高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何知識解析新人教A版必修2

1、專題補(bǔ)充學(xué)習(xí)-空間向量法解決立體幾何問題一.知識回顧：1、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.令 a =（81,82,83）, b= （“，b2,b3）,則 a + b = （a1土且2土bza?土b?）*a=0aia2a3)(九 R)a b = a1bl a2b2 a3b3a / b= a1= :b1 ,a2=九 b2,a3=九 b3(九 e R)a - b = a1bl a2b2 a3b3: 0a3（用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化2cos a, ba bab1 a2b2 a3b3|a| |b| /a2 a2

2、 向最最2、空間兩點(diǎn)的距離公式:d = /(X2 - X1)2 (y2 - y1)2 (Z2 - z1)2專題提綱一、引入兩個(gè)重要空間向量1、直線的方向向量；2、平面的法向量。二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；（1）直線與直線的位置關(guān)系；（2）直線與平面的位置關(guān)系;（3）平面與平面的位置關(guān)系2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。一.引入兩個(gè)重要的空間向量1.直線的方向向量：把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量 中，由A（X1,y1,Z1）與B（X2,y2,Z2）確定的直線 AB的方向向量是.如圖1,在空間直角坐標(biāo)系Z小 b BAB = (X

3、2 - X1, y2 - yZ2 一 乙)x1 xy1yz1 z = 0 x2xy2 yz2z = 0.平面的法向量：如果表示向量n的有向線段所在的直線 垂直于平面a ,稱這個(gè)向量垂直于平面 a ,記作n a , 這時(shí)向量n叫做平面a的法向量.在空間直角坐標(biāo)系中，如何求平面法向量的坐標(biāo)呢如圖2,設(shè)a=（ x i,y i,z 1）、=（x2,y 2,z 2）是平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知，若na 且 n,b,貝Una.換句話說，若 n a = 0.求平面的法向量的坐標(biāo)的步驟第一步（設(shè)）：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=（x,y,z）.第二步（歹U）:根據(jù)n - a =

4、0且nb = 0可列出方程組第三步（解）：把z看作常數(shù)，用z表示x、y.第四步（?。喝為任意一個(gè)正數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），便得到平面法向量 n的坐標(biāo).【例題賞析】例1:在棱長為2的正方體ABCD-ABGD中,0是面AC的中心，求面OADi的法向量.立體幾何問題的類型及解法.判定直線、平面間的位置關(guān)系（1）直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為 a ,b.若a / b,即a=入b,則a / b.若 ab, IP a - b = 0,則 a，b【例題賞析】例2:已知平行六面體 ABCD-ABGD的底面ABC比菱形,Z CCB=Z GCDW BCD=0 ,求證：CC iBD

5、Bi(I)A iE，平面 DBC；(II)AB i / 平面 DBCAi(3)平面與平面的位置關(guān)系平面a的法向量為 ni ,平面3的法向量為n2【例題賞析】例5:如圖在正方體【例題賞析】例 4:正方體ABCD-ABGD中，E、F分別是BB、CD的中點(diǎn)，求證：面AEDL面AiFDzx2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角，不用再把這兩條異面直線平移，求出兩條異面直線的方向向量，則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補(bǔ)，我們僅取銳角或直角就行了.ABCD-ABiCiD中,M是AB的中點(diǎn)，則對角線DB與CM所成角的余弦值為(2)直線與與平面所成的角若n是平面a的法向

6、量，a是直線0 = - ( n 下圖).nL的方向向量，則L與a所成的角0 = - 或T| cos a, n | 二 |1;|a n|a| |n|a| |n|2因此0ji2arccosI a n I1ali n I【例題賞析】例6:正三棱柱ABC-ABC的底面邊長為a,高為,等若與側(cè)面ABBAi所成的角（3）二面角設(shè)ni、n2分別是二面角兩個(gè)半平面 a、3的法向量，由幾何知識可知，二面角 a -L- 3的大小與法向量ni、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號時(shí)相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號時(shí)互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩、二

7、面角是銳二面角n、二面角G - -遛鈍二面角m , nTH （正值）-l -【例題賞析】 例7:在四棱錐 S-ABCD中/ DABhABC=90，側(cè)棱SAa底面 AC, SA=AB=BC=,1AD=2求二面角 A-SD-C 的大小.(2)點(diǎn)到平面的距離A為平面a外一點(diǎn)(如圖)，n為平面a的法向量，過A作 平面a的斜線AB及垂線AH.| AH |=| AB | sin 二-| AB | | cos :二 AB,n |I AB| AB n|AB| |n| AB n|n |于是，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值【例題賞析】例 9 :在直三棱柱 ABC-AB1C1中,AA產(chǎn),AC=BC=1,/ ACB=90 ,? 求Bi到面AiBC的距離.2? 空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離等問題，其方法