人教A版高中數(shù)學選擇性必修二《5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教案

1、5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修二第四章數(shù)列，本節(jié)課主要學習基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本節(jié)內(nèi)容通對基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的介紹，進一步幫助學生理解導(dǎo)數(shù)的含義，同時提升學生對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解運算能力，為運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題，打下堅實的基礎(chǔ)。在學習過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法的滲透。課程目標學科素養(yǎng)A.能根據(jù)定義求函數(shù)yc，yx，y=x2， y=1x,y=x的導(dǎo)數(shù)B掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能進行簡單的應(yīng)用1.數(shù)學抽象：導(dǎo)數(shù)的概念2.邏輯推理：導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義 3.數(shù)學運算：求曲線在某點處切線的斜率 4.直觀想象：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

2、重點： 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的簡單應(yīng)用 難點：根據(jù)定義求函數(shù)yc，yx，y=x2， y=1x,y=x的導(dǎo)數(shù) 多媒體教學過程教學設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標溫故知新 由導(dǎo)數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一確定的。在必修第一冊中我們學過基本初等函數(shù)，并且知道，很多復(fù)雜函數(shù)都是通過對這些函數(shù)進行加、減、乘、除等運算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后研究出導(dǎo)數(shù)的“運算法則”，這樣就可以利用導(dǎo)數(shù)的運算法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。本節(jié)我們就來研究這些問題。二、新知探究1.求函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)的方法(1)求yf (x0 x)f (x0)(2)求變化率eq f(y,x)eq f

3、(fx0 xfx0,x).(3)求極限的y|eq sdo10(xx0)f (x0)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x).2.怎樣求導(dǎo)函數(shù)？(1)求改變量yf (xx)f (x)(2)求比值eq f(y,x)eq f(fxxfx,x).(3)求極限的yf (x)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x).思考：導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系？那么如何求幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？問題1.函數(shù)y=fx=c的導(dǎo)數(shù)解：因為yx=fx+x-f(x)x所以y=x0limyx=x0lim0=0 若y=c表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y=0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即一直處于靜止

4、狀態(tài)。問題2.函數(shù)y=fx=x的導(dǎo)數(shù)解：因為yx=fx+x-f(x)x=x+x-xx=1所以y=x0limyx=x0lim1=1 若y=x表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y=1可以解釋為某物體的瞬時速度始終為1的勻速直線運動。問題3.函數(shù)y=fx=x2的導(dǎo)數(shù)解：因為yx=fx+x-f(x)x=x+x2-x2x=x2+2xx+(x)2-x2x= 2x+ x所以y=x0limyx=x0lim(2x+x)=2xy=2x表示函數(shù)y=x2的圖像，上點x,y處切線的斜率為2x,說明隨著x變化，切線的斜率也在變化。另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看，y=2x表明；當x0時，隨著x增加， y越來越大，y

5、=x2增加得越來越快； 若y=x2表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y=2x可解釋為某物體做變速運動，它在時刻x瞬時速度為2x。原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x) f(x)x(Q，且0)f(x) f(x)sin xf(x) f(x)cos xf(x) f(x)ax(a0，且a1)f(x) f(x)exf(x) f(x)logax(a0，且a1)f(x)_f(x)ln xf(x)_0；x1；cos x；sin x；axln a；ex；eq f(1,xln a)；eq f(1,x)1.函數(shù)yeq f(4,x2)在x2處的導(dǎo)數(shù)為_解析：法一(導(dǎo)數(shù)定義法)：yeq f(4,x22)eq f(4,22)

6、eq f(4,x22)1eq f(x24x,x22)，eq f(y,x)eq f(x4,x22)，yeq blc|rc (avs4alco1(,x2)eq o(x0,sup17(lim)eq f(y,x)eq o(x0,sup17(lim)eq f(x4,x22)1.法二(導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法)：yeq f(4,xx2)eq f(4,x2)eq f(4x2xx,x2xx2)，eq f(y,x)eq f(42xx,x2xx2)，yeq o(x0,sup17(lim)eq f(y,x)eq o(x0,sup17(lim)eq f(42xx,x2xx2)eq f(8,x3).yeq blc|rc (av

7、s4alco1(,x2)eq f(8,23)1.答案：12常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0說明什么？提示：說明常數(shù)函數(shù)f(x)c圖象上每一點處的切線的斜率都為0，即每一點處的切線都平行(或重合)于x軸3對于公式“若f(x)x(Q)，則f(x)x1”，若把“Q”改為“R”，公式是否仍然成立？提示：當R時，f(x)x1仍然成立4下列說法正確的個數(shù)為()若yeq r(2)，則yeq f(1,2)21；若f(x)sin x，則f(x)cos x；f(x)eq f(1,x3)，則f(x)eq f(3,x4).A0個B1個 C2個 D3個解析：只有正確答案：B5(多選)下列結(jié)論正確的是()A若y0，則y0B若y5x，則

8、y5C若yx1，則yx2 D若y=x12，則yeq f(1,2)x12 答案：ABC6若ycoseq f(2,3)，則y ()Aeq f(r(3),2)Beq f(1,2)C0D.eq f(1,2)答案：C7函數(shù)yeq r(x)在點eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，f(1,2)處切線的傾斜角為 ()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(3,4)答案：B典例解析例1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yeq f(1,x5)；(2)yeq f(x2,r(x)；(3)ylg x；(4)y5x；(5)ycoseq blc(rc)(avs4alco1(

9、f(,2)x).解(1)yeq f(1,x5)x5，y5x6.2y=x2x12=x2-12=x32, y=32x12(3)ylg x，yeq f(1,xln 10).(4)y5x，y5xln 5.(5)ycoseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)sin x，ycos x.1若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解2對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導(dǎo)”的基本原則，避免不必要的運算失誤3要特別注意“eq f(1,x)與ln x”，“ax與logax”，“sin x與cos x”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yeq f(x,r(x)(x0)；(2

10、)ysin(x)；(3)ylogx.解(1)yeq f(x,r(x)eq r(x)(x0)，y(eq r(x)eq f(1,2r(x).(2)ysin(x)sin x，ycos x.(3)yeq blc(rc)(avs4alco1(logf(1,3)x)eq f(1,xlnf(1,3)eq f(1,xln 3).例2 假設(shè)某地在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價P（單位：元）與時間t（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系pt=p01+5%t,其中p0為t=0時的物價，假定某種商品的p0=1,那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少？（精確到0.01元/年）解：根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表有

11、，pt=1.05tln1.05所以；p10=1.0510ln1.050.08所以，在第10個年頭這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲。跟蹤訓(xùn)練2 質(zhì)點的運動方程是S(t)sin t，則質(zhì)點在t時的速度為_；質(zhì)點運動的加速度為_；解析：v(t)S(t)cos t，veq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)cos eq f(,3)eq f(1,2). 即質(zhì)點在teq f(,3)時的速度為eq f(1,2).v(t)cos t，加速度a(t)v(t)(cos t)sin t.答案eq f(1,2) sin t例3 已知曲線yeq f(1,x).(1)求曲線在點P(1,1)處的切線方

12、程；(2)求過點Q(1,0)的曲線的切線方程解yeq f(1,x)，yeq f(1,x2).(1)顯然P(1,1)是曲線上的點，所以P為切點，所求切線斜率為函數(shù)yeq f(1,x)在點P(1,1)的導(dǎo)數(shù)，即kf(1)1.所以曲線在P(1,1)處的切線方程為y1(x1)，即為xy20. (2)顯然Q(1,0)不在曲線yeq f(1,x)上，則可設(shè)過該點的切線的切點為Aeq blc(rc)(avs4alco1(a， f(1,a)，那么該切線斜率為kf(a)eq f(1,a2).則切線方程為yeq f(1,a)eq f(1,a2)(xa)將Q(1,0)代入方程：0eq f(1,a)eq f(1,a2

13、)(1a)得aeq f(1,2)，代入方程整理可得切線方程為y4x4.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導(dǎo)數(shù)；(2)如果已知點不是切點，則應(yīng)先設(shè)出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解跟蹤訓(xùn)練3 當常數(shù)k為何值時，直線y1x與曲線y2x2k相切？請求出切點解：設(shè)切點為A(x0，xeq oal(2,0)k)y22x，eq blcrc (avs4alco1(2x01，,xoal(2,0)kx0，)eq blcrc (avs4alco1(x0f(1,2)，,kf(1,4)，)故當keq f(1,4)時，直線y1x與曲線y2x2k相切，且切點

14、坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)， f(1,2).通過對上節(jié)導(dǎo)數(shù)定義及求導(dǎo)步驟的回顧，引導(dǎo)學生對5個基本函數(shù)運用定義求導(dǎo)。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 通過對5個基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解，及其導(dǎo)函數(shù)的解釋。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。通過基本問題解決，幫助學生熟悉基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 通過典型例題的分析和解決，幫助學生熟練掌握8個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，發(fā)展學生數(shù)學運算，直觀想象和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。三、達標檢測1設(shè)函數(shù)f(x)cos x，則eq blcrc(avs4alco1

15、(fblc(rc)(avs4alco1(f(,2) ()A0B1 C1 D以上均不正確解析：注意此題中是先求函數(shù)值再求導(dǎo)所以導(dǎo)數(shù)是0答案：A2下列各式中正確的是 ()A(logax)eq f(1,x) B(logax)eq f(ln 10,x)C(3x)3x D(3x)3xln 3解析：由(logax)eq f(1,xln a)，可知A，B均錯；由(3x)3xln 3可知D正確答案：D3若f(x)x2，g(x)x3，則滿足f(x)1g(x)的x值為_解析：由導(dǎo)數(shù)的公式知，f(x)2x，g(x)3x2.因為f(x)1g(x)，所以2x13x2，即3x22x10，解得x1或xeq f(1,3).答

16、案：1或eq f(1,3)4設(shè)函數(shù)f(x)logax，f(1)1，則a_.解析：f(x)eq f(1,x ln a)，f(1)eq f(1,ln a)1.ln a1，即aeq f(1,e).答案：eq f(1,e)5求與曲線yf(x)eq r(3,x2)在點P(8,4)處的切線垂直，且過點(4,8)的直線方程解：因為yeq r(3,x2)，所以y(eq r(3,x2)(x23)eq f(2,3)x-13所以f(8)eq f(2,3)8eq f(1,3)，即曲線在點P(8,4)處的切線的斜率為eq f(1,3).所以所求直線的斜率為3，從而所求直線方程為y83(x4)，即3xy200.6.已知兩條曲線ysin x，ycos x，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使在這一點處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由解：由于ysin x，ycos x，設(shè)這兩條曲線的一個公共點為P(x0，y0)兩條曲線在P(x0，y0)處的斜率分別為：k1cos x0，k2sin x0.若使兩條切線互相垂直，必須cos x0(sin x0)1，即sin x