第31屆全國(guó)部分地區(qū)大學(xué)生物理競(jìng)賽試卷與解答

1、第 31 屆全國(guó)部分地區(qū)大學(xué)生物理競(jìng)賽試卷與解答2014.12.07將地球半徑R 、自轉(zhuǎn)周期T 、地面重力加速度g 取為已知量，則人造地球同步衛(wèi)星的軌道半徑=gT 242R13 R ，軌道速度相對(duì)第一宇宙速度的比值= 412RT 2g6 。如圖所示，水平桌面上靜放著質(zhì)量為M ，內(nèi)半徑為R的半球面形薄瓷碗，碗的底mR座與桌面間無(wú)摩擦。將質(zhì)量為m 的小滑塊在圖示的碗邊位置從靜止釋放，隨后將會(huì)無(wú)摩擦 地 沿 碗 的 內(nèi) 表 面 滑 下 。 小 滑 塊 到 達(dá) 最 低 位 置 時(shí) ， 它 相 對(duì) 桌 面 的 速 度 大 小 為M2MgRMm ，它對(duì)碗底的正壓力大小為3M2m Mmg 。如圖所示， 長(zhǎng)

2、l 的輕細(xì)桿兩端連接質(zhì)量相同的小球A、B ，開(kāi)始時(shí)細(xì)桿處于豎直方位，A2v0B下 端 B 球 距 水 平地 面 高 度 記為h 。 某 時(shí) 刻 讓 B 球 具 有 水 平 朝 右 初 速度v0 （ 其 大 小lv0gl2 ），其上方A球具有水平朝右初速度2v 0 。假設(shè)而后A、 B 同時(shí)著地，則h 可v0取的最小值h=2 gl4v 2l8v 2，取 h時(shí)， B 從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到著地過(guò)程中其水平位移sh=312minl2 。00min兩個(gè)測(cè)量者A和 B ，各自攜帶頻率同為1000Hz 的聲波波源。 設(shè) A靜止， B以 10m / s 的速度朝著A運(yùn)動(dòng)， 已知聲速為 340m / s，不考慮人體的反射

3、，則 A接收到的拍頻0A拍 =30 Hz （請(qǐng)保留2 位有效數(shù)字） ， B 接收到的拍頻B拍 = 29 Hzv0v0（請(qǐng)保留2 位有效數(shù)字） 。123v0如圖 1 所示， 3 個(gè)相同的勻0質(zhì)球體以相同的水平初速度v0 平圖 11拋出去。其中球1 拋出時(shí)無(wú)自轉(zhuǎn)， 球 2、球 3 拋出時(shí)有自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)方向已在圖 1 中示出， 自轉(zhuǎn)角速度值0 相同且較大。球1 拋出后，落地前球心的一段31圖 2運(yùn)動(dòng)軌道如圖2 長(zhǎng)方形內(nèi)一段曲線所示，2試在該長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)定性畫(huà)出球2、球 3落地前各自球心的一段運(yùn)動(dòng)軌道。（球 2、球 3 球心在圖2 中的初始位置，可不受圖1 所示位置限制。 ）如圖所示，在一個(gè)絕熱的豎直氣

4、缸里存有一定量的理想氣體，開(kāi)始時(shí)絕熱的活塞p 2 p0p0是固定的?，F(xiàn)拆去銷(xiāo)釘（圖中未畫(huà)出），氣體因膨脹而將活塞和重物舉高， 則此過(guò)程中氣體的壓強(qiáng)減小，溫度降低。（空氣體白處可填 “增大 ”、“減小 ”、“升高 ”、 “降低 ”。）某氣體經(jīng)歷的循環(huán)過(guò)程如圖所示，氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)平均自由程和氣體溫度T 都會(huì)隨過(guò)程而變。將的最大值和最小值分別記OV02V0V為max 和min ，則max :min= 2 。將 T 的最大值和最小值分別記為T(mén)max 和Tmin ，則該氣體在Tmax 熱源和Tmin 熱源之間形成的卡諾循環(huán)過(guò)程效率卡= 75% 。（空白處只可填數(shù)值。）在圖中用實(shí)線代表的3 根首尾相接的

5、等長(zhǎng)絕緣細(xì)棒上的電荷分布，與c絕緣棒都換成等長(zhǎng)細(xì)導(dǎo)體棒且處于靜電平衡時(shí)的電荷分布完全相同。已測(cè)得圖中 A、 B兩點(diǎn)電勢(shì)分別為U A 、 U B ，今將絕緣棒ab 取走，設(shè)這不影響絕AB2緣棒 ac 、 bc 的電荷分布，則此時(shí)A 點(diǎn)電勢(shì) U AU A ， B 點(diǎn)電勢(shì) U B3abU。11U AB62雙縫干涉裝置如圖1 所示， 屏幕中央 O 處出現(xiàn)亮條紋。O 處上下都有亮屏幕條紋，設(shè)圖1 標(biāo)出的參量均為已知量，則相鄰兩條亮條紋間距可表述為xDaO。圖 2 所示也是一種楊氏雙縫干涉裝aOba屏幕Aa45 oBaD置，直角擋板的兩個(gè)側(cè)面分別有對(duì)稱(chēng)的透光細(xì)縫 A、 B 。屏幕與擋板的一個(gè)側(cè)面平圖 1行

6、，屏幕 O 處可出現(xiàn)亮條紋。設(shè)圖 2 標(biāo)出的參量均為已知量，則屏幕 O2bo45處附近相鄰兩條亮條紋的間距可表述為x。a圖 2鋁的逸出功是4.2eV ，鋁的紅限波長(zhǎng)m3 102nm 。若用波長(zhǎng)為 200 nm 的光照射鋁表面，則光電效應(yīng)的遏止電壓上結(jié)果保留一位有效數(shù)字即可）11.（ 15 分）U 02 V 。（普朗克常量h6.631034 J s，如凈質(zhì)量M 0 的噴水車(chē)，存水質(zhì)量m0 ，在平直道路上以勻速度v 行駛的同時(shí)，朝左、右兩側(cè)綠化帶水平橫向噴水，噴出去的水相對(duì)車(chē)身速度大小為常量u ，單位時(shí)間噴水質(zhì)量為常量。已知車(chē)在行駛過(guò)程中受 正面空氣阻力大小為v ，其中為正的常量；受地面阻力大小為

7、N ，其中為正的常數(shù)，N 為地面所受正壓力。 不計(jì)其它能耗因素，試求車(chē)裝滿(mǎn)水啟動(dòng)達(dá)勻速v 并開(kāi)始噴水后，直到水噴凈為止，車(chē)內(nèi)作功裝置的作功量 W 。解：為噴水提供作功總量W1 m u 2（2 分）210t0， x0 開(kāi)始計(jì)時(shí)、計(jì)程，t0時(shí)刻xvtMM0牽引力FvMgvgMxm0vmx（ 5 分）x0 到 xevtev m0，總功00vxexeWFdxvgMmxdx所求為200m0vg M 0200m0vv（ 6 分）WWW1 m u2vgMm0m0v（ 2 分）22120012.（ 15 分）如圖所示，半徑為R的長(zhǎng)直圓柱形幾何空間區(qū)域內(nèi)，有軸向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感A應(yīng)強(qiáng)度 B 的方向垂直于圖平面朝

8、里，其大小隨t 變化，且有dB dtk ，式中 k 為正的常量。 圓柱形空間區(qū)域外沒(méi)有磁場(chǎng)。 在圓柱形空間區(qū)域內(nèi)的一個(gè)正截面內(nèi)， 有一個(gè)用金屬絲連接而成的圓內(nèi)接正三角形 ABCA，其中 AB 段、 BC 段和 CA 段的電阻分別記為 r1 、 r2 和 r3 。r1Rr3 RRBr2C（ 1）試求 AB 段從 A到 B 方向的電動(dòng)勢(shì)AB ；（ 2）設(shè) r1r2r3 ，試求AB 段從 A到 B的電壓UAB ；（ 3）改設(shè) r1r0 、 r22r0 、 r33r0 ，再求 AB 段從 A到 B 的電壓U AB 。解：（ 1）回路電動(dòng)勢(shì)為ddB1 3 R3R3 3 kR2ABCAdtdt2 24因?qū)?/p>

9、稱(chēng)，即得132kRABABCA34（ 6 分）（ 2）回路電壓因?qū)ΨQ(chēng)，有UABU BCU ABCAU CA0U AB0（ 3 分）（ 3）將 r1r0 、 r22r0 、 r33r0 代入電流公式：IIrrr33 kR2(6 r )ABCAABCA123042得I3kR(8r0)繼而得U ABABIr13 kR28（ 6 分）13.（ 15 分）理想氣體多方過(guò)程可表述為pV n1 （常量）或TV n12 （常量）（ 1）已知1 和氣體的摩爾數(shù)，求2 ；（ 2）已知多方指數(shù)n 和氣體的等體摩爾熱容量CmV ，試依據(jù)過(guò)程摩爾熱容量定義式CmdQdT ，導(dǎo)出該多方過(guò)程的摩爾熱容量Cm 。解：（ 1）

10、pV n1pVRTTVn 1R21R（5 分）1（ 2） CdQdTpdVCdTdTpdVC1dT2mmVmVV n 12 Tn1 V n2dVdTT 2V npn11dVdTT 2dTRT 21pVRTnpV 21 dV V21dT TRdTpVpdVRdTn1CCR（ 10 分）n1mmV另解：2TV n 1V n 1dTdV( n1)V n1V2TdV01RdTn1 Tn1 P代入 1 式：CmCmVpdV dTRCmVn1y14.（ 15 分）如圖所示， 在Oxy平面上有場(chǎng)強(qiáng)為E 平行于 x 軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，還有垂直于 Oxy 平面朝里的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B 的值僅隨x 變化。在 xa

11、 、BEav0BPya 處，質(zhì)量為m 、電量 q0 的質(zhì)點(diǎn) P 具有速度v0 ，使得 P 的而后運(yùn)動(dòng)Oax軌道恰好是在Oxy平面上以O(shè) 為圓心的圓周。已知P 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度BB達(dá)最小值（不為零）時(shí)，所受磁場(chǎng)力為零。（過(guò)程中不考慮重力的影響。）E（ 1）試求速度v0 的方向和大小；（ 2）將圓半徑記為R，試在 RxR范圍內(nèi)確定B隨 x 變化的函數(shù)。解：（ 1） P 的初始位置到O 的距離即為圓半徑，故有yR2a磁場(chǎng)力不作功，電場(chǎng)力作功，P的動(dòng)能最?。此俣茸钚。┪恢帽厥窃陬}解圖1 中xR、 y0處。 P在該位置處不受磁場(chǎng)力，表明Rv0EBaBPxvminOaRBBE題解圖1B xR0P 作圓周

12、運(yùn)動(dòng)所需向心力即為電場(chǎng)力，可得mv2vminqE R2minqER m ， R2aP 在初始 xa 、 ya 處時(shí)的動(dòng)能為1 mv21 mv2qE Ra ， R2a0min22故有v2v22qE21 aqE 322 a m0minm即得方向：如題解圖1 所示的切線方向v0大?。?v0qE 3 22 a m（7 分）y（ 2）參考題解圖2， P 處于圖示位置時(shí)，引入?yún)⒘縳x a （x 帶正、負(fù)號(hào)）則有11vBqvBP qE Oxxmvmv2222min2qEqEx2 ax2 avv22minqEm322 x a m題解圖2因qvBqE cosmv22a得BE cos vmv 2qa， cosxx

13、R2所求 Bx函數(shù)便為B(x)mE 2qax3 22 xAB322 xRxR2ax2a（ 8 分）說(shuō)明：題解圖2 中， P 位于第 I 象限求得B( x) 分布，考慮到x 正負(fù)號(hào)與不同象限CD中 cos正負(fù)號(hào)的組合關(guān)系，所得15.（ 20 分）B( x) 分布同樣適用于II 、 III 、 IV 象限。圖 1AB用某種導(dǎo)電材料制成如圖1 所示的勻質(zhì)正方形電阻薄平板，4 個(gè)微微朝外突出的頂端記為A、 B、 C 、 D 。將 A、 C 兩端間的等效電阻記為R1， A、 D 兩端間的等效電阻記為R2 。（ 1）設(shè)電流I 從 A端流入， C 端流出，請(qǐng)定性畫(huà)出平板中電流線的分布，而后CD圖 2試導(dǎo)出R

14、1、R2 、 2R1 之間的大小排序關(guān)系。（ 2）如圖 2 所示，用理想導(dǎo)線連接B、 D 端，試求此時(shí)A、 C 兩端間的等AB效電阻RAC ，答案用R1、R2 表示。（ 3）如圖3 所示，將6 塊這樣的電阻薄平板通過(guò)頂端間的焊接，棱邊間均AB不焊接且不接觸， 構(gòu)成一個(gè)中空且露縫的“正方體 ”，試求圖中兩個(gè)相對(duì)頂端C 、B間的等效電阻RCB，答案用R1 、 R2 表示。解：（1）設(shè)電流I 從 A端流入， C 端流出，板中電流的定性分布圖如題解圖1 所示。將C端電勢(shì)記為0 ， A端電勢(shì)記為，則有CDR1（ 1）圖 3I再將 B端電勢(shì)記為UBU B ，則必有IU B若將 D 點(diǎn)電勢(shì)記為U D ，則因

15、電流分布的對(duì)稱(chēng)性，AB必有U DUCU AUBUDUB又因 UBUD ，與上式聯(lián)立，便得C1D（ U BUD即有U B2U BBU12BU12UB）2（2）I0U B題解圖 1以題解圖1 電流分布為樣本，構(gòu)建題解圖2 中（ a）、（ b）兩種電流分布，它們疊加成題解圖2 中（ c）的電流分布，此分布便可給出題文中的R2 為RUBUB22U B（ 3）III由（ 3）、（1）式，得代入（ 2 ）式，可得UBR2 ，2IR1IRI R1 IRIUBU BU BIU B012122ABABAB即得所求大小關(guān)系為2R1R2R1（ 4 ）CDCD（7 分）C此處，還可得I0D0U BII0U BIUI

16、R1R（a）（ b）（c）B2222 R1UR2B（ 5）題解圖 22 R1（ 2）設(shè)電流 I 從題圖2 的 A端流入， C 端流出， 電流的定性分布如題解圖3 中（ a）所示，并將 A、B 、 C 、 D 端電勢(shì)分別記為U A(a) 、U B( a) 、U C (a) 、IUD (a) 。圖（ a）中左側(cè)正方形平板中的電流分布，可分解為題解圖3 中U A a AU BaIBABIUBBUB0I AB（ b）和（ c）中未畫(huà)出的電流分布的疊加。 （ b）中CIU C aCDCD U DaDI0UBUI電流和電勢(shì)分布與題解圖 1 完全相同。（c）中電流 I 從 D 端流入， B 端流（ a）（

17、b） 題解圖 3（ c）出，參照題解圖1 的結(jié)構(gòu)，可設(shè)B 端電勢(shì)為 0 ， D 端電勢(shì)記為待定的， C端電勢(shì)記為U B ， A端電勢(shì)便應(yīng)為UB 。（ a）中 B 、 D 間的理想導(dǎo)線使B 、 D 等勢(shì)，結(jié)合疊加關(guān)聯(lián)，有U B (a)U D (a) ， U B( a)U B ， UD (a)U B得2U B（ 6）將（ 5）式代入，得R21 R1（ 7）（ c）中 I 流入形成的、 UB 與（ b）中 I 流入形成的、 U B 之間應(yīng)有同構(gòu)關(guān)聯(lián)，即可引入兩個(gè)比例常量0 、0 ，有I ， U BI ；I ， U BIUBUB即得UBU B將（ 5）、（7）式代入，得UR2R21對(duì)應(yīng)圖（ a）中有U

18、 AC (a)U A ( a)BUC ( a) 2U B2R1R1U B0UBR21 R1R2R2R21R1R1R2得U AC ( a)2R1R1（8）圖（ a）中 A、 C兩端間的等效電阻，即為題（2）所求RAC，應(yīng)為ACRU AC (a)R22R2IR1R1I將（ 1）式代入即得RAC2R2R R12（ 9）（ 6 分）據(jù)（ 4）式，已有2R1R2 ，故必有IRAC0AB（ 3）參考題解圖4，電流 I 從 C 端流入后， 均分到正板面、左板面和下板面，故正板面中電流1AI B上BI C正=I 3I A正I B正I B右此電流經(jīng)A、 B 、 D 端分流流出，應(yīng)有I A正=ID正1DCI C正

19、II A正I D正I B正IC正 =I 3D正（ 10）CD其中 I B正 將等分給從B 端流入上板面的I B上 和流入右板面I的 I B右 ，即有I B上 =IB右 ， I B正 =IB上I B右題解圖 4I最終從 B 端流出的總電流也為I 。如果讓電流I 從 B 端反向A流入，則I B上、 I B右也將大小不變地反流，它們將與題解圖4 中1BI112I的 I A正 或 I D正 同構(gòu)，故必有1 I1 I31A612B3 II B正=I A正結(jié)合（ 10）式，得1I D正2I A正1111 II12 I126CDI B正=I 6， I A正=I D 正=I 12（ 11）1I116據(jù)此可得題

20、解圖5 所示的電流分布電流 I 從輸入端 C 到輸出端B 形成的總電壓為II312CDUCBU CB (正)U BB (上)I從上板面B 端到 B 端的電壓UBB(上)，可等效為從正板面題解圖5A端到 C 端的電壓的負(fù)值，即等效為從正板面C 端到 A端的電壓 U CA ，即有UBB (上)U CA (正)U CB=U CB (正)U CA (正)（ 12）題解圖 6 中（ a）、（ b）、（ c）的電流分布，可疊加成（d）所示的正板面電流分布。（a）、（ b）、（ c）中各端點(diǎn)的電勢(shì)依據(jù)題解圖1、2 給出，疊加成（d）中相應(yīng)點(diǎn)的電勢(shì)（ （ d）中未標(biāo)出） ：1U11111 IB1 I01212

21、UBBA 12UBUB12061BI12 I6AAB6AB1 I CD1 ICD1 I6 I CDCD1121121121UB12121210UB61I1312 I0（ a）（ b）（c）（ d）題解圖 6U (正)1 U， U1BBBBB(正)U1U1 U11UAB121212663U(正)111 U11 UCBB繼而可得1212666U(正)U(正)U(正)11 U11U1 UCBCBBBB66632U(正)U(正)U(正)11 U1 U11 UCACABBB6612612代入（ 12）式，得U11117CB =U BUBUB（ 13）2612612其中、 U B 均由本題（1）問(wèn)解答中給

22、出，即IR1 ， U B1代入（ 13）式，即得R22 R11U1 IR71 IRR21 R7 RICB6所求 RCB 便為112 2R61242RU CB1 R7 R（ 7 分）12CBI62416.（ 20 分）阻尼振動(dòng)的微分方程為x0 x2x200（ 1）0 為臨界阻尼，方程通解為tx臨C臨1C臨2t e設(shè) t0 時(shí)， x臨x臨0， x臨v臨0，其中 x臨0、v臨0都帶有正負(fù)號(hào)。（ 1.1）試求 C臨1、 C臨2。（ 1.2）若x臨00 ，試通過(guò)分析，確定v臨0取哪些值，使振子都不能經(jīng)有限時(shí)間降到x臨0 位置。（ 2）0 為過(guò)阻尼，方程通解為22 t22 t00 x過(guò)C過(guò)1eC過(guò)2e設(shè)

23、t0 時(shí)， x過(guò)x過(guò)0， x過(guò)v過(guò)0，其中 x過(guò)0、v過(guò)0都帶有正負(fù)號(hào)。（ 2.1）試求 C過(guò)1、 C過(guò)2。（ 2.2）若x過(guò)00 ，試通過(guò)分析，確定v過(guò)0取哪些值，使振子都能經(jīng)有限時(shí)間降到x過(guò)0 位置。（ 2.3）若x過(guò)00 ，試問(wèn) v過(guò)0取何值時(shí)，可使C過(guò)10 ？（ 3）若臨界阻尼振動(dòng)取 （ 1.2）問(wèn)所得 x臨0和 v臨0，過(guò)阻尼振動(dòng)取 （ 2.3）問(wèn)所得 x過(guò)0和 v過(guò)0，且 x過(guò)0試問(wèn)臨界阻尼振動(dòng)與過(guò)阻尼振動(dòng)中哪一個(gè)可使振子更快地趨向零點(diǎn)？解：（ 1）由 t = 0 時(shí)的初始條件，可得x臨0，C臨1x臨0，C臨2C臨1v臨0（ 1.1）由上述兩式，可解得C臨1x臨0， C臨2x臨0v

24、臨0（ 3 分）（ 1.2）在x臨00 前提下，振子在有限時(shí)間內(nèi)不能降到x臨0 位置的條件是C臨1Ct0臨2t0即得所求為v臨0 x臨0（ 2 分）（ 2）由 t = 0 時(shí)的初始條件，可得CCx，22C22Cv22過(guò)1過(guò)2過(guò)00過(guò)10過(guò)2過(guò)0(C過(guò)1C過(guò)2)0 (C過(guò)1C過(guò)2)v過(guò)0（ 2.1）由上述兩式，可解得1x過(guò)0v過(guò)01x過(guò)0v過(guò)0C過(guò)1x過(guò)02,C過(guò)2222x（ 3 分）過(guò)02200（ 2.2）過(guò)阻尼通解可表述為t122x0過(guò)x過(guò)0e22t21 e01（ 2 分）2v過(guò)0 / x過(guò)0222200等號(hào)右邊第一項(xiàng)整體取正，且單調(diào)遞減，但不會(huì)達(dá)到零值。t = 0 時(shí)，方括號(hào)內(nèi)的算式其值為

25、正，而后其中左側(cè)項(xiàng)整體絕對(duì)值隨t 增大，右側(cè)項(xiàng)則為常量。如果在某個(gè) t 0 有限時(shí)刻，方括號(hào)算式其值為零，則對(duì)應(yīng) x過(guò)0 ，振子降到該位置。分兩種情況分析：I .v過(guò)00 ，則220為正，1220為正0（a）若221為正，則因11222200t 0 時(shí)，恒有t2221 e010222200II .v過(guò)00 ，則0222200此時(shí)必有C過(guò)2x過(guò)00（ a）設(shè)220101220（為正），則220，(220)v過(guò) 0(220) x過(guò) 0又因22012201，無(wú)論2201為正或?yàn)樨?fù)t 0 時(shí)，仍然恒有1 e2202 t22022010（b）設(shè)220101220（為負(fù)），則220，(220)xv過(guò) 0(

26、220)x過(guò) 0仍因11，故兩者均為負(fù)值，且左邊的絕對(duì)值小，右邊的絕對(duì)值大。故必定存在有限的某個(gè)t 0，使得1 e2202 t22022010左邊負(fù)值的絕對(duì)值增大到等于右邊負(fù)值的絕對(duì)值綜上所述，v過(guò) 0 取值范圍為v2過(guò) 0(20) x過(guò) 0（ 5 分）時(shí)，振子都能經(jīng)過(guò)有限時(shí)間降到x過(guò)0 位置。（2.3）為使 C過(guò)1v0 ，要求 v過(guò) 0 取值為2過(guò) 0(20) x過(guò) 0（ 3）此時(shí)tx臨C臨1C臨2t e(22 )t22ttxCe0 xe0e過(guò)過(guò)2過(guò) 0據(jù)（ 1.2）題文和（ 1.2）問(wèn)解答以及（1.1）解答，已有x臨00 ， C臨1x臨00C臨2C臨2x臨0 0v臨0 ， v臨0 x臨0即

27、x臨0v臨00據(jù)（ 2.3）題文，還有x過(guò)0 x臨00則必存在某個(gè)t 0 時(shí)刻，使得t t0 時(shí)有22 t22 tx過(guò)x過(guò)Cxe0e000臨1過(guò) 0Cx臨1臨0ttln x過(guò) 0 /22x00臨0進(jìn)而， t t 0 時(shí)必有t22CCtCxe0臨1臨2臨1過(guò) 0（ 5 分）考慮到前式中的et 為公共的衰減因子，故過(guò)阻尼振動(dòng)可使振子能更快地趨向零位置。17.（ 20 分）如圖 1 所示，在光滑的水平面上，平放著一個(gè)質(zhì)量為 M m 、半徑為 R的均勻圓環(huán)， 它的直徑兩端分別連接長(zhǎng)度同為 l 的輕細(xì)繩， 繩的另一端分別連接質(zhì)量同為 m 的小物塊。開(kāi)始時(shí)細(xì)繩伸直，環(huán)和物塊靜止。某時(shí)刻令兩小物塊在垂直繩的

28、水平方向上分別獲得方向相反、大小同為v0mRRllOmv0Mv0 的初速度。假設(shè)最終細(xì)繩能全部纏繞在環(huán)上，兩個(gè)小物塊貼在環(huán)邊與圖 1環(huán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，且過(guò)程中不發(fā)生小物塊與圓環(huán)的碰撞。（ 1）考慮到過(guò)程中繩的作用可能不損耗機(jī)械能，也可能損耗機(jī)械能，vm試求的取值范圍。muxl（ 2）假設(shè)系統(tǒng)從初態(tài)到末態(tài)的過(guò)程可分vu為兩個(gè)階段， 第一階段如圖2 所示， 圖中為R圓 環(huán) 轉(zhuǎn) 角 ， u 為 環(huán) 邊 轉(zhuǎn) 動(dòng) 速 度 ，R90oOOM0 角為細(xì)繩相對(duì)圓環(huán)轉(zhuǎn)角，v 為Rlu物塊相對(duì)圓環(huán)速度。據(jù)（1）問(wèn)，取繩不損耗muv機(jī)械能對(duì)應(yīng)的值，試導(dǎo)出兩個(gè)可求解u 、vvm的方程組（不必求解） ，方程組中不含參量M 、

29、圖 2圖 3m 和。（ 3）設(shè) lR ，將90o 代入（ 2）問(wèn)所得方程組，求解u 和 v ，答案用v0 表示。（ 4）第一階段結(jié)束于圖2 中的 達(dá) 90o ，而后進(jìn)入過(guò)程的第二階段，即繩連續(xù)地纏繞在環(huán)上。繼（3）問(wèn)所設(shè)；參考圖3 所示的過(guò)程態(tài)參量：x （尚未纏繞在環(huán)上的繩段長(zhǎng)度）、 u （環(huán)邊轉(zhuǎn)動(dòng)速度） 、 v （物塊相 對(duì)圓環(huán)速度） 。試求第二階段所經(jīng)時(shí)間T （答案用R、 v0 表示）。解：（ 1）因?qū)ΨQ(chēng)，環(huán)心O為不動(dòng)點(diǎn)，地面系中取O所在位置為參考點(diǎn)，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。由R M2mR2 lR mv0得末態(tài)圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度2 lR mv0M系統(tǒng)末態(tài)動(dòng)能小于或等于初態(tài)動(dòng)能，即有2m R201 M2

30、mR 221 mv2222 lR mv2222M2m R202 lRm v0mv2M22 lRmM2m R22m R2M2m R201M2ll2 R得mR2：繩損耗機(jī)械能：繩不損耗機(jī)械能（ 5 分）（ 2）將圖 2 中右上方的u 、 v 矢量化為 u 、 v ，將圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量化為。右上方小物塊相對(duì)地面系的速度vvRl，Ruvvul將 v 分解成與u 平行及垂直的分量v 、 v ，則有vv cosul cosl， vv sinl sin因uRlu Rll得vvcosuu cosv cos1cosuRRvv sinl u sin R也可將 v 分解成與 v 平行及垂直的分量v* 、 v*，則

31、有v*vRcoslvu cosl uvcosluRRv*Rsinusin每個(gè)小物塊相對(duì)地面系O點(diǎn)角動(dòng)量為RlmvRmvlmvRmvlmv*k ， kRm v cos1l cosulm vcoslukRR系統(tǒng)角動(dòng)量守恒方程為RMu2m R vcos1l cosul vcoslu2 Rl mv0RRRu2R 1l coslcosluRcosl v2 Rl v0（ 1）RR系統(tǒng)機(jī)械能守恒方程為01 Mu221 m v*2v*221 mv222202u22vcosluu2 sin2R2v2（ 2）22）（或?yàn)?u22v cos1l cosuv sinl usin2v2（ 2）0RR方程（ 1）（2）聯(lián)

32、立，即成可求解u 、 v 的方程組。（ 6 分）（ 3）取lR ，6 ，90o ， cos0 ， sin1（ 2）問(wèn)解答中（1）、（ 2）式簡(jiǎn)化為22205uv2v0 ， 5u2v uvv31得解為uv0 ， vv0（ 2 分）102（ 4）先將6 ，90o ， cos0 ， sin1代入（ 2）問(wèn)解答中的（1）、（ 2）式，得l 23RuRulvRl v0R(1)3u22v0vl uu22R(2)考慮到圖2 中 l 已由圖 3 中的 xl 代替，先將(1) 、 (2) 式等號(hào)左邊的l 換成 x ；但因 (1) 、(2) 等號(hào)右邊的量為系統(tǒng)初態(tài)量，其中l(wèi) 不可用 x 取代，而應(yīng)以（3）問(wèn)所設(shè) lR 用 R取代，即得x2xx22x224uv R2R或改述為2v0 ，42u R2v uvv0 Ru2vv，u222v uv2x2v ，4R00兩式聯(lián)立，消去u ，得2222v0v22v0v vvv04v22v 2v 2v24v 22 v20000解得vx v2R取圓環(huán)參考系