無錫一中高三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總匯

1、知識點(diǎn)總匯一集合、常用邏輯用語1注意集合中的代表元素（值域）、（定義域）與（圖象）是不同意義的集合，但前兩個集合可以作交并補(bǔ)運(yùn)算2領(lǐng)會集合有關(guān)符號的意義(1) 元素與集合之間用；集合與集合之間用，如 ；(2)要注意與的區(qū)別3空集空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集；解題時要注意討論解集為空集的可能性4集合中元素的互異性這一點(diǎn)容易被忽視，杜絕出錯的方法是求解后檢驗(yàn)，如1，3，求x的值（答案：x1）5子集的個數(shù)，真子集的個數(shù)，非空真子集的個數(shù)6Venn的圖運(yùn)用Venn圖既具直觀性又具整體性7邏輯聯(lián)結(jié)詞或、且、非與真值表（或，一真即真；且一假即假），要準(zhǔn)確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”的含義，

2、防止混淆.8四種命題命題的四種形式（原命題、逆命題、否命題、逆否命題）；原命題與逆否命題等價；逆命題和否命題等價；注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”.9充分條件和必要條件（1）的充分不必要條件是，即是的充分不必要條件；（2）利用等價性命題判斷充要條件：當(dāng)A和B等價（就是A是B的充要條件）時，“A是C的什么條件”就是“B是C的的什么條件”， 或利用集合來判斷充要條件：若，則是的充分條件；若AB，則是的充分不必要條件；（3）證明充要性大多情況應(yīng)分開證明，應(yīng)分別證明充分性與必要性.二函數(shù)解決函數(shù)的基本思路是：以定義域?yàn)榍疤幔瑔握{(diào)性為依據(jù)，發(fā)揮圖象的直觀作用，注意奇偶性，向求函數(shù)值域（或值）轉(zhuǎn)化1定義

3、域（列等價不等式組，最后用區(qū)間或集合表示）：分母不為0；偶次根式的被開方數(shù)0；對數(shù)的真數(shù)0，底數(shù)0且1；中；中；關(guān)于定義域有三種類型問題，根據(jù)解析式有意義求定義域，求復(fù)合函數(shù)定義域，實(shí)際問題的定義域?qū)τ趯?shí)際問題、幾何問題的變量范圍應(yīng)考慮本身屬性，如零件的個數(shù)反映在定義域上為正整數(shù)，三角形邊長反映在定義域上是正數(shù)等2、范圍、值域：將問題化簡（比如換元，但要注意換元后新變量的取值范圍），利用基本不等式、圖象或求導(dǎo)對于方程有解（沒有要求幾個解）求參數(shù)范圍問題可以通過分離變量法轉(zhuǎn)化為“參數(shù)在函數(shù)值域內(nèi)取值”3單調(diào)性：定義的含義，圖象的特征證明方法：用定義或用導(dǎo)數(shù)注意：有間斷的單調(diào)區(qū)間不能寫成“”的形式

4、，如函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間應(yīng)寫成4奇偶性：定義（其中勿忘定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）， 圖象（奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱、偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱），證明非奇非偶函數(shù)通過特殊函數(shù)值加以否定是有力的方法5指數(shù)、對數(shù)函數(shù)：冪的運(yùn)算律、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、換底公式，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題時尤其要注意對數(shù)函數(shù)的定義域與指數(shù)函數(shù)的值域這些隱含條件的挖掘此外，還應(yīng)注意底數(shù)a對單調(diào)性的影響（分類討論）要能夠通過指對數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，判斷出y2x的圖象可由y62x圖象平移而得到6冪函數(shù)：在第四象限無圖象，熟悉在第一象限內(nèi)的性質(zhì)，通過將冪函數(shù)化為根式形式，判斷它的奇偶性，進(jìn)而推斷它在其它象限的性質(zhì)7函數(shù)與方程：函數(shù)零點(diǎn)的概念，函數(shù)

5、零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，零點(diǎn)存在定理（閱讀書本）注意數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用如，求a的值，使得函數(shù)yax的圖象和y的圖象有三個公共點(diǎn)的求解通過轉(zhuǎn)化為方程axx0，aR；a有兩個非零解，即有兩個非零解，通過畫出三次函數(shù)的圖象得出a8函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱； 函數(shù)圖象關(guān)于（a，b）中心對稱；函數(shù)的周期為2a（a非零），函數(shù)的周期為注意：（1）如果一個函數(shù)有兩條都垂直于x軸的對稱軸，或兩個對稱點(diǎn)（連線垂直y軸）或一個對稱點(diǎn)一個對稱軸，它是一個周期函數(shù)，可用三角函數(shù)來的圖象幫助分析、思考; （2）區(qū)分同一函數(shù)圖象的軸對稱與兩個函數(shù)圖象關(guān)于某直線對稱的差異（前者取平均值，后者取相等值，即“一均，二等”）

6、如：函數(shù)，若，則的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱 9證明：（1）周期：；（2）奇偶性：（或）；（3）單調(diào)性； （定義或?qū)?shù)）; （4）對稱性（曲線的對稱化歸為點(diǎn)的對稱：設(shè)曲線上任一點(diǎn)，寫出其對稱點(diǎn)，證明對稱點(diǎn)在曲線上）（5）抽象函數(shù)的性質(zhì)證明（賦值法）10圖象變換（1）平移變換；（2）對稱變換；（3）翻折變換；（4）伸縮變換比如，；yx22x3；yx22x3；11關(guān)注兩大熱點(diǎn)：（1）含參數(shù)的二次函數(shù)在某區(qū)間上最值的討論：從開口方向、對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系出發(fā)進(jìn)行討論；（2）二次方程根的分布：以函數(shù)圖象為依托，把方程問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題求解，尤其要注意判別式、對稱軸位置及邊界函

7、數(shù)值的限制三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1了解導(dǎo)數(shù)的意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線的斜率）； 物理意義（瞬時速度，加速度）2要熟悉下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、；掌握函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；會求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大（?。┲导伴]區(qū)間上的最大（?。┲嫡f明：（1）可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，則；（2）極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；求極值時，需列表檢查的根的左右值的符號，從而判斷是否為極值，是極大值還是極小值；（3）極值與最值的區(qū)別極值是局部性的，最值是全局性的極值不一定是最值（邊界值可能是最值），最值也不一定是極值（最值可能是邊界上值）；（4）求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的方法：列表比較極值與區(qū)間

8、端點(diǎn)的函數(shù)值的大?。唬?）求某曲線的切線方程時注意判斷已知點(diǎn)是否是切點(diǎn)，若不是則設(shè)切點(diǎn) 4函數(shù)的極值點(diǎn)只要有一個落在區(qū)間內(nèi)也就是導(dǎo)數(shù)有正、有負(fù)時，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不具有單調(diào)性，否則是單調(diào)函數(shù)四、三角函數(shù)1三角函數(shù)的定義，弧度制下弧長公式和扇形面積公式()特殊角的三角函數(shù)值要記牢坡度、仰角、俯角、方位角：通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(或叫做坡比)； 朝上看時,視線與水平面夾角為仰角；朝下看時，視線與水平面夾角為俯角；在水平面上，從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角為方位角2三角變換：誘導(dǎo)公式；同角三角函數(shù)關(guān)系； 兩角和與差的三角函數(shù)；倍角公式（升冪與降冪公式常考）輔助角公式在求單

9、調(diào)區(qū)間、對稱中心、對稱軸、最值起著重要作用3三角化簡的通性通法（切化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角，異角化同角，異名化同名，高次化低次，互為余角或互為補(bǔ)角的組合，齊次式的處理）. 三角公式的靈活運(yùn)用：與，平方相加整體處理，移項(xiàng)平方相加消元注：齊次式，如已知求、的值；此時要注意常數(shù)“1”的代換，在三角的恒等變形中，要特別注意角的拆分與組合，如： ，等求值題要注意隱含條件的發(fā)掘?qū)τ趦山獾娜∩?，可通過三角函數(shù)圖象解決練習(xí)：已知中求4三角函數(shù)性質(zhì)：單調(diào)區(qū)間的求法；對稱軸與對稱點(diǎn)的求法；注意正切函數(shù)的定義域以及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性5三角函數(shù)圖象變換：平移變換與周期變換僅對x作變換，若x的系

10、數(shù)不是1，必須將系數(shù)提出再進(jìn)行圖象變換求三角函數(shù)圖象的解析式時盡可能利用最值對應(yīng)的點(diǎn)，若最值點(diǎn)沒有直接給出，則盡可能找出來6在ABC中，內(nèi)角和A+B+C=180；正弦定理:2R=；余弦定理：a=b+c-2bc， ；面積公式：；內(nèi)切圓半徑r=；大邊對大角，兩邊之和大于第三邊注意選擇化角為邊還是化邊為角 練習(xí)： 若A、B是銳角三角形ABC的兩個內(nèi)角，則點(diǎn)P（）在第 象限(提示：AB AB) 已知，為銳角，求的值（提示:()，根據(jù)正弦曲線可以判讀出為鈍角）ABC中A、B、C所對的邊為a,b,c，且，求的值（提示：將展開化為邊，再由余弦定理求出cosB）7注意將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形8三角函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注

11、意單調(diào)區(qū)間的重復(fù)間隔和角的范圍三角不等式的求解應(yīng)通過三角函數(shù)的圖像來解，如直線斜率小于1，則直線的傾斜角范圍是什么？可以通過正切曲線求出范圍是 0，)(，)五、平面向量1向量加、減法及其幾何表示：利用三角形法則或平行四邊形法則，（首尾相連）；（同一起點(diǎn)，差向量指向被減向量終點(diǎn)）2有關(guān)概念：向量平行（又稱共線）； 方向上的單位向量；與共線的單位向量；向量垂直（不研究的垂直問題）；規(guī)定與任意向量平行；規(guī)定與任意向量的數(shù)量積為0直線ykxb的一個方向向量是3平面向量的分解：，其中、是不共線的兩個非零向量（詳見平面向量基本定理），這種唯一性分解表現(xiàn)在有序?qū)崝?shù)對（x，y）是唯一的若、是軸、軸正方向上的單

12、位向量時，且，則可記作 4向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算：對于兩個非零向量, ，根據(jù)數(shù)乘向量，有（也滿足這個式子）； ；、共線存在，使且兩向量有公共點(diǎn)5數(shù)量積：6ABC中線AD對應(yīng)的向量更一般化，A不再直線BC上，tk ，則D、B、C共線的充要條件是tk1說明：（1）要得到兩向量的夾角，需要將向量平移至同一個起點(diǎn)；（2）數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，可正可負(fù)可為零，兩個非零向量的數(shù)量積的符號是由其夾角的余弦值決定的；（3）投影：在方向上的投影為；（4），這里（x，y）（5）判斷與的夾角是鈍角還是銳角，只要看與0的大小關(guān)系，但要特別注意：銳角應(yīng)為且不共線（排除同向共線）；鈍角應(yīng)為且不共線（排除反向共線）練習(xí)：以下

13、命題，其中正確的為_ 若，則; 在中，則； 若 則 ; 若和是非零向量，則 ； ; 若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使成立； 設(shè)和是平面內(nèi)的兩個已知向量，則對平面內(nèi)的任意向量，存在唯一的一組實(shí)數(shù)使成立；中有一個點(diǎn)G，使，則G是的重心，反之也成立；若非零向量、的夾角為，則為銳角的充要條件為；（答案是，你能推證出嗎？）六、數(shù)列1等差、等比數(shù)列的基本概念和性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列定義（d為常數(shù)）（q為非零常數(shù)）通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和當(dāng)時，；當(dāng)時， 性質(zhì)成等差數(shù)列成等比數(shù)列中項(xiàng)A是的等差中項(xiàng)成等差數(shù)列又G是的等比中項(xiàng)成等比數(shù)列又注意：（1）等比數(shù)列中的項(xiàng)、公比都不為0；關(guān)注新形成的等比數(shù)列的公比（2）在等比數(shù)列求和時要注

14、意對公比q的討論（3）注意等差中項(xiàng)的應(yīng)用，如等差數(shù)列中當(dāng)n為奇數(shù)時2數(shù)列的四種求和方法：分組求和，通過拆分，將一個數(shù)列變?yōu)閮蓚€數(shù)列之和，；錯位相減（其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列）；裂項(xiàng)相消（如）；逆序相加請你自己對每一種方法舉一個求和的例子3遞推數(shù)列：（1）與混合出現(xiàn)（全化為或全化為），一般是用退一步或進(jìn)一步的辦法，求出一般性表達(dá)式后注意驗(yàn)證，即關(guān)注變形后n的范圍；（2）簡單變形后化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，如同除某式；（3）累加與累乘：（4）待定系數(shù)法（如）4證明等差、等比數(shù)列的方法：（1）用定義；（2）用 證等差；用a10，證等比5要注意觀察規(guī)律，從前幾項(xiàng)中找出規(guī)律，再加以證明6數(shù)列不等式的證明

15、：（1）利用數(shù)列單調(diào)性（需證明），轉(zhuǎn)化為最值問題；（2）應(yīng)用放縮，原則是放縮到能求和的形式（如放縮后裂項(xiàng)相消，或放縮后變?yōu)榈炔罨虻缺葦?shù)列求和），但要注意放縮的程度；（3）數(shù)列的單調(diào)性和函數(shù)的單調(diào)性是相通的，但也有區(qū)別如數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann2n，該數(shù)列是遞增的，則滿足，而不是滿足1用相當(dāng)于單調(diào)函數(shù)定義的作差法an1an0比較簡單7應(yīng)用題：單利、復(fù)利的計算：等額還貸有現(xiàn)值法與終值法兩種分析方式七、不等式1解不等式：一定要關(guān)注定義域，列不等式組（如定義域、單調(diào)性等問題），變形，最終通過數(shù)軸或圖象寫出解集2解一元二次不等式的討論：依據(jù)二次函數(shù)圖像，先討論二次項(xiàng)系數(shù)，再討論，再討論兩根大小，最后整

16、合3比較大小常用方法：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性；（6）尋找中間量如0或1 4基本不等式的使用：一正、二定、三相等；注意連續(xù)兩次使用時取等號的條件5絕對值不等式：基本思想是去絕對值，（如:解不等式或，但恒成立不能用此方法）、平方、討論等6一元二次不等式：與一元二次方程、二次函數(shù)結(jié)合，常見的討論有：開口方向、對稱軸、，根的大小等7不等式恒成立問題常用的處理方法有一是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成最值；二是從函數(shù)角度出發(fā)，數(shù)形結(jié)合，利用根的分布、通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求最值8線性規(guī)劃：確定可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義找出最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義一般是與直線在y軸上截距有關(guān)系；也有和定點(diǎn)的距離有關(guān)的；也有和定點(diǎn)連線的斜

17、率有關(guān)的注意所求式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法求最值或確定相關(guān)變量的范圍解決線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟是：先找約束條件，作出可行域，明確目標(biāo)函數(shù)，其中關(guān)鍵就是要搞清目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找可行域時要注意把直線方程中的y的系數(shù)變?yōu)檎稻毩?xí)： 已知，且，求的最小值不等式對一切恒成立，求的取值范圍八、立體幾何初步1重點(diǎn)在線面、面面平行、垂直的證明掌握“八大定理”是證明的關(guān)鍵2角度、距離：盡管在立幾中不要求求線線角、距離、線面角、距離、面面角、距離，但對定義還是要清楚的 3作輔助線要明確怎樣作出來的，即要清楚表述在什么地方取點(diǎn)，如何連線4在求多面體體積時一定要說明高是什么，為什么是高作輔助線時看不見才

18、作成虛線5平行平面的直線上的點(diǎn)到平面等距離；平面過線段中點(diǎn)，則線段兩端到平面等距離6注意正三棱錐（側(cè)棱長相等、底面是正多邊形）的隱含條件（對棱互相垂直；頂點(diǎn)在底面的射影是底面正三角形的中心）8球體積、表面積；球與多面體內(nèi)切、外接9一般而言，探索的點(diǎn)要優(yōu)先考慮中點(diǎn)、端點(diǎn)等特殊位置的點(diǎn)九、空間向量（僅理科）1.向量加、減法及其幾何表示：利用三角形法則或平行四邊形法則（類比平面向量）進(jìn)行，（首尾相連）；（同起點(diǎn)，差向量指向被減向量終點(diǎn)）2.共線向量定理：對空間任意兩個向量，與共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使.3.共面向量定理:如果兩個向量不共線,那么向量與向量共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組,使得(即

19、向量可以由兩個不共線的向量線性表示).4. 空間向量基本定理:如果三個向量不共面,那么對空間任一向量,存在惟一的有序?qū)崝?shù)組,使.推論： 設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn),則對空間任意一點(diǎn)P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組，使得.如果三個向量不共面,那么空間的每一個向量都可由線性表示， 稱為空間的一個基底, 叫做基向量.正交基底和單位正交基底5.A、B、C不共線，點(diǎn)O不在平面ABC上，點(diǎn)P滿足向量關(guān)系，則A,B,C, P四點(diǎn)共面是的充要條件6. 對于零向量，在空間任取一點(diǎn)O，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定.7. 數(shù)量積運(yùn)算律：； ； . 8. 數(shù)量積的性質(zhì)：，（是非零向量），（記為2）.9. 空間向

20、量的坐標(biāo)運(yùn)算類似與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 10. 設(shè)，則 x2x1， y2y1，z2z1.11. 已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即=cos，.12. 設(shè)，則|，x1x2y1y2z1z2，13. 設(shè)、則14. 設(shè)空間兩條直線的方向向量分別為，兩個平面的法向量分別為，則有下表：平行垂直15. 用向量的方法求空間角： 兩異面直線所成角：先求出它們方向向量的夾角，再確定兩異面直線所成的角，即確定兩異面直線所成角與它們的方向向量的夾角是相等還是互補(bǔ).斜線與平面所成角：即直線與平面的垂線所成角的余角，是一個銳角，因此可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角來求得，見圖1.兩平面所成的二面角：利用兩平面的

21、法向量的夾角來求.二面角的平面角與兩平面的法向量的夾角相等或互補(bǔ)，見圖2.要根據(jù)實(shí)際圖形判斷相等還是互補(bǔ).二面角的取值范圍是.圖1圖2十、直線和圓的方程在解析幾何中解題關(guān)鍵就是把題目中的幾何條件代數(shù)化，特別是一些很不起眼的條件，有時起著關(guān)鍵作用，如點(diǎn)在曲線上、相交、共線、以某線段為直徑的圓經(jīng)過某點(diǎn)、線段中點(diǎn)等如果題目中沒有現(xiàn)成的直角坐標(biāo)系，要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系數(shù)形結(jié)合是解決解幾問題的重要思想方法，要記得畫圖分析1理解直線的傾斜角與斜率的概念，掌握斜率公式求直線斜率的方法：傾斜角法：已知直線的傾斜角為，且90，則斜率k=tan.公式法：已知直線過兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x

22、2，則斜率k=.直線方程的形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式，以及各種形式的局限性.如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，因此在使用點(diǎn)斜式時，設(shè)直線方程就應(yīng)討論直線的斜率是否存在：斜率存在時設(shè)直線方程為，斜率不存時給予補(bǔ)充說明例如，一條直線經(jīng)過點(diǎn)(-3，-1.5)，且被圓截得的弦長為8，求此弦所在的直線的方程該題就要討論斜率是否存在，不要漏掉解x+3=0.直線在坐標(biāo)軸上的截距可正，可負(fù)，也可為0. 直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，直線方程可以形如，也可以形如y=kx（直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距都是0，也是截距相等）直線的方向向量與直線的斜率關(guān)系：當(dāng)直線的方向向量為=（x0，y0）時，直線斜率k

23、=_；當(dāng)直線斜率為k時，直線的方向向量=_.2兩條直線平行與垂直的條件（斜截式、一般式），應(yīng)注意條件是否充要兩條直線，有； 若直線l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，則（1）直線l1l2的充要條件是k1=k2且b1b2.（2）直線l1l2的充要條件是k1k2=1.若l1和l2都沒有斜率，則l1與l2平行的充要條件是l1與l2在x軸上的截距不等.若l1和l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為0，則l1l2.3距離問題：（1）點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d= ，（2）兩平行線間的距離可用點(diǎn)到直線距離公式來求，也可以用以下結(jié)論：兩

24、平行線l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0間的距離d=.4直線與圓的位置關(guān)系：處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：通過圓心到直線的距離與圓的半徑作比較（如直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑）；直線方程與圓的方程聯(lián)立，再用判別式. 一般來說，前者更簡捷5處理圓與圓的位置關(guān)系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系. 在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形（可自記為垂徑三角形）并且要更多聯(lián)想到圓的幾何性質(zhì)直線與曲線有一個交點(diǎn)與直線與曲線相切是不同的（圓、橢圓相同）要將圓和直線、圓和圓的問題化歸成圓心和點(diǎn)、和直線的距離問題來處理6. 點(diǎn)關(guān)于直線成軸對稱問題由軸對稱

25、定義知，對稱軸即為兩對稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”.利用“垂直”“平分”這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo).一般情形如下：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)為P（x，y），則有可求出x、y.k=1，=k+b，特殊地，點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)為P（2ax0，y0）；點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線y=xb的對稱點(diǎn)為P(y0b，x0b）(將P（x0，y0）橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別代入直線y=xb，可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)；此法也適用于直線的斜率為1).7曲線關(guān)于點(diǎn)、曲線關(guān)于直線的中心或軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對稱或軸對稱（這里既可選特殊點(diǎn)，也可選任意點(diǎn)實(shí)施轉(zhuǎn)化）.一

26、般結(jié)論如下：（1）曲線f（x，y）=0關(guān)于已知點(diǎn)A（a，b）的對稱曲線的方程是f（2ax，2by）=0.（2）曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對稱曲線的求法：設(shè)曲線f（x，y）=0上任意一點(diǎn)為P（x0，y0），P點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)為P（y，x），則由（2）知，P與P的坐標(biāo)滿足從中解出x0、y0， k=1，=k+b， 代入f（x0，y0）=0，就求出了曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y= kxb的對稱曲線方程.十一、圓錐曲線方程1橢圓中長軸長為2a，短軸長2b，焦距2c，勾股弦關(guān)系，離心率，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足一定的范圍；雙曲線中實(shí)軸長為2a，虛軸長2b，焦距2c，勾股弦關(guān)系，

27、離心率，漸近線方程；拋物線中離心率，焦參數(shù)表示的是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離利用三種圓錐曲線各自的幾何性質(zhì)，可以有效地簡化計算2注意圓錐曲線定義的應(yīng)用：到兩個焦點(diǎn)的距離之間的關(guān)系第一定義；到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線距離之間的關(guān)系第二定義處理焦點(diǎn)三角形問題時注意正、余弦定理地運(yùn)用；特別注意雙曲線第一定義中的“絕對值”3點(diǎn)差法（只有同時出現(xiàn)弦的中點(diǎn)、斜率才用，并且要確定中點(diǎn)在內(nèi)部，圓的中點(diǎn)問題則用垂徑三角形），用韋達(dá)定理也要注意判別式4求軌跡問題的主要方法：定義法、轉(zhuǎn)移法（反代法）、直接法（將幾何條件代數(shù)化），參數(shù)法（軌跡的參數(shù)方程）軌跡和軌跡方程是不同的概念求圓的方程，在有關(guān)于圓心的條件下設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程；在有關(guān)于圓過

28、三點(diǎn)的條件下，用一般方程5注意平幾知識的應(yīng)用，特別是在圓中（垂徑定理、圓周角與圓心角，切線長等的應(yīng)用）.圓錐曲線中用弦長公式：，通過焦點(diǎn)的弦長可以考慮采用圓錐曲線的統(tǒng)一定義和韋達(dá)定理求解6參數(shù)方程主要用于求最值（設(shè)點(diǎn)在曲線上，好處是只有一個變量，便于建立函數(shù)）要注意等價地確定參數(shù)的取值范圍十二、算法初步理解流程圖的三種結(jié)構(gòu)（順序、選擇、循環(huán)），理解用偽代碼表示的幾種基本算法語句（賦值語句、輸入語句、輸出語句、條件語句和循環(huán)語句），會用語句、DO語句實(shí)施循環(huán)練習(xí) 1一個用流程圖表示的算法如右圖所示，則其運(yùn)行后輸出的結(jié)果為 i10開始i=i-1i=12，S=1結(jié)束輸出SYNS=Si2計算機(jī)執(zhí)行如下

29、圖所示程序后,輸出的結(jié)果是 a 1b 3While a8a abb abEnd whilePrint bEnd十三、統(tǒng)計與概率 1. 抽樣方法：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣（都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽樣的公平性），在系統(tǒng)抽樣時，對每一組進(jìn)行抽樣時常用簡單隨機(jī)抽樣方法，而在分層抽樣時，在各層中抽樣時，如果各層的個體數(shù)不多，可用簡單隨機(jī)抽樣方法；如果各層或某層個體數(shù)較多，也可采用系統(tǒng)抽樣方法 2. 總體分布的估計：頻率分布直方圖：理解直方圖中注意縱、橫軸的實(shí)際意義；頻率=；每一個小矩形的面積是頻率=，每個小矩形的面積之和為1區(qū)分條形圖與直方圖對莖葉圖，了解莖與葉的實(shí)際意義注： 3. 總體特征數(shù)的

30、估計：樣本平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的中心，是平均水平，而樣本方差則反映了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度 4. 變量的相關(guān)性： 確定性關(guān)系（函數(shù)關(guān)系），相關(guān)關(guān)系（具有統(tǒng)計規(guī)律），無關(guān)關(guān)系 5. 古典概型：解決古典概型問題的操作步驟是明確所有基本事件；判定所有基本事件是否是等可能的；計算所有基本事件的個數(shù)；計算事件A包含基本事件的個數(shù)；計算事件A的概率 6. 幾何概型其特征一是基本事件（單點(diǎn)事件）的無窮性，二是所有基本事件的等可能性其公式為測度指線段或曲線段的長度、平面區(qū)域的面積、空間區(qū)域的體積.7. 互斥事件及其發(fā)生的概率：了解互斥事件及對立事件的概念及其意義，正確使用互斥事件的概率加法公式十四、復(fù)數(shù)1復(fù)數(shù)：形如的數(shù)，

31、對于復(fù)數(shù)，當(dāng)時為實(shí)數(shù)；當(dāng)時為虛數(shù)，實(shí)數(shù)和虛數(shù)統(tǒng)稱復(fù)數(shù). 虛數(shù)單位i：，i的指數(shù)運(yùn)算的周期性： 純虛數(shù)：復(fù)數(shù)中，時，即為純虛數(shù) 共軛復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 復(fù)數(shù)的模：，復(fù)數(shù)不能比較大小，但復(fù)數(shù)中的實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的模能比較大小 2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：（1）復(fù)數(shù)的加（減）法：；（2）復(fù)數(shù)的乘法：；（3）復(fù)數(shù)的除法：= = 3復(fù)數(shù)的幾何意義：（1）復(fù)數(shù)用點(diǎn)來表示; （2）復(fù)數(shù)用向量來表示，復(fù)數(shù)的模就是向量的模.（3）|z1z2|表示復(fù)數(shù)z1與z2的兩點(diǎn)之間的距離練習(xí)：|z1 |3，z234i，則|z1z2|的最大值是 十五、推理與證明1、推理：從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理. 任何推理

32、都包含前提和結(jié)論兩個部分，前提是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識是什么；結(jié)論是根據(jù)前提推得的命題，它告訴我們推出的知識是什么.推理主要有：歸納推理、類比推理、演繹推理、猜想（1）從個別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論的推理通常稱為歸納推理. 歸納推理的思維過程大致如圖所示：猜測一般性結(jié)論概括、推廣實(shí)驗(yàn)、觀察（2）根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同的推理通常稱為類比推理，簡稱類比法. 類比推理的思維過程大致如圖所示：猜測新的結(jié)論聯(lián)想、類推觀察、比較（3）由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法演繹推理.三段論式推理是演繹推理的主要形式，常用的格式為：

33、MP（M是P）SM（S是M）SP（S是P）三段論中包含了三個命題，第一個命題稱為大前提，它提供了一個一般性的原理；第二個命題叫小前提，它指出了一個特殊對象，這兩個結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊對象的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到第三個命題結(jié)論.2證明：是用一些真實(shí)的命題來確定某一命題真實(shí)性的思維形式（1）直接證明（分析法和綜合法）綜合法從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止.分析法從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止.（2）間接證明.間接證明主要包括：反證法、同一法、枚舉法等. 反證法三個步驟：（1

34、）反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；這時假設(shè)應(yīng)作為已知使用（2）歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；（3）存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立. 3數(shù)學(xué)歸納法（完全歸納法）（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟為： 驗(yàn)證當(dāng)取第一個值時，命題成立; 假設(shè)當(dāng)時，命題成立; 證明當(dāng)時，命題也成立，下結(jié)論（2）特別注意： 用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時首先要驗(yàn)證時成立，注意不一定為1 在第三步中，關(guān)鍵是要正確合理地運(yùn)用第二步的歸納假設(shè)，尤其要弄清由到時命題（如結(jié)構(gòu)）的變化.三步曲格式，其中有四處寫有成立十六、計數(shù)原理與概率（僅理科）(一)排列組合 1依據(jù)：分

35、類計數(shù)原理（或或）；分步計數(shù)原理（先再）2排列組合的解題策略：先分類再分步，特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮，結(jié)合樹形圖具體排（也稱為窮取法）（二）二項(xiàng)式定理1的通項(xiàng)公式：，（注意其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)），應(yīng)用：求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)及特殊項(xiàng)的系數(shù)2注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)式系數(shù)之和，即定理；且 ；系數(shù)之和，在展開式中讓變量的都取1即可得到所有系數(shù)和；“賦值法”的一般應(yīng)用，在（xy）n的展開式中取x1，y1，就可以得到，取x1，y1，就可以得到；在（xy）n的展開式中，x不換，y換成y，就可以將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分離開來在求系數(shù)和的時候要小心，注意弄清楚是否在內(nèi)；3求系數(shù)最大項(xiàng)，一般用比較法求4理解二項(xiàng)式系數(shù)產(chǎn)生

36、過程，即的展開式中的系數(shù)為的意義（教材中有詳細(xì)表述）5整除問題與近似運(yùn)算（在應(yīng)用題中的應(yīng)用）6二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，（1）（可證（逆序相加） （2） （3）（可以直接使用）練習(xí)： 中的系數(shù)是_（用二項(xiàng)式系數(shù)產(chǎn)生的方法求）的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為_（注意括號內(nèi)是完全平方）展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為_（將括號內(nèi)分解，或用其它方法）利用二項(xiàng)式定理證明（三）概率與統(tǒng)計 （1）離散型隨機(jī)變量及其分布列：隨機(jī)變量是隨機(jī)事件的數(shù)量化的刻畫，隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量的取值及其概率 （2）超幾何分布：通過venn圖理解 （3）條件概率及相互獨(dú)立事件：注意獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別，前者是指在兩個試驗(yàn)中，兩個事件發(fā)生的

37、概率互不影響，計算公式為P（AB）P（A）P（B）后者是指在同一次試驗(yàn)中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P（AB）P（A）P（B）條件概率是指事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下一個事件的概率，因此總的基本事件是A發(fā)生條件下的所有基本事件，如果用條件概率公式，則P(B/A）=P(AB)/ P(A)要注意P(AB)、P(B)都不是事件A發(fā)生的條件下事件的概率，它們是原生概率這樣處理?xiàng)l件概率問題會更容易：以事件A發(fā)生為前提，在此前提下求事件B的概率 （4）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要從四個方面考慮每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響；每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，

38、要么不發(fā)生；各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率都相等（5）離散型隨機(jī)變量的均值和方差：求隨機(jī)變量的均值與方差，首先寫出隨機(jī)變量所有可能的取值，然后求出隨機(jī)變量取每個值時的概率，列出分布列，最后利用均值、方差的公式進(jìn)行計算具有線性關(guān)系的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）與方差有以下關(guān)系式：若隨機(jī)變量和Z滿足aZb，則E（）；V（）十七、矩陣與變換（僅理科）一常見的平面變換1恒等變換 恒等變換矩陣，即單位矩陣2伸壓變換（沿水平方向或豎直方向兩種）（1）沿x軸方向的伸壓變換矩陣： ;（2）沿y軸方向的伸壓變換矩陣：3反射變換(軸反射或點(diǎn)反射兩種)（1）關(guān)于x軸： （2）關(guān)于y軸： （3）關(guān)于原點(diǎn)： （4）關(guān)于直線：

39、（5）關(guān)于直線：4旋轉(zhuǎn)變換 繞原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)角： 5投影變換 將平面圖形投影到某條直線或某個點(diǎn)注意：投影變換不是一一變換；投影變換既要考慮投影方向，又要考慮投影屏（1）光線垂直于x軸且投影到x軸的矩陣是：；（2）光線垂直于y軸且投影到y(tǒng)軸的矩陣是：；（3）光線垂直于yx且投影到y(tǒng)x的矩陣是： （4）光線垂直于x軸且投影到y(tǒng)x的矩陣是： 6切變變換：（1）沿x軸進(jìn)行的： （你求出此變換中不動點(diǎn)嗎？）（2）沿y軸進(jìn)行的： 把直線變?yōu)橹本€的變換通常稱為線性變換.一般地，二階矩陣所對應(yīng)的變換是一個線性變換（你會證明嗎？書中給出了證明）常見的上述六種平面變換都是線性變換求變換矩陣只要找到與原點(diǎn)不共線

40、的兩點(diǎn)及其對應(yīng)的兩點(diǎn)，就可以求出矩陣：如投影變換中的3：A（1，1）（1，1）；B（3，5）（4，4）二矩陣乘法1二階矩陣乘法規(guī)則：2的幾何意義是: 對向量連續(xù)實(shí)施兩次幾何變換（先再）的復(fù)合變換. 務(wù)必注意兩次幾何變換的順序.先變換矩陣寫在后面 3矩陣乘法性質(zhì)：滿足結(jié)合律：注意：矩陣乘法不滿足交換律： ；不滿足消去律：若，無法推出4變換的復(fù)合：若為二階矩陣, 為平面向量，則表示先對實(shí)施矩陣B所對應(yīng)的變換，再對B實(shí)施矩陣A所對應(yīng)的變換.三逆變換與逆矩陣1定義：對于二階矩陣，若有,則稱A是可逆的，B為A的逆矩陣一個變換把變?yōu)椋粋€變換把變?yōu)?，則稱為的逆變換.注意：只有一一變換矩陣才存在逆矩陣.2逆矩陣求法：（1）公式法：，則 （2）待定系數(shù)法：設(shè)，利用,求出. 說明：（1）已知為二階矩陣, 且，若矩陣存在逆矩陣，則.相當(dāng)于對兩邊左乘.（2），注意順序.可以通過穿鞋、穿襪子和脫鞋、脫襪子來理解. (3) 對于常見的平面變換還可以從變換意義的角度求逆矩陣，如求的逆矩陣3二階矩陣與二元一次方程組