昆明理工大學(xué)數(shù)值分析上機(jī)報(bào)告1

1、第 頁(yè)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告數(shù)值積分）姓名：學(xué)號(hào)：2006202062專業(yè)：材料學(xué)學(xué)院：材料與冶金工程學(xué)院授課教師：昆明理工大學(xué)06工科碩士數(shù)值分析上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告專業(yè)：材料學(xué)姓名：學(xué)號(hào)：2006202062任課教師：作業(yè)完成實(shí)驗(yàn)室：實(shí)驗(yàn)成績(jī)：理論描述(10)數(shù)值公式(10)程序流程圖和程序結(jié)構(gòu)(20)數(shù)據(jù)和結(jié)果(20)討論(20)源程序(20)總分(100)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1題目/要求三次樣條插值法一、問(wèn)題提出設(shè)已知數(shù)據(jù)如下:0.20.40.60.81.00.97986520.91777100.80803480.63860920.3843735求f(x)的三次樣條插值函數(shù)S(x)。二、要求1、滿足自然邊界條

2、件S(0.2)=SG.0)=0；2、滿足第一類邊界條件S(0.2)二0.20271，S(1.0)二1.55741。3、打印輸出用追趕法解出的彎矩向量(M,M，,M)和014S(0.2+0.1i)(i二0,1,.,8)的值。*并畫出y=S(x)的圖形*。2.作業(yè)環(huán)境(包括選用的程序語(yǔ)言、運(yùn)行環(huán)境)程序語(yǔ)言Turbo.C2.0運(yùn)行環(huán)境WINDOWSXP3數(shù)學(xué)(理論背景)描述某些實(shí)際問(wèn)題，如船體放樣與機(jī)翼設(shè)計(jì)，要求插值曲線不僅連續(xù)而且處處平滑。甚至要求盡可能采用流線型，使氣流沿機(jī)翼的表面能形成平滑的流線，以減少空氣的阻力。換句話說(shuō)，所謂光滑插值就是既要分段低次又要保證接頭光滑。為適應(yīng)這類需求，借助曲

3、線板來(lái)作圖，以保證曲線在接頭處的光滑。在工程技術(shù)如船體放樣中，作圖員常用“樣條”在指定節(jié)點(diǎn)間做光滑曲第2頁(yè)第 頁(yè)線。光滑插值就是這類作圖方法的數(shù)學(xué)模擬。因此，這類插值稱作樣條(Spline)插值。樣條插值實(shí)際上是一種改進(jìn)的分段插值，它要求插值函數(shù)在各分段的銜接處能保持一定程度的光滑性。既要保持插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。在實(shí)際應(yīng)用中，最常用的是三次樣條插值，其定義如下：若函數(shù)S(x)eC2la,b,且在每個(gè)小區(qū)間L,x上是三次多項(xiàng)式，其jj+i中a=xxx=b是給定節(jié)點(diǎn)，則稱S(x)是節(jié)點(diǎn)x,x，,x上的01n01n三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn)x上給定函數(shù)值y二f(xIj=0,1,n)，并成jjj立S(

4、x)=y(j=0,1,n)，則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。jj4數(shù)值計(jì)算公式三次樣條函數(shù)分段插值公式S(x)=(x-x-xi6hi-16hM+(h2xx(h2)y+Mi+y亠Mii1k6.-1丿hiik61丿ix-4-1(1)Sf(x)=(x-x)2i2hi-12h-M)+(2)i-1Sff(x)=x-i(3)，i-1其中2M+aM(1a)M+2M+aM=P101121(1a)M+2M+aMn1n2n1n1naM+2M=卩i01n-1nnn=P0=Pn-1i+1h+h(5)(4)-xj+1ty.1i+1y,h+hh(6)i+15算法程序流程圖I利用(5)(6)計(jì)算系數(shù)a,B,i=1,2,n1

5、iiI用追趕法解方程組(4)得M,M，,M01n判定插值點(diǎn)x所在的分段(x,x)i1iI按公式(1)(2)和(3)計(jì)算所求函數(shù)值S(x)及其一階二階數(shù)值導(dǎo)數(shù)Sr(x)S)打印S(x)Sf(x)Sff(x)I6程序結(jié)構(gòu)（程序中的函數(shù)調(diào)用關(guān)系圖）7實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果（打印或用屏幕圖形拷屏表示，可加為附頁(yè)）x(i)2.00000e-014.00000e-016.00000e-018.00000e-011.00000e+00t(i)2.00000e-013.00000e-014.00000e-015.00000e-016.00000e-017.00000e-018.00000e-019.00000e-

6、011.00000e+00y(i)9.79865e-019.17771e-018.08035e-016.38609e-013.84373e-01z(i)9.79865e-019.68558e-019.17771e-018.59047e-018.08035e-017.59253e-016.38609e-014.25808e-013.84373e-01dy(i)2.02710e-01-5.86877e-01-4.32658e-01-1.86992e+001.55741e+00dz(i)2.02710e-01-3.69665e-01-5.86877e-01-5.68138e-01-4.32658e-

7、01-6.95048e-01-1.86992e+00-1.82864e+001.55741e+00ddy(i)-7.49956e+00-3.96310e-011.93850e+00-1.63111e+015.05844e+01ddz(i)-7.49956e+00-3.94793e+00-3.96310e-017.71095e-011.93850e+00-7.18630e+00-1.63111e+011.71366e+015.05844e+01ProgramExitedSuccessfully!8討論（包括題目要求的討論和方法的適用性討論）凡是用插值方法解決的問(wèn)題，只要遇到高次插值都可以用三次樣

8、條插值來(lái)降低次數(shù)，達(dá)到增強(qiáng)精確度加強(qiáng)實(shí)用性的目的。在插值中，拉格朗日給出了插值曲線的函數(shù)表達(dá)式。但是，當(dāng)插值結(jié)點(diǎn)增多時(shí)，得到的插值曲線是高次的。這不僅增大了計(jì)算量，還影響結(jié)果的精確度。所以這種高次插值曲線不適合于實(shí)際應(yīng)用。通常用分段的低次插值方法也能降低插值曲線的次數(shù)，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。但是分段插值的缺點(diǎn)是，各個(gè)分段銜接的連接點(diǎn)處不能保證曲線的光滑性。三次樣條插值正是用來(lái)改變這種狀況的一種改進(jìn)的分段低次插值法，它保證了連接點(diǎn)的光滑性，即三次樣條插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)。某些實(shí)際問(wèn)題，如船體放樣與機(jī)翼設(shè)計(jì)，要求插值曲線不僅連續(xù)而且處處光滑。甚至要求盡可能采用流線型，使氣體沿機(jī)翼的表面能形成平滑的流線，以減少空氣的阻力。這本身就要求光滑插值，也就是既要分段低次又要保證接頭光滑。三次樣條插值函數(shù)正是適應(yīng)于這類需求。因?yàn)樗鼇?lái)源于這種作圖的數(shù)學(xué)模型：使用曲線板作圖，以保證曲線在接頭處的光滑。工程技術(shù)如船體放樣中，作圖員常用“樣條”在指定結(jié)點(diǎn)間作光滑曲線。光滑插值就是這類作