2020屆高考數(shù)學(xué)試題預(yù)測(cè)數(shù)列

1、1.已知函數(shù)f(x)設(shè) a11 , an 1an(2)2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)專題二數(shù)列f(an)fj求，的值；證明：對(duì)任意的正整數(shù)記 bnIn an( n= 1ana,是方程f(x)=0的兩個(gè)根(n=1, 2,)n,都有% a；2,),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和f (x)是f (X)的導(dǎo)數(shù);解析：(1) . f(x),是方程f (x) =0的兩個(gè)根(1 -.52(2) f(x)2x2an an2an 1一an (2 an1) (2 an241)2an1=(2an41)2ana11,有基本不等式可知a2時(shí)取等號(hào)),an 1an52(an0同，樣a3)(an)2 anan(n=1, 2,)，an(

2、an)22an 12an2an，同理an 1(an)22an 1,bn12bn又b11 ln13 .51n53521n2n2(2八35Dln22.已知數(shù)列 an的首項(xiàng)a12),數(shù)列bn的首項(xiàng)b2a1 (a,bn是常數(shù)，且a 12an n (n 2)。),an2an21 n 4n 2(1)證明：bn從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；(2)設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，且 Sn是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)(3)當(dāng)a0時(shí)，求數(shù)列 an的最小項(xiàng)。a的值;分析：第(1)問(wèn)用定義證明，進(jìn)一步第( 類討論。2)問(wèn)也可以求出，第(3)問(wèn)由a的不同而要分解：(1) bn an bnan 12an(n 2n2由a12a 1

3、得 a21 ,b22_1)2an (n2bn(n 2)4a, b2 a22_21)4(n 1) 2 (n 1)即 bn從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。 Sn a )(2n1 1) 3a 4 (2a 22當(dāng) 22 時(shí)殳 3 2)2n 3a 423a 4Sn 1(2a 2)2n 1 3a 4 (a 1)2n1 3aSn是等比數(shù)列，&(n2)是常數(shù)，Sn 1rr43a+4=0,即 a - o3(3)由(1)知當(dāng) n 2時(shí)，bn (4a 4)2n 2 (a 1)2n ,所以an2a 1 (n 1)(a 1)2n n2(n 2)所以數(shù)列 an 為 2a+1, 4a, 8a-1 , 16a, 32a+7

4、,顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)。_ 1. 一 .當(dāng)a (0,)時(shí)，取小項(xiàng)為8a-1 ；4、“1 .一 ,一.當(dāng)a 時(shí)，取小項(xiàng)為 4a或8a-1 ；41 1、 一當(dāng)a (一，一)時(shí)，取小項(xiàng)為 4a；4 21 .一,一,.當(dāng)a 時(shí)，取小項(xiàng)為 4a或2a+1 ；21. 一 .當(dāng)a (一，)時(shí)，最小項(xiàng)為 2a+1。2點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。 考點(diǎn)二：求數(shù)列的通項(xiàng)與求和3.已知數(shù)列an中各項(xiàng)為:12 、 1122、 111222、1142 41 242 42nn TOC o 1-5 h z (1)證明這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積(2)求這個(gè)數(shù)列前n

5、項(xiàng)之和Sn .分析：先要通過(guò)觀察，找出所給的一列數(shù)的特征，求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)一步再求和。 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 12n解：(1) an (10n 1) 10n (10n 1)9913n c、/10n 1、/10n 1 .、-(101) (102) () ( 1)933記：A =坦3則A=34243為整數(shù)an = A (A+1)得證(2) Q an1102n 110n -9991242n 12n 2Sn(102 104102n)(10 10210n) - n HYPERLINK l bookmark33 o Current Docum

6、ent 9991(102n 2 11 10n 1 198n 210)891點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，再將這個(gè)通項(xiàng)“分成” 決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。兩個(gè)相鄰正數(shù)的積，解4.已知數(shù)列an滿足 a11 , an nan-41 an 1-(n 2,n2N).(I )求數(shù)列(n)設(shè) bnan12 an的通項(xiàng)公式an；,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn ；(m)設(shè) cn(2n1) 幼小an sin ,數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Tn.求證：對(duì)任意的n N ,2Tn分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對(duì)數(shù)列中不等 式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。解：(I)(1)n ,工

7、(1)n ( 2) ( 1)，a na n 1 ana n 1一 11又一(1) 3, 數(shù)列一a1an(1)n 3( 2)n 1，即 an an(n) bn(3 2n 1 1)2 9 4n 11 n是首項(xiàng)為3,公比為(1)n12n 1 16 2n 1 1Sn1 (1 4n)(m)1 4.(2n 1) sin2(1)n12的等比數(shù)歹U.3( 2)n3時(shí)，則Tn1)n13123 22(1 2n)1 21)n1,13 2n 113 2 1113 4n123 22 13 233 2n 12813 2n 11在1G)n21 2112861 5211 128 647844884TiT2T3 ，對(duì)任意的nT

8、n7點(diǎn)評(píng)：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列an的通項(xiàng)an,第三問(wèn)不等式的證明要用到放縮的辦法，這將到下一考點(diǎn)要重點(diǎn)講到。 考點(diǎn)三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系5. 已知 為銳角，目tan1,函數(shù)f(x)x2 tan2xSin(2 7數(shù)列an的首項(xiàng)1a11，an 12f(an).求函數(shù)f (x)的表達(dá)式;求證:an1 an ；求證:1 a11 a21 an(n 2, n分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第(2)問(wèn)的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第(3)問(wèn)是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解：tan22tan2( . 2 1)tan21 (21)2為銳角sin(2

9、f(x)ana2an a1a2,a3,an都大于2an一 an 1an 11anan(1an)anan11 anana1a2ana1a2a2a3anan 1a1an 1, a21(2), , an 1a31a33 2(4)2 an1 a11a21 an點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成清晰的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要思想, 的證明更具有一般性。本題中的第（3）問(wèn)不等式6.已知數(shù)列an滿足a11,an 1 2an 1 n N（i）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；（n）若數(shù)列 bn 滿足 4bl 14b2 14b3 14bn1(an 1)bn,證明:bn是等差數(shù)列;、r 1112(m)證明：L 2 n Na2 a3an 1

10、 3分析：本例(1)通過(guò)把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問(wèn)關(guān)鍵在如何放縮。解：（1）an 1 2an 1 , an 1 1 2（an 1）故數(shù)列an 1是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列。an(2)12n4bl 14b2an14b32n 12(b12(b1b2b2一得2bnbn)bn214bn 1 (an2n nbn bn 1) 2(n 1)(n 1)bn 11)bn(n4(b1 b2bn n)2nbn(n 1)bn 1一得2nbnnbn 2 nbnnbn 1,即 2bn 11)bn nbn12 (n1)bnbnbn 1所以數(shù)列bn是等差數(shù)列 an、幾c1

11、設(shè)Sa2S -_12n 11a31a2an 1_1n 1121一,1an1an 121an 1a2a3an a2而且不容易把握，對(duì)于這樣的題點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的不等式要用放縮來(lái)解決難度就較大了, 要多探索，多角度的思考問(wèn)題。7.已知函數(shù)f(x) x ln 1 x ,數(shù)列an滿足0 a1 1, r11*an 1 f an ;數(shù)列 bn 滿足 h 2,bn 1 2(n 1)bn, n N .求證:(i) 0 an 1 an 1; 2(n) an1a;2(ni)右 a1 ，則當(dāng) n2 時(shí)，bn an n!.2分析：第(1)問(wèn)是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第( 函數(shù)的單調(diào)性；第(3)問(wèn)進(jìn)行放

12、縮。解：(I)先用數(shù)學(xué)歸納法證明 0 an 1, n(1)當(dāng)n=1時(shí)，由已知得結(jié)論成立；1.則當(dāng)n=k+1時(shí),0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即0 ak1 x因?yàn)?0Vx1 時(shí)，f (x) 1 x 1 x 1又 f(x)在 0,1 上連續(xù)，所以 f(0)f(ak)f(1),即 0ak 11 in 2 1.故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.即0an 1對(duì)于一切正整數(shù)都成立.又由0 an綜上可知01 ,得 an 1an 1an1.ananln 1 ananln(1an)0,從而 an1an.(n)構(gòu)造函數(shù)g(x)=2 x . -f(x)=22 x 一 ln(1

13、x)2x, 0Vxg(0)=0.因?yàn)? an1,所以g an2八an0,即-n-fan0,從而a2an2(m)因?yàn)閎i所以bnbnbn 12mbn 1 bn 221 小 )n 12(n小bl1)bn,所以 bn0.be由(n) aan2，知:an 1an因?yàn)閍1、21,n22, 0所以an2 2由兩式可知：an 12bn12nan2an 1ana1所以包=曳視La1仇 a2na122 時(shí),Sn 1(2n1).分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：（1） an 15 2an16 8an因?yàn)閍i 1,所以7a2 , a38（2）因?yàn)閍n0,an 1an 12an

14、0,所以1648(an 4)8an3 an因?yàn)橐驗(yàn)? 16 8an32(2 an)0,054anan2.aian0,所以ana25與4540,5 c0,50,即 an(3)當(dāng) n2 時(shí)，bnanan 1an 1)an 1bn 1所以bn15542bn1 2bn12 , bn 12bn2n 12n 3所以Snb1b2bnid2n)12n 1)4點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。.在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列An, Bn, Cn,其中An（n, an）, Bn （n,bn）Cn（n 1,0）,滿足向量An An 1與向量BnC：共線，且點(diǎn)（B, n）在方向向量為（1, 6） 的線上 a1a, b1a.（1）試用a與n表示an（n 2）；（2）若a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是an的最小值，試求 a的取值范圍。分析：第（1）問(wèn)實(shí)際上是求數(shù)列的通項(xiàng)；第（2）問(wèn)利用二次函數(shù)中求最小值的方式來(lái) 解決。解：（1）AnAn1(1, an 1%),BnCn(1, bn), AnAn1 與 BnCn 共線，Hn1 %又Bn在方向向量為(1, 6)的直線上，bn 1bn6,即bn1 bn 6n 1 nbn a 6(n 1) TOC o 1-5 h z ana1(a2a