高數(shù)4向量、解析課件

1、數(shù) 學(xué) 專 題梁一平重慶師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院The Physics and Information Technique College of Chongqing Normal University專題2高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)解讀第四章 向量代數(shù)與空間解析幾何第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算表示法:向量的模 :向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量). 既有大小, 又有方向的量稱為向量向徑 (矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為 1 的向量,零向量:模為 0 的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相

2、同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反,則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此 k 個(gè)向量共面 .記作a ;二、向量的線性運(yùn)算1. 向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律 :交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .2. 向量的減法三角不等式3. 向量與數(shù)的乘法 是一個(gè)數(shù) ,規(guī)定 :可見 與 a 的乘積是一個(gè)新向量, 記作總之:運(yùn)算律 :結(jié)合律分配律因此定理1. 設(shè) a 為

3、非零向量 , 則( 為唯一實(shí)數(shù))ab則已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab 三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點(diǎn) o , 坐標(biāo)面 卦限(八個(gè))zox面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :有序數(shù)組(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;坐標(biāo)軸 : 坐標(biāo)面 :2. 向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn) M 則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分

4、解式 ,任意向量 r 可用向徑 OM 表示.四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:例. 已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn) M , 使解: 設(shè) M 的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即說明: 由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn) ,于是得中點(diǎn)公式:五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與例. 在 z 軸上求與兩點(diǎn)等距解: 設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為與思考: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?離的點(diǎn) . 2. 方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量

5、 任取空間一點(diǎn) O ,稱 =AOB (0 ) 為向量 的夾角. 類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . 與三坐標(biāo)軸的夾角 , , 為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦. 記作方向余弦的性質(zhì):第二節(jié) 數(shù)量積 向量積 *混合積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1. 定義設(shè)向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積(點(diǎn)積) .引例. 設(shè)一物體在常力 F 作用下, 位移為 s ,則力F 所做的功為一、兩向量的數(shù)量積記作故2. 性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有3. 運(yùn)算律(1) 交換律(2) 結(jié)合律(3) 分配律事實(shí)上, 當(dāng)時(shí), 顯然成立 ;例. 證明三角形余弦定理證:則如圖 . 設(shè)4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩

6、向量的夾角公式 , 得二、兩向量的向量積引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點(diǎn) ,有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點(diǎn)上 ,則力 F 作用在杠桿上的力1. 定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,稱引例中的力矩思考: 右圖三角形面積S2. 性質(zhì)為非零向量, 則3. 運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律4. 向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則向量積的行列式計(jì)算法*三、向量的混合積1. 定義已知三向量稱數(shù)量混合積 .記作幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其2. 混合積的坐標(biāo)表示設(shè)3. 性質(zhì)(1) 三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2) 輪

7、換對(duì)稱性 :(可用三階行列式推出)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:混合積:2. 向量關(guān)系:第三節(jié) 曲面及其方程求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程. 一、曲面方程的概念定義1. 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z

8、) = 0 的圖形.兩個(gè)基本問題 :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖 ). 故所求方程為例. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為 R 的軌跡表示上(下)球面 .例. 研究方程解: 配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. 表示怎樣半徑為的球面.球心為 一個(gè)球面, 或點(diǎn), 或虛軌跡.定義2. 一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成

9、的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸 .例如 :建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: 則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？例. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解: 在yoz面上直線L 的方程為繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方三、柱面引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程解:在 xoy 面上，表示圓C, 沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面在圓C上任取

10、一點(diǎn) 其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.z 軸的平面.表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線四、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特

11、性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )1. 橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:為正數(shù))2. 拋物面(1) 橢圓拋物面( p , q 同號(hào))(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號(hào))3. 雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí), 截痕為(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）平面 上的截痕情況:雙曲線: 虛軸平行于x 軸）時(shí), 截痕為時(shí), 截痕為(實(shí)軸平

12、行于z 軸;相交直線: 雙曲線: (2) 雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面圖形4. 橢圓錐面橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到)內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面三元方程 球面 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面: 柱面如,曲面表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .2. 二次曲面三元二次方程 橢球面 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面 雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面 橢圓錐面: 第四節(jié) 空間曲線及其方程

13、空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線 C. C一、空間曲線的一般方程又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距 .例. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , (2) 將第二方程變形為故所求為得所求為例. 求空間曲線 :繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程 .解:點(diǎn) M1繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 轉(zhuǎn)過角度 后到點(diǎn) 則這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程 . 例如, 直線繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)

14、曲面方程為 消去 t 和 , 得旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面 ( 即球面 ) 方程為 又如, xoz 面上的半圓周說明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù) , 形如三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程例如,在xoy 面上的投影曲線方程為又如,所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面在 xoy 面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域 .內(nèi)容小結(jié) 空間曲線三元方程組或參數(shù)方程 求投影

15、曲線 (如, 圓柱螺線)第五節(jié) 平面及其方程設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向稱式為平面的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.量則有 故一、平面的點(diǎn)法式方程例.求過三點(diǎn)即解: 取該平面 的法向量為的平面 的方程. 利用點(diǎn)法式得平面 的方程此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成 一般情況 :過三點(diǎn)的平面方程為說明:特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程. 時(shí),平面方程為 分析:利用三點(diǎn)式 按第一行展開得 即二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià), 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程.特殊

16、情形 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.三、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.特別有下列結(jié)論：

17、外一點(diǎn),求例. 設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d .,則P0 到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:第六節(jié) 空間直線及其方程2. 對(duì)稱式方程故有說明: 某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零.設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 則此式稱為直線的對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程)直線方程為已知直線上一點(diǎn)例如, 當(dāng)和它的方向向量 3. 參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程 :例.用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線解:先在直線上找一點(diǎn).再求直線的方向向量令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn) .故所給直線的對(duì)稱式方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.二、線面間的位置關(guān)系1. 兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足設(shè)直線兩直線的