時(shí)，T12 時(shí)，Tn-M 39 183n 23 123n 2Tn13122n 3143經(jīng)檢驗(yàn)n 1時(shí)，T1也適合上式.13 2n 3 11243n點(diǎn)睛：數(shù)列問題是高考中的重要問題,利用解方程得思想處理通項(xiàng)公式問題,主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，主要利用分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減法等方法求數(shù)列的和.在利用錯(cuò)位相減求和時(shí)，要注意提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，防止運(yùn)算錯(cuò)誤.8 .解析：（1）設(shè)等差數(shù)列 an的首項(xiàng)為31,公差為d

13、,wa1d則15a1 10d215由題意得bn 1an n.bnn2n由（1）得Tn兩式相減得:1T=122222123時(shí)，f n11,f 22,f323122Sn 21 22n 1，數(shù)列n2n12n員是等比數(shù)列，且首項(xiàng)和公比都是niTn上2n 1，122223Tn324n2Tn22nn2n2n 1n 0 ；當(dāng) n 3時(shí)，f n f n存在最大值為點(diǎn)睛：數(shù)列問題是高考中的重要問題, 利用解方程得思想處理通項(xiàng)公式問題，主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，主要利用分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減法等方法求數(shù)列的和.在利用錯(cuò)位相減求和時(shí)，要注意提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，防止運(yùn)算錯(cuò)誤.9.解析：（1）當(dāng)n

14、1時(shí),a1 =S1=3 ；當(dāng) n 2時(shí)，an=Sn Sn 12n 2n2n 12 n 1 2n 1 , a二3也符合,，數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an=2n 1.(2)，2，/4n 4n 4 n n 1111111-1 -.-422 3 n n 1點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的定義，求數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，屬于中檔題.解決數(shù)列的通項(xiàng)公式問題時(shí)，一般要緊扣等差等比的定義，利用方程思想求解，數(shù)列求和時(shí)，一般根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，其中裂項(xiàng)相消和錯(cuò)位相減法考查的比較多，主要是對通項(xiàng)的變形轉(zhuǎn)化處理即可.10 .解析：（1）設(shè)等比例列的最大值為16.的首項(xiàng)為a1,公比為q TOC o 1-5 h z 3a1 32依題意，有,解之得 1 2或1&q2 8q 2 q 2a12又?jǐn)?shù)列an單調(diào)遞增，1, an 2n.q 21(2)依題忌，bn 2n.log 2n n.2n,.2Sn 1 2 2 22 3 23 n.2n,2Sn 1 22 2 23 3 24 . n.2n 1 由一得： Sn 2 22 23 24 . 2n n.2n 1Sn n 2n 1 50 ,即2n 24 16 26 ；當(dāng) n 5 時(shí)，2 1 2nn.2n 1 2n 1 n.2n 1 21 2 2n 1 2 50, 2n 26 , 當(dāng) n 4 時(shí)，2n 25 3