空間坐招投標(biāo)系及空間坐招投標(biāo)系在立體幾何中應(yīng)用有答案

1、-. z一空間直角坐標(biāo)系如圖1，為了確定空間點(diǎn)的位置，我們建立空間直角坐標(biāo)系：以正方體為載體，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)OA，OC，OD的方向?yàn)檎较?，以線(xiàn)段OA，OC，OD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：*軸、y軸、z軸，這時(shí)我們說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 ，其中點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，*軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為*Oy平面、zO*平面、yOz平面，通常建立的坐標(biāo)系為 右手直角坐標(biāo)系 ，即 右手拇指 指向*軸的正方向，食指 指向y軸的正方向， 中指指向z軸的正方向二空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可用有序?qū)崝?shù)組(*，y，z)來(lái)表示，有序?qū)崝?shù)組(*，y，z)

2、叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(*，y，z)，其中*叫做點(diǎn)M的 橫坐標(biāo) ，y叫做點(diǎn)M的 縱坐標(biāo) ，z叫做點(diǎn)M的 豎坐標(biāo) 例1在空間直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)M(6，2,4)例2長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，|AB|a，|BC|b，|CC1|c，將此長(zhǎng)方體放到空間直角坐標(biāo)系中的不同位置(如圖3)，分別寫(xiě)出長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)變式1：棱長(zhǎng)為2的正方體，將此正方體放到空間直角坐標(biāo)系中的不同位置，分別寫(xiě)出幾何體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。2.底面為邊長(zhǎng)為4的菱形，高為5的棱柱，將此幾何體放到空間直角坐標(biāo)系中的不同位置分別寫(xiě)出幾何體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。3. 在棱長(zhǎng)均為2a的正四棱錐PABCD中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐

3、標(biāo)系，(1)寫(xiě)出正四棱錐PABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)寫(xiě)出棱PB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)解：連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，PABCD為正四棱錐，且棱長(zhǎng)均為2a.四邊形ABCD為正方形，且PO平面ABCD.OAeq r(2)a.POeq r(PA2OA2)eq r(2a2r(2)a2)eq r(2)a.以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在的直線(xiàn)分別為*軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系1正四棱錐PABCD中各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(eq r(2)a,0,0)，B(0，eq r(2)a,0)，C(eq r(2)a,0,0)，D(0，eq r(2)a,0)，P(0,0，eq r(2)a)(2)M為棱PB的中點(diǎn)，

4、由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得M(eq f(00,2)，eq f(r(2)a0,2)，eq f(0r(2)a,2)，即M(0，eq f(r(2),2)a，eq f(r(2),2)a) 例3在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,1,4)(1)求點(diǎn)P關(guān)于*軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于*Oy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，1，4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)由于點(diǎn)P關(guān)于*軸對(duì)稱(chēng)后，它在*軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1(2，1，4)(2)由于點(diǎn)P關(guān)于*Oy平面對(duì)稱(chēng)后，它在*軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2(2,1，4)(3)設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P3

5、(*，y，z)，則點(diǎn)M為線(xiàn)段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得*22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)變式：1.寫(xiě)出點(diǎn)P(6，2，7)在*Oy面，yOz面，*Oz面上的投影的坐標(biāo)以及點(diǎn)P關(guān)于各坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)P在*Oy平面、yOz平面、*Oz平面上的投影分別為點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)P關(guān)于*Oy平面、yOz平面、*Oz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，C，由PA平面*Oy，PB平面yOz，PC平面*Oz及坐標(biāo)平面的特征知，點(diǎn)A(6，2,0)，點(diǎn)B(0，2，7)，點(diǎn)C(6,0，7)；根據(jù)點(diǎn)P關(guān)于各坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征知，點(diǎn)A(6，2,7)，B(6，2，7)，C(

6、6,2，7)2.在棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱ABCA1B1C1中，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并寫(xiě)出正三棱柱ABCA1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)正解取BC，B1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，連線(xiàn)OA，OO1，根據(jù)正三棱柱的幾何性質(zhì)，OA，OB，OO1兩兩互相垂直，且|OA|eq f(r(3),2)2eq r(3)，以O(shè)A，OB，OO1所在的直線(xiàn)分別為*軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，如圖5所示，則正三棱柱ABCA1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(eq r(3)，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0)，A1(eq r(3)，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，1,2)三空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1. 直線(xiàn)的方向

7、向量與平面的法向量(1) 直線(xiàn)l上的向量e以及與e共線(xiàn)的向量叫做直線(xiàn)l的方向向量(2) 如果表示非零向量n的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)垂直于平面，則稱(chēng)向量n垂直于平面，記作n.此時(shí)把向量n叫做平面的法向量2. 線(xiàn)面關(guān)系的判定直線(xiàn)l1的方向向量為e1(a1，b1，c1)，直線(xiàn)l2的方向向量為e2(a2，b2，c2)，平面的法向量為n1(*1，y1，z1)，平面的法向量為n2(*2，y2，z2)(1) 如果l1l2，則e1e2e2e1a2a1，b2b1，c2c1(2) 如果l1l2，則e1e2e1e20a1a2b1b2c1c20(3) 假設(shè)l1，則e1n1e1n10a1*1b1y1c1z10(4) 假設(shè)l1

8、，則e1n1e1kn1a1k*1，b1ky1，c1kz1(5) 假設(shè)，則n1n2n1kn2*1k*2，y1ky2，z1kz2(6) 假設(shè)，則n1n2n1n20*1*2y1y2z1z203. 利用空間向量求空間角(1) 兩條異面直線(xiàn)所成的角圍：兩條異面直線(xiàn)所成的角的取值圍是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2).向量求法：設(shè)直線(xiàn)a、b的方向向量為a、b，其夾角為，則有cos|cos|.(2) 直線(xiàn)與平面所成的角圍：直線(xiàn)和平面所成的角的取值圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).向量求法：設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線(xiàn)與平面所成的角為，a與u的夾角

9、為，則有sin|cos|(3) 二面角二面角的取值圍是0，二面角的向量求法：() 假設(shè)AB、CD分別是二面角-l-的兩個(gè)面與棱l垂直的異面直線(xiàn)，則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖)() 設(shè)n1、n2分別是二面角-l-的兩個(gè)面、的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖)題型1空間向量的根本運(yùn)算例1空間三點(diǎn)A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)設(shè)aeq o(AB,sup6()，beq o(AC,sup6().(1) 求a和b的夾角；(2)假設(shè)向量kab與ka2b互相垂直，求k的值解：A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)

10、，aeq o(AB,sup6()，beq o(AC,sup6()，a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)coseq f(ab,|a|b|)eq f(100,r(2)r(5)eq f(r(10),10)，a和b的夾角為arccoseq blc(rc)(avs4alco1(f(r(10),10).(2)kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100，解得keq f(5,2)或2.題型2空間中的平行與垂直例2如下圖，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，ABeq

11、 r(2)，AF1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)求證：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.證明：(1) 建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ACBDN，連結(jié)NE.則Neq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，0)，E(0，0，1)，A(eq r(2)，eq r(2)，0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1).eq o(NE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1)，eq o(AM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),

12、2)，f(r(2),2)，1).eq o(NE,sup6()eq o(AM,sup6()且NE與AM不共線(xiàn) NEAM. NE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(2) 由(1)知eq o(AM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1)， D(eq r(2)，0，0)，F(xiàn)(eq r(2)，eq r(2)，1)，eq o(DF,sup6()(0，eq r(2)，1)，eq o(AM,sup6()eq o(DF,sup6()0， AMDF.同理AMBF. 又DFBFF， AM平面BDF.題型3空間的角的計(jì)算例3(2013錫常鎮(zhèn)二模)

13、如圖，圓錐的高PO4，底面半徑OB2，D為PO的中點(diǎn)，E為母線(xiàn)PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面圓周上一點(diǎn)，滿(mǎn)足EFDE.(1) 求異面直線(xiàn)EF與BD所成角的余弦值；(2) 求二面角F-OD-E的正弦值解：(1) 以O(shè)為原點(diǎn)，底面上過(guò)O點(diǎn)且垂直于OB的直線(xiàn)為*軸，OB所在的線(xiàn)為y軸，OP所在的線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)設(shè)F(*0，y0，0)(*00，y00)，且*eq oal(2,0)yeq oal(2,0)4，則eq o(EF,sup6()(*0，y01，2)，eq o(DE,sup6()(0，1，0)， EFDE，即eq o(E

14、F,sup6()eq o(DE,sup6()，則eq o(EF,sup6()eq o(DE,sup6()y010，故y01. F(eq r(3)，1，0)，eq o(EF,sup6()(eq r(3)，0，2)，eq o(BD,sup6()(0，2，2)設(shè)異面直線(xiàn)EF與BD所成角為，則coseq blc|rc|(avs4alco1(f(o(EF,sup6()o(BD,sup6(),|o(EF,sup6()|o(BD,sup6()|)eq f(4,r(7)2r(2)eq f(r(14),7).(2) 設(shè)平面ODF的法向量為n1(*1，y1，z1)，則eq blc(avs4alco1(n1o(OD

15、,sup6()，,n1o(OF,sup6()，)即eq blc(avs4alco1(z10，,r(3)*1y10.)令*11，得y1eq r(3)，平面ODF的一個(gè)法向量為n1(1，eq r(3)，0)設(shè)平面DEF的法向量為n2(*2，y2，z2)，同理可得平面DEF的一個(gè)法向量為n2eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(r(3),2).設(shè)二面角F-OD-E的平面角為，則|cos|eq blc|rc|(avs4alco1(f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,r(7)eq f(r(7),7). sineq f(r(42),7).翻折問(wèn)題例4. (2013第二次調(diào)研)如圖甲

16、，在平面四邊形ABCD中，A45，C90，ADC105，ABBD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC(如圖乙)，設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)(1) 求證： DC平面ABC；(2) 求BF與平面ABC所成角的正弦值；(3) 求二面角BEFA的余弦值解：(1) 平面ABD平面BDC，又 ABBD， AB平面BDC，故ABDC，又 C90， DCBC，BCABC平面ABC，DC平面ABC，故DC平面ABC.(2) 如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD所在的直線(xiàn)為*軸建立空間直角坐標(biāo)系如下列圖示，設(shè)CDa，則BDAB2a，BCeq r(3)a，AD2eq r(2)a，可得B(0，0，0)

17、，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)a，f(r(3),2)a，0)，F(xiàn)(a，0，a)，eq o(CD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a，f(r(3),2)a，0)，eq o(BF,sup6()(a，0，a)設(shè)BF與平面ABC所成的角為，由(1)知DC平面ABC， coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(o(CD,sup6()o(BF,sup6(),|o(CD,sup6()|o(BF,sup6()|)eq f(f(1,2)a2,ar(2)a)eq f(r(2),4)， s

18、ineq f(r(2),4).(3) 由(2)知 FE平面ABC, 又 BE平面ABC，AE平面ABC， FEBE，F(xiàn)EAE，AEB為二面角BEFA的平面角 .在AEB中，AEBEeq f(1,2)ACeq f(1,2)eq r(AB2BC2)eq f(r(7),2)a， cosAEBeq f(AE2BE2AB2,2AEBE)eq f(1,7)，即所求二面角BEFA的余弦為eq f(1,7).課后穩(wěn)固練習(xí)：1.(2013卷)如下圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1) 求異面直線(xiàn)A1B與C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1與平面ABA1

19、所成二面角的正弦值解：(1) 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)*yz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以eq o(A1B,sup6()(2，0，4)，eq o(C1D,sup6()(1，1，4)因?yàn)閏oseq o(A1B,sup6()，eq o(C1D,sup6()eq f(o(A1B,sup6()o(C1D,sup6(),|o(A1B,sup6()|o(C1D,sup6()|)eq f(18,r(20)r(18)eq f(3r(10),10)，所以異面直線(xiàn)A1B與C1D所成角的余弦值為eq f(3

20、r(10),10).(2) 設(shè)平面ADC1的法向量為n1(*，y，z)，因?yàn)閑q o(AD,sup6()(1，1，0)，eq o(AC1,sup6()(0，2，4)，所以n1eq o(AD,sup6()0，n1eq o(AC1,sup6()0，即*y0且y2z0，取z1，得*2，y2，所以，n1(2，2，1)是平面ADC1的一個(gè)法向量取平面AA1B的一個(gè)法向量為n2(0，1，0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos|eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(2,r(9)r(1)eq f(2,3)，得sineq f(r(5),3).因此，平面ADC1與平面ABA1所成

21、二面角的正弦值為eq f(r(5),3).2. (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)如下圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn)，AA1ACCBeq f(r(2),2)AB.(1) 證明：BC1平面A1CD；(2) 求二面角DA1CE的正弦值(1) 證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2) 由ACCBeq f(r(2),2)AB得ACBC. 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(CA,sup6()的方向?yàn)?軸正方向，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系C*yz.設(shè)CA2，則D(1，1，

22、0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，eq o(CD,sup6()(1，1，0)，eq o(CE,sup6()(0，2，1)，eq o(CA1,sup6()(2，0，2)設(shè)n(*1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則eq blc(avs4alco1(no(CD,sup6()0，,no(CA1,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(*1y10，,2*12z10.)可取n(1，1，1)同理，設(shè)m為平面A1CE的法向量，則eq blc(avs4alco1(mo(CE,sup6()0，,mo(CA1,sup6()0.)可取m(2，1，2)從而cosn，meq f(nm,|n|

23、m|)eq f(r(3),3)，故sinn，meq f(r(6),3).即二面角D-A1C-E的正弦值為eq f(r(6),3).3. (2013)如下圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACDeq f(,3)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AFPB.(1) 求PA的長(zhǎng)；(2) 求二面角B-AF-D的正弦值解：(1) 如圖，連結(jié)BD交AC于O，因?yàn)锽CCD，即BCD為等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(OB,sup6()、eq o(OC,sup6()、eq o(AP,sup6()的方向分別為*軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O*yz，

24、則OCCDcoseq f(,3)1，而AC4，得AOACOC3.又ODCDsineq f(,3)eq r(3)，故A(0，3，0)，B(eq r(3)，0，0)，C(0，1，0)，D(eq r(3)，0，0)因?yàn)镻A底面ABCD，可設(shè)P(0，3，z)，由F為PC邊中點(diǎn)，得Feq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(z,2)，又eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，2，f(z,2)，eq o(PB,sup6()(eq r(3)，3，z)，因AFPB，故eq o(AF,sup6()eq o(PB,sup6()0，即6eq f(z2,2)0，z2eq

25、r(3)(舍去2eq r(3)，所以|eq o(PA,sup6()|2eq r(3).(2) 由(1)知eq o(AD,sup6()(eq r(3)，3，0)，eq o(AB,sup6()(eq r(3)，3，0)，eq o(AF,sup6()(0，2，eq r(3)設(shè)平面FAD的法向量為n1(*1，y1，z1)，平面FAB的法向量為n2(*2，y2，z2)由n1eq o(AD,sup6()0，n1eq o(AF,sup6()0，得eq blc(avs4alco1(r(3)*13y10，,2y1r(3)z10，)因此可取n1(3，eq r(3)，2)由n2eq o(AB,sup6()0，n2e

26、q o(AF,sup6()0，得eq blc(avs4alco1(r(3)*23y20，,2y2r(3)z20，)故可取n2(3，eq r(3)，2)從而向量n1，n2的夾角的余弦值為cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,8).故二面角B-AF-D的正弦值為eq f(3r(7),8).4. (2013調(diào)研)在三棱錐SABC中，底面是邊長(zhǎng)為2eq r(3)的正三角形，點(diǎn)S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點(diǎn)，側(cè)棱SB和底面成45角(1) 假設(shè)D為側(cè)棱SB上一點(diǎn)，當(dāng)eq f(SD,DB)為何值時(shí)，CDAB；(2) 求二面角S-BC-A的余弦值大小解：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OB為

27、*軸，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-*yz.由題意知SBO45，SO3.O(0，0，0)，C(0，eq r(3)，0)，A(0，eq r(3)，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)(1) 設(shè)eq o(BD,sup6()eq o(BS,sup6()(01)，則eq o(OD,sup6()(1)eq o(OB,sup6()eq o(OS,sup6()(3(1)，0，3)，所以eq o(CD,sup6()(3(1)，eq r(3)，3)因?yàn)閑q o(AB,sup6()(3，eq r(3)，0)，CDAB，所以eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6()9(1)30，解得

28、eq f(2,3).故eq f(SD,DB)eq f(1,2)時(shí)， CDAB.(2) 平面ACB的法向量為n1(0，0，1)，設(shè)平面SBC的法向量n2(*，y，z)，則n2eq o(SB,sup6()0，n2eq o(SC,sup6()0，則eq blc(avs4alco1(3*3z0，,r(3)y3z0，)解得eq blc(avs4alco1(*z，,yr(3)z，)取n2(1，eq r(3)，1)，所以cosn1，n2eq f(r(3)01011,r(1212r(3)2)1)eq f(r(5),5).又顯然所求二面角的平面角為銳角，故所求二面角的余弦值的大小為eq f(r(5),5).5.

29、 在直四棱柱ABCDeq avs4al()-A1B1C1D1中，AA12，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E、F分別是棱B1B、DA的中點(diǎn)(1) 求二面角D1eq avs4al()-AE-eq avs4al()C的大小；(2) 求證：直線(xiàn)BF平面AD1E.(1) 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為*、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖則相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，eq o(ED1,sup6()(0，0，2)(1，1，1)(1，1，1)，eq o(AE,sup6()(1，1，1)(1，0，0)(0，1，1)，eq o(AC,sup6(

30、)(0，1，0)(1，0，0)(1，1，0)設(shè)平面AED1、平面AEC的法向量分別為m(a，b，1)，n(c，d，1)由eq blc(avs4alco1(o(ED1,sup6()m0，,o(AE,sup6()m0)eq blc(avs4alco1(ab10，,b10)eq blc(avs4alco1(a2，,b1，)由eq blc(avs4alco1(o(AC,sup6()n0，,o(AE,sup6()n0)eq blc(avs4alco1(cd0，,d10)eq blc(avs4alco1(c1，,d1，)m(2，1，1)，n(1，1，1)，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(

31、211,r(6)r(3)0，二面角D1eq avs4al()AEeq avs4al()C的大小為90.(2) 證明：取DD1的中點(diǎn)G，連結(jié)GB、GF.E、F分別是棱BB1、AD的中點(diǎn)，GFAD1，BED1G且BED1G，四邊形BED1G為平行四邊形，D1EBG.又D1E、D1A平面AD1E，BG、GF平面AD1E，BG平面AD1E，GF平面AD1E.GF、GB平面BGF，平面BGF平面AD1E.BF平面AD1E，直線(xiàn)BF平面AD1E.(或者：建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量來(lái)證明直線(xiàn)BF平面AD1E，亦可)6. (2013調(diào)研)三棱柱ABCA1B1C1在如下圖的空間直角坐標(biāo)系中，AB2，AC4，

32、A1A3.D是BC的中點(diǎn)(1) 求直線(xiàn)DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1-A1D-C1的正弦值解：(1) 由題意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).eq o(A1D,sup6()(1，2，3)，eq o(A1C1,sup6()(0，4，0). 設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為n(*，y，z)neq o(A1D,sup6()*2y3z0，neq o(A1C1,sup6()4y0. *3z，y0.令z1，得*3.n(3，0，1)設(shè)直線(xiàn)DB1與平面A1C1D所成角為，eq o(DB

33、1,sup6()(1，2，3)， sin|coseq o(DB1,sup6()n|eq f(310213,r(10)r(14)eq f(3r(35),35).(2) 設(shè)平面A1B1D的一個(gè)法向量為m(a，b，c)eq o(A1B1,sup6()(2，0，0)，meq o(A1D,sup6()a2b3c0，meq o(A1B1,sup6()2a0， a0，2b3c.令c2，得b3.m(0，3，2)設(shè)二面角B1A1DC1的大小為， |cos|cos|m，n|eq f(|mn|,|m|m|)eq f(|033021|,r(13)r(10)eq f(r(2),r(65)，則sineq f(3r(7),

34、r(65)eq f(3r(455),65). 二面角B1A1DC1的正弦值為eq f(3r(455),65). 7. (2013二模)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC，且ABACA1B2.(1) 求棱AA1與BC所成的角的大小；(2) 在棱B1C1上確定一點(diǎn)P，使二面角PABA1的平面角的余弦值為eq f(2r(5),5).解：(1) 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，eq o(AA1,sup6()(0，2，2)，eq o(BC,sup6()eq o(B1C1,sup6()(2，2，0

35、)coseq o(AA1,sup6()，eq o(BC,sup6()eq f(o(AA1,sup6()o(BC,sup6(),|o(AA1,sup6()|o(BC,sup6()|)eq f(4,r(8)r(8)eq f(1,2)，故AA1與棱BC所成的角是eq f(,3).(2) P為棱B1C1中點(diǎn)，設(shè)eq o(B1P,sup6()eq o(B1C1,sup6()(2，2，0)，則P(2，42，2)設(shè)平面PAB的法向量為n1(*，y，z)，eq o(AP,sup6()(2，42，2)，則eq blc(avs4alco1(n1o(AP,sup6()0，,n1o(AB,sup6()0.)eq bl

36、c(avs4alco1(*2yyz0，,2y0.)eq blc(avs4alco1(z*，,y0.)故n1(1，0，)，而平面ABA1的法向量是n2(1，0，0)，則cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(1,r(12)eq f(2r(5),5)，解得eq f(1,2)，即P為棱B1C1中點(diǎn)，其坐標(biāo)為P(1，3，2)近六年高考題1. 【2010高考理第16題】(14分)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求證：AF平面BDE；(2)求證：CF平面BDE；(3)求二面角A-BE-D的大小【答案】設(shè)AC與BD交與點(diǎn)G。因?yàn)镋F/AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF/平面EG， 因?yàn)槠矫鍮DE，AF平面BDE， 所以AF/平面BDE.II因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD. 如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-.則C0，0，0，A，0，B0，0.所以，.所以,所以,.所以BDE.(III) 由II知，是平面BDE的一個(gè)法向量.設(shè)平面ABE的法向量,則，. 即所以且 令則. 所以. 從而。 因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以二面角的大小為.2【2011高考理第16題】共14