現(xiàn)代信號(hào)處理第5章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法課件

1、現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)及應(yīng)用Modern Signal Processing Technology and Its Application 何正嘉 訾艷陽 張西寧 西 安 交 通 大 學(xué) 西安交通大學(xué)研究生創(chuàng)新教育系列教材 7/27/20221機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪平穩(wěn)的正弦信號(hào)及其組合，但不能恰當(dāng)?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號(hào)的特征。 許多隨機(jī)過程從本質(zhì)上來講是非平穩(wěn)的，例如語音信號(hào)、沖擊響應(yīng)信號(hào) 、機(jī)組啟、停機(jī)信號(hào)等。 必須尋找既能夠反映時(shí)域特征又能夠反映頻域特征的新方法。本章介紹短時(shí)傅里葉變換、小波變換和小波包分析等非平穩(wěn)信號(hào)分析方法的原理、特點(diǎn)及

2、其在工程中的應(yīng)用。7/27/20222機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換 5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測 5.4 工程應(yīng)用 7/27/20223機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換 5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測 5.4 工程應(yīng)用 7/27/20224機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1 短時(shí)傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù) ，通過內(nèi)積運(yùn)算去變換信號(hào) ，得到其頻譜 。(5.1.1)這一變換建立了一個(gè)從時(shí)域到頻域的譜分析通道。頻譜X(f) 顯示了用正弦基函數(shù)分解出x

3、(t) 中任一正弦頻率f 的總強(qiáng)度。傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù)，只與頻率f 有關(guān)，而與時(shí)間t無關(guān)。傅里葉分析還要求所分析的隨機(jī)過程是平穩(wěn)的. 1946年Gabor提出了窗口傅里葉變換，稱為短時(shí)傅里葉變換（Short Time Fourier Transform, STFT）。 7/27/20225機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1 短時(shí)傅里葉變換 由加窗信號(hào) 的傅里葉變換產(chǎn)生短時(shí)傅里葉變換。(5.1.2) 是中心位于 ，高度為 1、寬度有限的時(shí)窗函數(shù)，通過 所觀察到的信號(hào) 的部分是 。 是 STFT的基函數(shù)。 tx(t)h(t)h(t-)x(t)h(t)017/27/20226機(jī)械工程學(xué)院機(jī)

4、自所動(dòng)態(tài)室5.1 短時(shí)傅里葉變換 窗函數(shù) 的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗函數(shù)是高斯函數(shù)。 (5.1.3) 高斯窗函數(shù)的形狀是： 1 ，1/4 ，1/16 7/27/20227機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1 短時(shí)傅里葉變換給定窗函數(shù) 和它的傅里葉變換 ，則帶寬 為 (5.1.4)STFT的頻率分辨率是 。兩個(gè)正弦波之間的頻率間隔大于 ，則可區(qū)分這兩個(gè)正弦波。STFT的時(shí)間分辨率是 ，有(5.1.5)兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔大于 ，則可區(qū)分這兩個(gè)脈沖。 7/27/20228機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1 短時(shí)傅里葉變換時(shí)間分辨率 和頻率分辨率 不可能同時(shí)任意小，根據(jù)Heisenberg不確定性原理，有以下限制(5

5、.1.6)上式中，當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù)，等式成立。時(shí)間分辨率和頻率分辨率一旦確定，則STFT在整個(gè)時(shí)頻平面上的時(shí)頻分辨率保持不變。短時(shí)傅里葉變換能夠分析非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)信號(hào)，其基礎(chǔ)是傅里葉變換，更適合分析準(zhǔn)平穩(wěn)(quasi-stationary)信號(hào)。反映信號(hào)高頻成份需要用窄時(shí)窗，而反映信號(hào)低頻成份需要用寬時(shí)窗。短時(shí)傅里葉變換不能同時(shí)滿足這些要求。 7/27/20229機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換 5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測 5.4 工程應(yīng)用 7/27/202210機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換近年來在工具和方法

6、上有重大突破的小波變換，為非平穩(wěn)信號(hào)分析展示了美好的前景?！靶〔ā本褪切〉牟ㄐ?。所謂“小”是指局部非零，波形具有衰減性；“波”則是指它具有波動(dòng)性，包含有頻率的特性。小波分析的思想來源于伸縮和平移方法。 1910年A. Haar提出的規(guī)范正交系 1984年，J. Morlet在分析地震數(shù)據(jù)的局部性時(shí)引進(jìn)了小波概念。 1986年，Y. Meyer構(gòu)造出二進(jìn)伸縮、平移小波基函數(shù)，掀起小波研究熱潮。 1987年，S. G. Mallat將多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。 1988年，I. Daubechies構(gòu)造了緊支集正交小波基，完善小波理論體系。 1989到1991年，R. R. Coi

7、fman、M. V. Wickerhauser等提出小波包及算法。 1997年，W. Sweldens提出第二代小波變換的概念和算法。近一個(gè)世紀(jì)，特別是近二十年來，小波理論和算法發(fā)展突飛猛進(jìn)。為信號(hào)處理領(lǐng)域里各自獨(dú)立開發(fā)的方法建立了一個(gè)統(tǒng)一的框架7/27/202211機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換由基本小波或母小波 通過伸縮 a 和平移 b 產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)族 稱為小波。有(5.2.1) 式中 是尺度因子， ， 是時(shí)移因子。 ，波形收縮； ，波形伸展。 保證在不同的 值下，即在小波函數(shù)的伸縮過程中能量保持相等。信號(hào) 的小波變換為(5.2.2)小波變換是用小波基函數(shù) 代替傅里葉變換中的基函

8、數(shù) 以及短時(shí)傅里葉變換中的基函數(shù) 而進(jìn)行的內(nèi)積運(yùn)算。 小波變換的實(shí)質(zhì)就是以基函數(shù) 的形式將信號(hào) 分解為不同頻帶的子信號(hào)。 7/27/202212機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換對信號(hào) 進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過小波的尺度因子和時(shí)移因子變化去觀察信號(hào)。小波變換的局部化是變化的，在高頻處時(shí)間分辨率高，頻率分辨率低；在低頻處時(shí)間分辨率低，頻率分辨率高，即具有“變焦”的性質(zhì)，也就是具有自適應(yīng)窗的性質(zhì)。 尺度 時(shí)寬減?。l寬增大） 時(shí)寬增大（頻寬減小）t平 移 bccdda7/27/202213機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換式(5.2.2) 通過變量置換可改寫為(5.2.3)隨著尺度因子

9、的改變，通過一個(gè)恒定的濾波器 觀察到被伸展或壓縮了的信號(hào)波形 。尺度因子解釋了信號(hào)在變換過程中尺度的變化，用大尺度可觀察信號(hào)的總體，用小尺度可觀察信號(hào)的細(xì)節(jié)。式(5.2.3)解釋了為什么在S. G. Mallat的小波信號(hào)分解塔形快速算法中，始終使用同樣的低通與高通濾波器的道理。 7/27/202214機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義： (5.2.4)優(yōu)點(diǎn)是在不同尺度下可以保持各 的頻譜中幅頻特性大小一致。因?yàn)?設(shè) 的傅里葉變換是 ，則 的傅里葉變換是與 相比，只有頻率坐標(biāo)比例變化，幅度沒有變化。 參見p48性質(zhì)(4) 7/27/202215機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所

10、動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來表示。這是因?yàn)閮?nèi)積： 5.2.4) 卷積： 或記作 兩式相比較，只是將 改成 ，即 首尾對調(diào)。如果 是關(guān)于 的對稱函數(shù)，則計(jì)算結(jié)果無區(qū)別； 如果是非對稱，在計(jì)算方法上也無本質(zhì)區(qū)別。7/27/202216機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，信號(hào)所包含機(jī)器不同零部件的故障特征頻率分布在不同的頻帶里。如何提取這些被淹沒的微弱信息而實(shí)現(xiàn)故障的早期診斷問題，往往使傳統(tǒng)的信號(hào)分析技術(shù)無能為力。 小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)在不同頻帶、不同時(shí)刻的合理分離。這種分離相當(dāng)于同時(shí)使用一個(gè)低通濾波器和若干個(gè)帶通濾波器而不丟失任何原始信息。

11、為機(jī)器零部件故障特征頻率的分離、微弱信息的提取以實(shí)現(xiàn)早期故障診斷提供了高效、有力的工具。特別要強(qiáng)調(diào)，這些優(yōu)點(diǎn)來自小波變換的多分辨分析和小波基函數(shù)的正交性。7/27/202217機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義在平方可積實(shí)數(shù)空間 的多分辨分析是指存在一系列的閉子空間 ，（ 代表分辨率為 的多分辨分析子空間） 是 在 中的正交補(bǔ)空間。這些子空間具有以下性質(zhì)：1) 一致單調(diào)性： (5.2.7)性質(zhì)1)表明分辨率為 的子空間 中的逼近信號(hào)包含了分辨率為 的子空間 的信息以及分辨率低于 的所有信息。這也稱為因果性質(zhì)。2) 漸近完全性： (5.2.8)性質(zhì)2)表明

12、所有子空間組成 函數(shù)空間。隨著分辨率的提高，逼近信號(hào)就更接近原始信號(hào)；反之，隨著分辨率的降低，逼近信號(hào)所包含的信息就越來越少。因此，在以分辨率為 時(shí)得到的逼近信號(hào)與原始信號(hào)相比較，將會(huì)丟失部分信息。7/27/202218機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義3) 伸縮規(guī)則性： (5.2.9)性質(zhì)3)表明所有的子空間可以由一個(gè)基本空間通過尺度的伸縮變化得到，在不同的分辨率時(shí)，逼近運(yùn)算相同。4) 平移不變性： (5.2.10)性質(zhì)4)表明子空間信號(hào)在時(shí)間上平移，信號(hào)仍在該子空間，分辨率不變。5) 正交補(bǔ)全性： (5.2.11) 符號(hào) 表示 “正交和”。 是尺度函

13、數(shù)空間， 是小波函數(shù)空間，它們相互正交，即 。 ， 尺度函數(shù) 與 小波函數(shù) 正交,內(nèi)積 (5.2.13)反復(fù)使用式(5.2.11)和關(guān)系 ，得到小波逼近空間表達(dá)式 (5.2.13)7/27/202219機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義6)Riesz基存在性:存在 ,使 是 的Riesz基。 同樣使 構(gòu)成 的Riesz基 (5.2.12)性質(zhì)6)指存在正常數(shù) , 有 , 對于任意序列 （ 表示所有雙無限平方可求和序列空間）滿足 (5.2.15) 上式是 的有界性條件， A和B分別稱為Riesz基下界和上界。 根據(jù)式(5.2.9) 的伸縮規(guī)則性，如果 是空

14、間 的Riesz基，則 是空間 的Riesz基。 Riesz基的特點(diǎn)是它的元素線性獨(dú)立，沒有冗余的元素 。就能保證小波 的冗余度盡可能小，這對信號(hào)的特征提取十分有利。 7/27/202220機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義基于多分辨分析逼近空間 和細(xì)節(jié)空間 的頻帶范圍。設(shè) 空間中信號(hào) 屬于子空間 ， 的頻譜 區(qū)間為 ,則 小波變換的多分辨分析將信號(hào) 分解到互相銜接的頻帶 和 中。 選定 或 子空間中的分解信號(hào)，相當(dāng)于獲得了濃縮的故障診斷信 息，具有理想的工程實(shí)用價(jià)值。 7/27/202221機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.2 正交小波基

15、的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取在機(jī)械動(dòng)態(tài)分析與監(jiān)測診斷過程中，希望盡可能減少小波基的冗余性，期望小波函數(shù)線性獨(dú)立，即希望小波函數(shù)是一個(gè)Riesz基。由于正交性能夠保證獨(dú)立性，正交基是完備的內(nèi)積空間(Hilbert空間)最理想的基函數(shù)，所以我們最感興趣于尋找小波函數(shù) 是正交基。定義 5.2.1 （正交小波）定理 5.2.1 （標(biāo)準(zhǔn)正交基和尺度函數(shù) ）定理 5.2.2 （由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù) ） 7/27/202222機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取從包容關(guān)系 ，有 ，所以 可以利用 子空間的尺度基函數(shù) 展開，展開系數(shù)為 。由于 ，小

16、波基函數(shù) ，這一包容關(guān)系表明 可以用 中的尺度基函數(shù) 展開，展開系數(shù)為 ，有雙尺度關(guān)系(5.2.19)7/27/202223機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取根據(jù)式(5.2.19)表示的雙尺度關(guān)系， 中的尺度函數(shù) 和 中的小波函數(shù) 均可由 中的尺度函數(shù) 給出。設(shè) ，尺度函數(shù) 和小波函數(shù) 分別為(5.2.20) (5.2.21)(5.2.20)(d)t10(2t)1/21t10(2t-1)1/21t10(t)1/21-1t10(t)1(a)(b)(c)7/27/202224機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信

17、息獨(dú)立化的提取序列 , 稱為正交鏡像濾波器 (Quadrature Mirror Filters，QMF)，有 , 。 和 是QMF的頻域形式。由尺度函數(shù) 和小波函數(shù) 的正交性及雙尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5.2.29)構(gòu)造正交小波時(shí)濾波器和必須滿足以上三個(gè)條件，它們分別來自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。7/27/202225機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取小波系數(shù) 與尺度系數(shù) 之間的關(guān)系 由式(5.2.28)和(5.2.29)，可得到 (5.2.30) 由上式及(5.2.26)可得

18、到兩個(gè)濾波器系數(shù)之間的關(guān)系 (5.2.31)比較最后兩個(gè)等式兩邊 的系數(shù)，可以得到(5.2.32) 若 是實(shí)序列，共軛符號(hào) 省略。 7/27/202226機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取構(gòu)造滿足正交三條件的濾波器 和 方法 1、設(shè)計(jì)滿足式(5.2.27)的濾波器 ,再根據(jù)式(5.2.30)設(shè)計(jì)濾波器 。2、由 得到 ，再由式(5.2.32)直接得到 。S. G. Mallat基于2p+1階多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造出 (5.2.33)由式(5.2.23)，有關(guān)系 ，可得到 根據(jù)式(5.2.24)和(5.2.30)，得到 。 (5.2.34)7/27

19、/202227機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取當(dāng) ，則 ， 尺度函數(shù)及其傅 里葉變換、小波 函數(shù) 及其傅里葉 變換 如圖所示。 允許正頻率通過的區(qū)間是 ，而 允許正頻率通過的區(qū)間是 ，二者在0到 區(qū)間恰好正交互補(bǔ)。獨(dú)立化提取信息。 系數(shù)見表5.2.1。7/27/202228機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取有了低通、帶通濾波序列 和 ，就能方便地通過小波變換進(jìn)行信息獨(dú)立化提取。 設(shè) 是多分辨向量空間 中的線性投影算子，以分辨率 逼近能量有限可測信號(hào) 。 與 最相似。 由于 ，得到唯一的表達(dá)

20、式 (5.2.36) 稱 為逼近信號(hào)， 是分辨率為 的細(xì)節(jié)信號(hào)，它包含 和 之間的信息差。重復(fù)式(5.2.36)過程，可得(5.2.37)7/27/202229機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取設(shè)離散采樣信號(hào)為 ， ，數(shù)據(jù)長度為 ，其分辨率是 ，將信號(hào)表示為 。得到相應(yīng)的分解表達(dá)式(5.2.43) Mallat在文獻(xiàn)13里給出 的實(shí)系數(shù)值，式(5.2.43)可寫成 (5.2.44) 和 是隔二抽取結(jié)果，數(shù)據(jù)長度分別是信號(hào) 的數(shù)據(jù)之半。 信號(hào)重構(gòu)表達(dá)式為(5.2.45)7/27/202230機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室1.1 內(nèi)積變換原理 函數(shù) ，

21、 的內(nèi)積定義 信號(hào) 的傅里葉變換信號(hào)的小波變換1 信號(hào)處理的內(nèi)積與基函數(shù) 7/27/202231機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室小波變換的逼近信號(hào) 和細(xì)節(jié)信號(hào) 為 為尺度函數(shù)； 為小波函數(shù)。雙尺度關(guān)系: 和 分別是低通和高通濾波器系數(shù)。1.2 小波變換的內(nèi)積運(yùn)算 7/27/202232機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室 小波變換的分解表達(dá)式 基函數(shù)分解關(guān)系 小波變換的重構(gòu)表達(dá)式 7/27/202233機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2 小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取Mallat塔形算法,不涉及尺度函數(shù) 和小波函數(shù) ,直接運(yùn)用 和 參與運(yùn)算，運(yùn)算量正比于 。每次分解所得到的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的

22、數(shù)據(jù)長度是上一次逼近信號(hào)數(shù)據(jù)長度的一半。當(dāng) 次分解后，逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長度縮減為原始信號(hào)數(shù)據(jù)長度 的 。在重構(gòu)計(jì)算的每一步中，先在數(shù)據(jù)之間插補(bǔ)零后再參與同低通、帶通濾波器系數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長度加倍。Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相當(dāng)于快速傅里葉算法在傅里葉變換中的地位。正交小波變換將原始信號(hào)分解到各自獨(dú)立的頻帶中，正交性保證了這些狀態(tài)信息無冗余、無疏漏，排除了干擾，濃縮了監(jiān)測診斷信息。7/27/202234機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換 5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測 5.4 工程應(yīng)用 7/27/20

23、2235機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測小波變換對信號(hào)的分解都是對低頻逼近信號(hào) 進(jìn)行再分解，不再對高頻細(xì)節(jié)信號(hào) 進(jìn)行分解。小波變換分解方式，高頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率高而頻率分辨率低，低頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率低而頻率分辨率高。小波包(wavelet packet)提高高頻頻帶信號(hào)的頻率分辨率。 信號(hào)的小波分解 信號(hào)的小波包分解 7/27/202236機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測設(shè)序列 滿足 (5.3.1) 現(xiàn)定義一組遞歸函數(shù) , n =1, ，它們由尺度函數(shù) 和小波函數(shù) 產(chǎn)生，有關(guān)系 和(5.3.2)式中 ，兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng) 時(shí)

24、，上式的 和 分別對應(yīng)于 和 。定義5.3.1 由式(5.3.2)產(chǎn)生的序列 稱為由基函數(shù) 確定的小波包。7/27/202237機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測根據(jù)多分辨分析關(guān)系 ，用 代替 ，得到小波包子空間 中的分解關(guān)系(5.3.13) 小波包對小波子空間 進(jìn)行逐步分解，令 n =1, 2,；j =1, 2,，得到如下的分解表示 (5.3.14) 的分解可用 來表示，分解信號(hào)為 ， m=0, 1, 2, 7/27/202238機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號(hào)分解是正交分解，能量守衡，有如下關(guān)系(5.3.18)這里 表示信號(hào)的

25、能量。 數(shù)據(jù)為 ，能量為(5.3.19)歸一化相對能量表示。第 m 頻帶分解信號(hào)相對能量為(5.3.20)根據(jù)能量守衡原理，顯然有(5.3.21)7/27/202239機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換 5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測 5.4 工程應(yīng)用 7/27/202240機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4 工程應(yīng)用5.4.1 軋鋼機(jī)振動(dòng)分析 鋼廠熱軋機(jī)電機(jī)功率1MW，轉(zhuǎn)速591r/min。用加速度傳感器測試電機(jī)滑動(dòng)軸承座的垂直振動(dòng)。 圖5.4.1軋制過程電機(jī)測點(diǎn)的振動(dòng)波形 圖5.4.2軋制過程振動(dòng)信號(hào)的小波分解 鋼坯進(jìn)入軋機(jī)的沖擊引起的寬帶響應(yīng)。具有明顯的幅值調(diào)制現(xiàn)象。高頻細(xì)節(jié)信號(hào)波形雜亂、密集隨機(jī)脈沖。電機(jī)軸瓦中因潤滑不良造成的干摩擦及碰摩現(xiàn)象。7/27/202241機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4 工程應(yīng)用5.4.2大