泛函中四大空間

1、泛函中四大空間的認(rèn)識(shí)第一部分我們將討論線性空間，在線性空間的基礎(chǔ)上引入長(zhǎng)度和距離的概 念，進(jìn)而建立了賦范線性空間和度量空間。在線性空間中賦以“范數(shù)”，然后在范數(shù)的基礎(chǔ)上導(dǎo)出距離，即賦范線性空間， 完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間。范數(shù)可以看出長(zhǎng)度，賦范線性空間相當(dāng)于 定義了長(zhǎng)度的空間，所有的賦范線性空間都是距離空間。在距離空間中通過距離的概念引入了點(diǎn)列的極限，但是只有距離結(jié)構(gòu)、沒有 代數(shù)結(jié)構(gòu)的空間，在應(yīng)用過程中受到限制。賦范線性空間和內(nèi)積空間就是距離結(jié) 構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合的產(chǎn)物，較距離空間有很大的優(yōu)越性。賦范線性空間是其中每個(gè)向量賦予了范數(shù)的線性空間，而且由范數(shù)誘導(dǎo)出的 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)具有

2、自然的聯(lián)系。完備的賦范線性空間是Banach空間。賦 范線性空間的性質(zhì)類似于熟悉的Rn，但相比于距離空間，賦范線性空間在結(jié)構(gòu)上更接近于Rn。賦范線性空間就是在線性空間中，給向量賦予范數(shù)，即規(guī)定了向量的長(zhǎng)度， 而沒有給出向量的夾角。在內(nèi)積空間中，向量不僅有長(zhǎng)度，兩個(gè)向量之間還有夾角。特別是定義了正 交的概念，有無正交性概念是賦范線性空間與內(nèi)積空間的本質(zhì)區(qū)別。任何內(nèi)積空 間都賦范線性空間，但賦范線性空間未必是內(nèi)積空間。距離空間和賦范線性空間在不同程度上都具有類似于Rn的空間結(jié)構(gòu)。事實(shí) 上，Rn上還具有向量的內(nèi)積，利用內(nèi)積可以定義向量的模和向量的正交。但是 在一般的賦范線性空間中沒有定義內(nèi)積，因此不

3、能定義向量的正交。內(nèi)積空間實(shí) 際上是定義了內(nèi)積的線性空間。在內(nèi)積空間上不僅可以利用內(nèi)積導(dǎo)出一個(gè)范數(shù)， 還可以利用內(nèi)積定義向量的正交，從而討論諸如正交投影、正交系等與正交相關(guān) 的性質(zhì)。Hilbert空間是完備的內(nèi)積空間。與一般的Banach空間相比較，Hilbert 空間上的理論更加豐富、更加細(xì)致。1線性空間（1）定義：設(shè)X是非空集合，K是數(shù)域，X稱為數(shù)域上K上的線性空間， 若Vx, y e X，都有唯一的一個(gè)元素乙e X與之對(duì)應(yīng)，稱為尤與的和，記作z = x + yVx e X,ae K，都會(huì)有唯一的一個(gè)元素u e X與之對(duì)應(yīng)，稱為a與x的積，記作u =a x且Vx, y, z g X , a

4、 Re K ,上述的加法與數(shù)乘運(yùn)算，滿足下列8條運(yùn)算規(guī)律：1o x + y = y + x2o (x + y) + z = x + (y + z)30在X中存在零元素0，使得Vx g X，有0+ x = x4o Vx g X，存在負(fù)元素V- x g X，使得x + (-x) =05o 1 - x = x6o a (P x) = (aP) x7o (a + P) x = a x+P x8o a (x + y) =a x + a y當(dāng)K = R時(shí)，稱X為實(shí)線性空間；當(dāng)K = C時(shí)，稱X為復(fù)線性空間(2)維數(shù)：1o設(shè)X為線性空間，x ,x , ,x g X若不存在全為O的數(shù)a ,a , ,a g K

5、， TOC o 1-5 h z 12n12n使得 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document a x*+a x + +a x = O1122nn則稱向量組x ,x , ,x是線性相關(guān)的，否則稱為線性無關(guān)。 12n 2o 設(shè) Vx g X，若 a , a , , a g K，x , x , , x g X 使得12n12n x = a x + a x + + a x1122nn 則稱x可由向量組x ,x , ,x線性表示。 12n3o設(shè)X為線性空間，若在X中存在X個(gè)線性無關(guān)的向量，使得X中任一 向量可有n個(gè)向量線性表示，則稱其為X的一個(gè)基，稱n為X的維數(shù)。

6、2距離空間設(shè)X是非空集合，若存在一個(gè)映射d : X x X T R，使得Vx, y, z g X，下列 距離公理成立：1o 非負(fù)性 d(x, y) O, d(x, y)=O。x = y2。對(duì)稱性 d (x, y) = d (y, x)3。三角不等式 d(x, y) 0, |x| = 0 o x = 020絕對(duì)齊次性|好x| = |a|x|3o 三角不等式 |x + y| 0,BN eN,使當(dāng)m,nN時(shí)，有 |x -x | 完備的賦范線性空間稱為Banach空間。4內(nèi)積空間設(shè)X稱為數(shù)域上K上的線性空間，若存在映射 : X x X r K，使得Vx, y, z e X，以,p e K，下列內(nèi)積公理成立：對(duì)第一變?cè)木€性以x +P y, z =以+P 共軛對(duì)稱性=ya正定性 0 且 = 0 o x = 0則稱為X上的內(nèi)積，X為K上的內(nèi)積空間。由于完備性的概念是