什么是拓撲絕緣體

1、什么是拓撲絕緣體？拓撲絕緣體（topologicalinsulator，簡稱TI）是這兩年凝聚態(tài)理論里面很熱的一個方向，最早提出這一概念的應(yīng)該是UPenn的Kane，然后就是Stanford的張守晟組，主要是在QuantumSpinHall體系中的TI。按照電子態(tài)結(jié)構(gòu)的不同，傳統(tǒng)意義上的材料被分為“金屬”和“絕緣體”兩大類。而拓撲絕緣體是一種新的量子物質(zhì)態(tài)，完成不同于傳統(tǒng)意義上的“金屬”和“絕緣體”。這種物質(zhì)態(tài)的體電子態(tài)是有能隙的絕緣體，而其表面則是無能隙的金屬態(tài)。這種無能隙的表面金屬態(tài)也完全不同于一般意義上的由于表面未飽和鍵或者是表面重構(gòu)導致的表面態(tài)，拓撲絕緣體的表面金屬態(tài)完全是由材料的體電

2、子態(tài)的拓撲結(jié)構(gòu)所決定，是由對稱性所決定的，與表面的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。也正是因為該表面金屬態(tài)的出現(xiàn)是有對稱性所決定的，他的存在非常穩(wěn)定，基本不受到雜質(zhì)與無序的影響。除此之外，拓撲絕緣體的基本性質(zhì)是由“量子力學”和“相對論”共同作用的結(jié)果，由于自旋軌道耦合耦合作用，在表面上會產(chǎn)生由時間反演對稱性保護的無能隙的自旋分辨的表面電子態(tài)。這種表面態(tài)形成一種無有效質(zhì)量的二維電子氣（與有效質(zhì)量近似下的二維電子氣完全不同：例如廣泛使用的場效應(yīng)晶體管中的二維電子氣），它需要用狄拉克方程描述，而不能用薛定諤方程。正是由于這些迷人的重要特征保證了拓撲絕緣體將有可能在未來的電子技術(shù)發(fā)展中獲得重要的應(yīng)用，有著巨大的應(yīng)用潛在。

3、尋找具有足夠大的體能隙并且具有化學穩(wěn)定性的強拓撲絕緣體材料成為了人們目前關(guān)注的重要焦點和難點。拓撲絕緣體的表面金屬態(tài)完全是由材料的體電子態(tài)的拓撲結(jié)構(gòu)所決定，是由對稱性所決定的，與表面的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。這句話的意思是拓撲絕緣體的“拓撲”，不是實空間的拓撲結(jié)構(gòu)，而是動量空間的拓撲結(jié)構(gòu)。說起拓撲，大家也許會聯(lián)想到Mobius帶，或者Klein瓶的東西，但實際上拓撲絕緣體與實空間的這些幾何結(jié)構(gòu)都沒有關(guān)系，它的表面形貌和其它材料沒有什么差別。但是表面的電子態(tài)卻按照不同自旋而具有不同的chirality,這是普通材料所沒有的。而且這種表面態(tài)是一定會存在的，不管你的表面多么不平整或者有多少雜質(zhì)，只要兩個相對的

4、表面不要靠得太近，那么chiral的表面態(tài)一定會茁壯地存在。這實際上是和材料體內(nèi)的體態(tài)電子在動量空間的結(jié)構(gòu)有關(guān)，體態(tài)電子的拓撲保證了表面態(tài)的性質(zhì)。當然，本質(zhì)上，你可以說這些都是自旋軌道耦合的結(jié)果。拓撲絕緣體的基本性質(zhì)是由“量子力學”和“相對論”共同作用的結(jié)果，由于自旋軌道耦合耦合作用，在表面上會產(chǎn)生由時間反演對稱性保護的無能隙的自旋分辨的表面電子態(tài)。說是“量子力學”和“相對論”共同作用的結(jié)果，其實是一種對外宣傳的包裝。其實做凝聚態(tài)的都知道，這跟一般意義上的相對論沒有關(guān)系，拓撲絕緣體是一個量子力學效應(yīng)。只不過電子的低能有效理論，是具有Dirac方程形式的，看起來像是相對論性的量子力學。電子在Fe

5、rmi面附近將失去有效質(zhì)量，成為像中微子一樣的相對論性費米子。但其實這里的相對論是凝聚態(tài)系統(tǒng)演生出來的，這里面的有效光速就是電子的Fermi速度，只有真正光速的百分之一。類似于中微子具有確定的手性，電子現(xiàn)在也具有確定的手性。也就是說自旋和軌道自由度被捆綁在一起，自旋向上的電子只能向左運動的話，那么自旋向下的電子就只能向右運動。所謂時間反演對稱性就是電子運動方向反向和自旋反向聯(lián)合操作下，系統(tǒng)保持不變。由于軌道和自旋自由度的鎖死，電子沒有辦法被雜質(zhì)散射了，也就是說不管拓撲絕緣體的表面上有多少雜質(zhì)，只要電子是往前跑的，它就會一直往前跑，克服一切障礙地沖下去。張首晟教授有個很簡單的解釋。說的就是，如果

6、它要被反彈回來往后跑，那么自旋就必須翻轉(zhuǎn)。在自旋的空間，也就是Bloch球上，自旋要從北極走向南極。而我們知道，任何一條連接南北極的路徑都有一條相對的路徑，比如你是經(jīng)過中國的，那么對應(yīng)的路徑就經(jīng)過美國。而中國和美國的路徑正好相差了一個半球，也就是大約半天的時差，對于1/2自旋來說，半天的時差會帶來pi的Berryphase積累。這樣兩條自旋翻轉(zhuǎn)的路徑就會完全相消，從而導致電子無法回彈。這樣的性質(zhì)相當于表面態(tài)無電阻，而且還自旋分辨，這樣的材料對于自旋電子學的意義顯然是非常重大的。從目前找到的資料來看，基本說法是，拓撲絕緣體最直觀的性質(zhì)就是其體態(tài)電子存在能隙，但是其表面態(tài)是無能隙，并且這種無能隙的

7、表面態(tài)受到時間反演對稱性的保護，表面形貌、（非磁的）雜質(zhì)、缺陷都不會影響這樣的表面態(tài)。實際上是和材料體內(nèi)的體態(tài)電子在動量空間的結(jié)構(gòu)有關(guān)，體態(tài)電子的拓撲保證了表面態(tài)的性質(zhì)，那么是體態(tài)電子在動量空間的什么樣的拓撲結(jié)構(gòu)保證了表面態(tài)的性質(zhì)？有文獻中提到是Z2topologicalinvariantofthebulk？什么是這個Z2拓撲不變量？電子為什么會失去有效質(zhì)量？費米子應(yīng)該是指電子本身就是費米子，相對論性應(yīng)該是指可以用Dirac方程的形式描述，類似于中微子具有確定的手性，電子現(xiàn)在也具有確定的手性。也就是說自旋和軌道自由度被捆綁在一起，自旋向上的電子只能向左運動的話，那么自旋向下的電子就只能向右運動

8、。由于軌道和自旋自由度的鎖死，電子沒有辦法被雜質(zhì)散射了，也就是說不管拓撲絕緣體的表面上有多少雜質(zhì)，只要電子是往前跑的，它就會一直往前跑，克服一切障礙地沖下去。張首晟教授有個很簡單的解釋。說的就是，如果它要被反彈回來往后跑，那么自旋就必須翻轉(zhuǎn)。在自旋的空間，也就是Bloch球上，自旋要從北極走向南極。而我們知道，任何一條連接南北極的路徑都有一條相對的路徑，比如你是經(jīng)過中國的，那么對應(yīng)的路徑就經(jīng)過美國。而中國和美國的路徑正好相差了一個半球，也就是大約半天的時差，對于1/2自旋來說，半天的時差會帶來pi的Berryphase積累。這樣兩條自旋翻轉(zhuǎn)的路徑就會完全相消，從而導致電子無法回彈。按照我的理解

9、，拓撲絕緣體主要是由以下三點特征來定義（不太嚴格）：塊體（bulk）是一個絕緣體，或者說能譜中有能隙；有無能隙的手征（chiral）邊緣態(tài)，邊緣態(tài)是topologicallyprotected的，即便有雜質(zhì)，有相互作用，只要不關(guān)閉bulk的能隙就不會影響邊緣態(tài)的性質(zhì)?；蛘哒f，要破壞邊緣態(tài)，一定要經(jīng)過一個量子相變?？梢杂靡粋€拓撲不變量來刻畫其性質(zhì)?；旧先绻皟牲c滿足，那么這個系統(tǒng)就有很大可能性是一個拓撲絕緣體。但是真正要確定其是不是有拓撲序，還是要通過第三條判據(jù)。目前討論的都是無相互作用的體系，其實在實驗上最早看到的拓撲絕緣體就是著名的整數(shù)量子Hall態(tài)，能級的Landau量子化顯然滿足以上第

10、一點；gapless的edgestate則不那么顯然，但Halperin的著名工作論證了edgestate必須存在，并且是一個一維的手征費米液體（對后來的FQHE中邊緣態(tài)的理論很有啟發(fā)）。然后Thouless等人也論證了可以用所謂的第一陳類來刻畫其拓撲特性。IQHE是所謂時間反演破壞（TimeReversalBreaking,TRB）的TI的一個典型例子。另一個TBS的TI是p+ip的超導體（確切的說，弱耦合的p+ip超導體，強耦合下其拓撲性質(zhì)完全不同），它可以視為Bogoliubov準粒子形成的TI。當然p+ip超導體的物理遠不止如此（它具有非常驚人的non-Abeliantopologic

11、alorder），但它確實是我認為TI的最簡單,最清楚的一個理論模型。通過解Bogoliubov-deGennes方程，就可以得到能隙和邊緣態(tài)的所有性質(zhì)，非常容易理解。第二個大類是所謂時間反演不變（TRI）的TI，也是當前的研究熱點所在。我還在看這方面的文章，等以后有清楚的理解了再來寫。但是其基本的物理圖像是很簡單的：把兩個互為時間反演的TBS的TI放在一塊。舉例來說，在前面提到的IQHE中,我們沒有考慮電子的自旋，因為通常強磁場的Zeeman效應(yīng)使得自旋極化了?，F(xiàn)在我們假設(shè)能夠?qū)崿F(xiàn)這樣的一個磁場：自旋向上的電子感受到一個均勻的磁場B,自旋向下的電子則感受到一個均勻的磁場-B,并且自旋向上和向

12、下的電子有相同的填充數(shù)，這樣自旋向上和向下的電子分別形成一個整數(shù)Hall態(tài)。這個體系顯然時間反演不變的。光從電荷的角度看，邊緣電流方向相反，大小相等,凈效果是沒有邊緣電流。但是如果看自旋的話,則剛好有個凈的自旋流（或者說自旋輸運）。當然自旋流怎么定義本身是個問題（自旋不像電荷，沒有守恒律）。但是簡單地可以認為z方向的自旋是守恒的，這就是一個最簡單的量子自旋Hall效應(yīng)（QuantumSpinHallEffect,QSHE）的“原型”。在這種情況下，邊緣態(tài)不再是手征費米液體，而被代之以所謂的Helical費米液體。態(tài)示意圖最簡單的量子自旋當然，實際上不存在這樣一個自選相關(guān)的磁場，為了實現(xiàn)這么一個圖像，我們需要的是自旋-軌道耦合（大概是Rashba耦合）。在C.Kane最早提出TI這一概念的文章中，他們考慮的就是graphenewithspin-orbitcoupling。作為類比，還可以考慮在spin-triplet的超導體中，讓自旋向上的電子作p+ip的pairing，自旋向下的電子作p-ip的pairing，這樣就得到祈曉亮他們討論的topological