高職應(yīng)用數(shù)學(xué)模塊線性代數(shù)初步課件

1、高職應(yīng)用數(shù)學(xué)模塊（線性代數(shù)初步） B引例第 五 節(jié) 可逆矩陣逆矩陣的定義矩陣可逆的條件可逆矩陣的性質(zhì)一、引例二、逆矩陣的定義1. 可逆的定義定義 1. 10 對于數(shù)域 F 上的矩陣 A ，如果存在數(shù)域 F 上的矩陣 B，使得AB = BA = E (1.6)則稱矩陣 A 為可逆矩陣，簡稱 A 可逆，并稱 B 為A 的逆矩陣，記作A-1 = B .2. 定義的幾點說明由定義公式 AB = BA = E 可以得到如下結(jié)論：1) A 與 B 可交換，因此可逆矩陣一定是方陣.換句話說，如果一個矩陣不是方陣，則它一定不可逆.并且與 A 可交換的矩陣 B 是與 A 同階的方陣.2) 如果矩陣 A 可逆，則

2、 A 的逆矩陣一定是唯一的.3) 當 A 可逆時，B = A-1 也可逆，并且B -1 = ( A-1 ) -1 = A .例 1 單位矩陣 E 可逆.因為 EE = E，即E -1 = E .例 2 設(shè)驗證 B 是 A 的逆陣 .三、矩陣可逆的條件現(xiàn)在的問題是：在什么條件下矩陣 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎樣求 A-1 ？為此先引入非奇異矩陣和伴隨矩陣的概念.1. 非奇異矩陣的定義定義 1. 11 如果 n 階矩陣 A 的行列式det A 0，則稱 A 是非奇異矩陣(或非退化矩陣)，否則稱A 是奇異矩陣(或退化矩陣) .2. 伴隨矩陣的定義定義 1. 12 設(shè) A = ( aij ) n

3、 n ，Aij 為 A 的元aij 的代數(shù)余子式 ( i , j = 1 , 2 , , n )，則矩陣稱為 A 的伴隨矩陣.由可以得到即AA* = ( det A ) E類似可得A*A = ( det A ) E由此我們得到3. 矩陣可逆的充要條件定理 1. 5 矩陣 A = ( aij ) n n 可逆的充分必要條件是 A 為非奇異矩陣.并且當 A 可逆時，有推論 設(shè) A，B 均為 n 階矩陣，并且滿足AB = E，則 A，B 都可逆，且 A-1 = B，B -1 = A .顯然，利用這個推論來判斷 B 是否是 A 的逆陣，比利用定義要簡單一些.不僅解決了如何判斷一個方陣是否是可逆的問題，

4、同時還給出了一種求逆矩陣的方法，我們稱之為伴隨矩陣法.例 3 設(shè)試判定當 a , b , c , d 滿足什么條件時，A 可逆. 又當 A 可逆時，求 A-1 .由這個例子可以看出，當 2 階矩陣可逆時，利用伴隨矩陣法，很容易求出其逆陣.對于2 階矩陣可用的方法求其逆矩陣. 例 4 利用矩陣的求逆模型求下列矩陣的逆陣 例 5 用伴隨矩陣法求下列矩陣的逆陣四、可逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣有以下性質(zhì)：性質(zhì) 1 如果 A，B 均為 n 階可逆矩陣，則AB 也可逆，并且( AB ) -1 = B -1A -1 .性質(zhì) 1 可以推廣到多個可逆矩陣相乘的情況：即如果 n 階矩陣 A1 , A2 , , At 都可逆，則A1 A2 At 也可逆, 且(A1 A2 At)-1 =At-1 A2-1A1-1 .性質(zhì) 2 如果矩陣 A 可逆，則其轉(zhuǎn)置矩陣 AT也可逆，并且( AT ) -1 = ( A -1 ) T.性質(zhì) 3 如果矩陣 A 可逆，則對于非零常數(shù) k, k A 也可逆，并且性質(zhì) 4 如果矩陣 A 可逆，則例 6 設(shè)有分塊矩陣其中 A11 , A22 分別為 s 階和 r 階可逆矩陣 ( 注意：本題中的 Aij 是子矩陣而不是代數(shù)余子式)，A12 為s r 矩陣，O 為 r s 零矩陣.試證明 A 可逆，并且特別