思辨數(shù)學(xué)的教育價(jià)值

1、思辨數(shù)學(xué)的教育價(jià)值摘要：思辨數(shù)學(xué)的概念是弗賴登塔爾提出的概率統(tǒng)計(jì)課程中思辨數(shù)學(xué)內(nèi)容至少包含思辨求解和思辨推斷兩個(gè)模塊關(guān)于思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)分，能為概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)提供重心，在教學(xué)法上具有重要意義珍視概率統(tǒng)計(jì)課程中思辨數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，驅(qū)動(dòng)以概念為本的概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)，對(duì)訓(xùn)練創(chuàng)新思維素養(yǎng)和培育直覺(jué)能力有著獨(dú)特的作用關(guān)鍵詞：思辨數(shù)學(xué)；算法；概率統(tǒng)計(jì)；直覺(jué)思維1 思辨數(shù)學(xué)詞源詮釋思辨數(shù)學(xué)一詞是荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Freudenthal，19051990）首先提出的他在名著作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)中舉例詮釋了思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別：設(shè)有相同數(shù)量的白酒與紅酒各一杯，取一匙白酒倒入紅酒內(nèi)，使之混合

2、，再取同量的一匙混合酒倒入白酒內(nèi)試問(wèn)，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反？答案是：兩種含量一樣多然而解題方法有兩種，一種是根據(jù)其取法操作，列出算式計(jì)算另一種是這樣思考的：設(shè)想每個(gè)杯子中的白酒和紅酒是分開(kāi)的，那么白酒杯中的紅酒正是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現(xiàn)在正好被白酒所填補(bǔ)前一種解法是算法求解，后一種解法是思辨求解1“ 算法” （Algorithm）就是指計(jì)算訣竅有種界定：“ 算法是為了實(shí)現(xiàn)一個(gè)計(jì)算或者解決一個(gè)問(wèn)題的精確指令的有限集合” 2算法還被廣泛理解為解決問(wèn)題的所有確定步驟思辨數(shù)學(xué)也稱為概念數(shù)學(xué)3類似地，解一個(gè)概率問(wèn)題：設(shè)有一線段AB，在AB 上隨機(jī)地投一點(diǎn)X，

3、記 = AX ，問(wèn)E 等于多少?（所謂“ 隨機(jī)地” 的意思是點(diǎn)X 落在線段CD 上的概率等于CD/AB這個(gè)概率只與CD 的長(zhǎng)度有關(guān)，而與CD 位于AB 中的哪一段無(wú)關(guān)這就是幾何概型中的等可能性或?qū)ΨQ性）如圖1：對(duì)稱性知，隨機(jī)變量與 有相同的分布（不管其分布是什么），因而E = E ，但 + = AB，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有E + E = AB ，所以2E = AB ，即2E a b + = 顯然，這是兩種思維風(fēng)格迥然不同的解法，解法一是邏輯性的算法求解，屬于算法數(shù)學(xué)；解法二主要是直覺(jué)性的思辨求解，屬于思辨數(shù)學(xué)這里舉例僅僅是為了詮釋概率論中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別我們認(rèn)為，思辨數(shù)學(xué)就是動(dòng)態(tài)地辯證地把

4、握概念和體味推據(jù)（這里把思辨推理的理論依據(jù)簡(jiǎn)稱推據(jù)），憑借對(duì)概念的直覺(jué)和數(shù)學(xué)美的啟迪（而非邏輯性的推理），產(chǎn)生直觀的解題思路方法或做出合情推理決策換言之，在直覺(jué)領(lǐng)引下，圍繞推據(jù)，換位思考，思維在運(yùn)動(dòng)中覓到解題方法的一套數(shù)學(xué)知識(shí)體系德國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因（Klein F，18491925）指出：“ 數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過(guò)是它微不足道的方面，它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫(huà)一樣，技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物” 4克萊因這一論斷，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義，把握思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)分，它能為教學(xué)提供重心，對(duì)于貫徹概率統(tǒng)計(jì)思想方

5、法為主線的教學(xué)大有裨益2 概率統(tǒng)計(jì)課程中的思辨數(shù)學(xué)內(nèi)涵透析從思維的邏輯層面透析，概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)內(nèi)容可以分為兩類，大部分是程序性的，有一些則是思辨性的算法是程序性的，概率統(tǒng)計(jì)的演算中充斥著算法；然而，在概率演算題中也會(huì)遇到思辨求解問(wèn)題，雖然這類題數(shù)量不多，但解題思維中頗富有理性精神，有著方法論的教育意義特別值得一提的是，就產(chǎn)生數(shù)理統(tǒng)計(jì)一些重要方法的思想而言，思辨因素起著關(guān)鍵性的作用，從本質(zhì)上講，作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)核心內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)推斷也隸屬于思辨數(shù)學(xué)的范疇，即思辨數(shù)學(xué)至少包含思辨求解和思辨推斷兩大模塊現(xiàn)分述如下：2.1 思辨求解問(wèn)題若對(duì)某些概率問(wèn)題的題設(shè)條件進(jìn)行分析，抓住題目中的關(guān)鍵概念，由對(duì)這些概念的直覺(jué)

6、和思辨，就能引發(fā)解題的思 路和方法具體說(shuō)來(lái)，吃透問(wèn)題的條件和結(jié)論，抓住起決定性作用的思辨因素，運(yùn)用發(fā)散思維或逆向思維，進(jìn)行類比聯(lián)想或換位思考推理，進(jìn)而恰當(dāng)?shù)匾胼o助事件或輔助隨機(jī)變量，就會(huì)建構(gòu)和洞察到所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象中蘊(yùn)涵著的事件之間或隨機(jī)變量之間的某種對(duì)稱性、對(duì)等性或等可能性的關(guān)系那么，這些事件、事件關(guān)系所遵從的一般的概率法則、統(tǒng)計(jì)規(guī)律或一些概率原理等就構(gòu)成解題思維的支點(diǎn)，即推據(jù)；思維一旦受到這些推據(jù)以及數(shù)學(xué)中對(duì)稱美的直覺(jué)啟發(fā)，就會(huì)迅速地做出判斷，尋到簡(jiǎn)便的解法，或直接給出答案例1 一副紙牌共N 張，其中三張A，隨機(jī)地洗牌后，從頂上開(kāi)始一張接一張地翻牌，直到翻到第二張A 出現(xiàn)為止，求翻牌數(shù)

7、的平均值解：假定從底里開(kāi)始一張接一張地翻牌，也翻到第二張A 出現(xiàn)為止，翻過(guò)的牌數(shù)為 ，由對(duì)稱性（即從頂上開(kāi)始翻牌與從底里開(kāi)始翻牌情況是一樣的）知， 與 有相同的分布，因而平均值也就相同，即E = E ；又考慮到 + =N+1，所以有E + E = N +1，即E = (N +1) / 2例2 證明組合公式5：kn nk inkiinC C C 2 1 201 +?= = ，k=0, 1, 2, 1 2 n + n 注：本題雖然是確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是采用概率論想法，構(gòu)造一個(gè)與二項(xiàng)分布有關(guān)的輔助概型，作思辨推理，證法則直觀生動(dòng)，簡(jiǎn)捷奇妙現(xiàn)給出證明：設(shè)1 、2 分別表示甲、乙兩人各擲一枚均勻硬幣1

8、n 次、2 n 次所擲出正面的次數(shù)，則1 、2 服從二項(xiàng)分布，即：1 B( 1 n ,21 )， 2 B( 2 n ,21 )顯然1 與2 相互獨(dú)立今考察“ 甲、乙兩人擲得的點(diǎn)數(shù)之和為k” 的概率，即P( 1 + 2 =k)=P(kii k i01 2 , = = = ? )，注意到事件 1 =i， 2 =k?i，i=0, 1, 2, 1 n + 2 n 兩兩互不相容，故得P( 1 + 2 =k)= = ?kiP i k i01 2 ( , )= = ?kiP i P k i01 2 ) ( ) ( =?kik i nnn inC C02211 )2) . (12(1= ? +kik i n

9、nninC C01 21 2 )2( 1 （1）另一方面，設(shè)想甲先擲硬幣1 n 次，接著又?jǐn)S了2 n 次，并設(shè)他“ 在總共1 n + 2 n 次投擲中出現(xiàn)k 次正面” 的次數(shù)為 ，則 服從二項(xiàng)分布，即： B( 1 2 n + n ,21 )，P( =k)= 1 21 2 )2k ( 1 n nn n C + （2）由于“ 觀察兩枚均勻硬幣分別各擲1 n 次和2 n 次，在總共1 2 n + n 次投擲中出現(xiàn)正面的次數(shù)” 與“ 觀察同一枚均勻硬幣連擲1 2 n + n 次出現(xiàn)正面的次數(shù)” 這兩事件本質(zhì)上講是等價(jià)的，即1 2 + 與 同分布；故有（1）等于（2），即：kn nk inkiinC C

10、 C 2 1 201 +?= = . k=0,1,2, 1 2 n + n 2.2 思辨推斷2.2.1 最大似然法（以離散型隨機(jī)變量為例）設(shè)總體 的概率函數(shù)為p(x; ) ，其中 是未知參數(shù)設(shè)n X , X , , X 1 2 ? 為取自總體 的樣本，樣本n X , X , , X 1 2 ? 的聯(lián)合概率函數(shù)為( ; )1 =nii p x ( ; )1? =nii p x 這里， 是常量，n x , x , , x 1 2 ? 是變量籍于辯證邏輯思維，一方面，我們視n x , x , , x 1 2 ? 為樣本（隨機(jī)向量）在一次試驗(yàn)中的取值（即一組確定的常數(shù)），視為變量，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)

11、( ; )1 =nii p x 就表征一次試驗(yàn)下的概率值另一方面，這個(gè)概率值隨 值的變化而變化，不妨記作( , , , ; ) 1 2 n L x x ? x ，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)( ) （稱為似然函數(shù)）；即( ) ( ; )1 =nii L p x 直觀上看，實(shí)際發(fā)生的應(yīng)該是概率最大的事件這就是最大似然原理（推據(jù)）思辨分析認(rèn)為，現(xiàn)在樣本觀測(cè)值n x , x , , x 1 2 ? 既然已經(jīng)出現(xiàn)，影響概率值L( ) 的是未知參數(shù) ，按照最大似然原理， 的真值應(yīng)該使這組樣本值出現(xiàn)具有最大的概率因此，求總體參數(shù) 的最大似然估計(jì)值的問(wèn)題，就是求似然函數(shù)L( )的最大值點(diǎn)的問(wèn)題，應(yīng)在 的所有可能取值范圍 內(nèi)，選

12、取使L( ) 達(dá)到最大值的參數(shù)值作為參數(shù) 的估計(jì)值即：( ) ( , , , ; ) max ( , , , ; ) 1 21 2 n n L L x x ? x L x x ? x = = 這就是最大似然估計(jì)的基本思想進(jìn)而把求的具體方法可歸結(jié)為算法步驟；（1）建立似然函數(shù)；（2）取對(duì)數(shù)似然函數(shù)；（3）令關(guān)于 的一階導(dǎo)數(shù)為零，得似然方程；（4）解之得參數(shù) 的最大似然估計(jì)由樣本信息估計(jì)總體參數(shù)是一個(gè)歸納過(guò)程，它需要執(zhí)行一套復(fù)雜的專門技術(shù)程序然而從根本上看，最大似然法是以最大似然原理為推據(jù)的思辨推斷模式在求參數(shù) 的最大似然估計(jì)值時(shí)，關(guān)鍵在于理解最大似然原理，因?yàn)樯鲜鼋忸}步驟并不是總可以施行的2.2

13、.2 最小二乘估計(jì)回歸分析的基本思想是首先根據(jù)樣本組的分布特征以及對(duì)問(wèn)題的思辨認(rèn)識(shí)而先驗(yàn)地選定一個(gè)模型類型，然后求出（估計(jì)出）模型中相應(yīng)參數(shù)至于對(duì)參數(shù)的估計(jì)，一般采用最大似然估計(jì)法，具體到回歸分析上叫做最小二乘法所謂最小二乘法系利用拉格朗日條件極值原理，對(duì)所選模型在所給樣本下，保證誤差最小時(shí)，求得參數(shù)估計(jì)值6說(shuō)到底它也是一種思辨推斷模式2.2.3 假設(shè)檢驗(yàn)先根據(jù)統(tǒng)計(jì)目的對(duì)總體提出一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)0 H （也叫原假設(shè)），然后再由一次抽樣的結(jié)果來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否可信，從而做出決策：拒絕還是接受這個(gè)假設(shè)一方面，我們先假定0 H 是正確的，在此假定下，某事件A出現(xiàn)的概率很小，比如p(A) = 0.05；另

14、一方面，進(jìn)行一次試驗(yàn)，如果事件A 出現(xiàn)了，就是說(shuō)在一次試驗(yàn)中就居然發(fā)生了小概率事件，那么根據(jù)直覺(jué)：“ 概率很小的事件在一次試驗(yàn)中一般認(rèn)為是不會(huì)發(fā)生的” （小概率事件原理，即推據(jù)）我們不能不懷疑作為小概率事件的前提假設(shè)0 H 的正確性，因而做出拒絕0 H 的決策；如果進(jìn)行一次試驗(yàn)，小概率事件沒(méi)有出現(xiàn)，則試驗(yàn)結(jié)果與假設(shè)相符，沒(méi)有理由拒絕0 H ，因而只好接受0 H 進(jìn)一步歸結(jié)出假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟（略），即是算法 程序，使概念的直觀具體性有了一個(gè)邏輯思維的圖式，如果沒(méi)有這些邏輯模式，推理將變得沒(méi)有質(zhì)量從根本上看，假設(shè)檢驗(yàn)法是以小概率事件原理為推據(jù)的思辨推斷模式概言之，最大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)和假設(shè)

15、檢驗(yàn)本質(zhì)上都是思辨的產(chǎn)物；從思維方法上講，它們是思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)有機(jī)的統(tǒng)一體；“ 思辨” 當(dāng)頭，“ 算法” 自然就在其中了2.3 概率統(tǒng)計(jì)中的思辨數(shù)學(xué)之特征分析2.3.1 思辨求解問(wèn)題與思辨推斷的異同思辨求解問(wèn)題的推據(jù)具有確定性和真理性比如例1中 與 的同分布，例2 中事件+ = k 1 2 與事件 = k 對(duì)等它們都是邏輯意義下的必然結(jié)果因此，思辨求解結(jié)論的正確性是勿庸置疑的然而，思辨推斷的推據(jù)則具有“ 或然性” ，比如最大似然原理中的用詞：“ 應(yīng)該是”，并非“ 一定是” ；小概率事件原理中的用詞“ 一般認(rèn)為是不會(huì)發(fā)生” ，但并非“ 絕對(duì)不會(huì)發(fā)生” ，可見(jiàn)思辨推斷的結(jié)論則是概率邏輯意義下的

16、必然比如假設(shè)檢驗(yàn)就是概率性質(zhì)的反證法故思辨推斷理屬合情推理思辨求解與思辨推斷的共同之處，都是主體基于對(duì)概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)及其結(jié)構(gòu)的透徹了解，基于對(duì)整個(gè)問(wèn)題的理解把握以及已有的知識(shí)背景，使主體能跨越邏輯的思考而進(jìn)入直念（即數(shù)學(xué)直觀，形象觀念）3，想象和直覺(jué)判斷，以推據(jù)為準(zhǔn)繩，迅速解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題2.3.2 思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的比較由于思辨數(shù)學(xué)一詞是相對(duì)于與算法數(shù)學(xué)的概念提出的，下面我們就其兩者進(jìn)行對(duì)比分析：算法數(shù)學(xué)有具體化、程序化和機(jī)械化特點(diǎn)，又有抽象性、概括性和精確性；思辨數(shù)學(xué)有抽象化、模式化和直念化特點(diǎn)，又帶有假定性、哲理性和啟示性算法有算理，比如概率的公理、定理、性質(zhì)等構(gòu)成概率算法求解

17、的基本算理算理是算法的理論基礎(chǔ)，算法是算理的具體體現(xiàn)；思辨求解和思辨推斷有推據(jù)，比如對(duì)稱性、對(duì)等性、等可能性、最大似然原理、小概率事件原理等構(gòu)成概率思辨求解和思辨推斷的推據(jù)推據(jù)是思辨的理論基礎(chǔ)，思辨求解和思辨推斷是推據(jù)的實(shí)際表達(dá)與算法相比較，算法求解依據(jù)邏輯思維、邏輯推理，思維是縱向的、條理化的；思辨數(shù)學(xué)則依據(jù)認(rèn)識(shí)之直覺(jué)，思維是跳躍性的、橫向的和發(fā)散的思辨求解的推理是非邏輯的；思辨推斷是歸納性質(zhì)的合情推理3 提出思辨數(shù)學(xué)概念對(duì)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)具有的要義關(guān)于思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的這種區(qū)分，在教學(xué)法上具有重要意義傳統(tǒng)的概率教學(xué)著眼于概率算法求解，重視運(yùn)算規(guī)則和方法技巧，注重邏輯思維能力培養(yǎng)，忽視或根本不

18、談概率思辨求解，因?yàn)樵S多概率教材的例題與習(xí)題都鮮見(jiàn)思辨求解類的素材；輕視概率統(tǒng)計(jì)課程的基本概念教學(xué)，因而造成了概率思想、統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)諸方面知識(shí)匱乏和直覺(jué)能力的缺失比如統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心，統(tǒng)計(jì)推斷是對(duì)統(tǒng)計(jì)總體的未知數(shù)量特征做出概率形式表達(dá)的推理，鑒于思維上推與證的不同而分別提出了參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)，由此構(gòu)成統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容的兩面參數(shù)估計(jì)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)所作的“ 猜想” ，而前提是樣本與總體的同分布（即樣本與總體的同質(zhì)性）的假定；假設(shè)檢驗(yàn)即對(duì)總體特征做出的一種假設(shè)，然后根據(jù)樣本信息對(duì)這一假設(shè)的支持程度做出描述前提同樣都是樣本與總體的同分布的假定從哲學(xué)層面講，它們探討的都是共性與個(gè)性的辯證關(guān)系

19、從戰(zhàn)略上看，由樣本推斷總體具有歸納性質(zhì)，從戰(zhàn)術(shù)上看，最大似然估計(jì)法與假設(shè)檢驗(yàn)的解題程式中的樣本值n x , x , , x 1 2 ? 又非具體的數(shù)值，因而具有演繹性質(zhì)，所以最大似然估計(jì)法和假設(shè)檢驗(yàn)是歸納與演繹的辯證統(tǒng)一對(duì)于統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容的教法，目前多數(shù)教學(xué)已落入算法化、程式化的俗套，把參數(shù)的最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)作為一套處理問(wèn)題的規(guī)則或算法來(lái)教； 2003 年出版的Mathematica 基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)軟件一書(shū)，把參數(shù)的最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)按算法編程由計(jì)算機(jī)來(lái)做7，毫無(wú)思想誠(chéng)然，數(shù)學(xué)教育不應(yīng)該拒絕計(jì)算機(jī)的滲透，特別是統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題常會(huì)涉及一些煩瑣的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和計(jì)算，借助于計(jì)算機(jī)可節(jié)省大量的時(shí)間和精力

20、但是，數(shù)學(xué)方法的內(nèi)核是數(shù)學(xué)思想，由于意識(shí)不到統(tǒng)計(jì)推斷是思辨數(shù)學(xué)體系，所以容易忽視產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)推斷方法所依賴的統(tǒng)計(jì)推斷思想、策略及其思維活動(dòng)過(guò)程的教學(xué)，以致學(xué)生不能目睹數(shù)學(xué)過(guò)程的形象而生動(dòng)的性質(zhì)，體悟不到統(tǒng)計(jì)推斷方法中蘊(yùn)涵的概率思想，更達(dá)不到思維訓(xùn)練之效誠(chéng)然，給學(xué)生一個(gè)可仿效的范例，就足以教會(huì)一個(gè)算法，盡管這樣的教學(xué)，學(xué)生學(xué)會(huì)了套用統(tǒng)計(jì)推斷的解題步驟，可能會(huì)做對(duì)若干道數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題，但是對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷的思想實(shí)質(zhì)和認(rèn)識(shí)機(jī)制理解不深比如，有學(xué)生在用最大似然估計(jì)法解題時(shí)，先把具體的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)帶入似然函數(shù)的表達(dá)式，再作取對(duì)數(shù)、求導(dǎo)、求極值點(diǎn)的運(yùn)算；有的學(xué)生在假設(shè)檢驗(yàn)解題中，在寫到最后一步：“ 拒絕H0” 或“ 接受

21、H0” 時(shí)就擱筆了，把“ 即認(rèn)為” 這句關(guān)鍵的陳述語(yǔ)省略了不寫不難想到，他們對(duì)樣本的二重性以及最大似然法所使用的辯證邏輯思維領(lǐng)悟不透徹；對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷所表達(dá)的非決定論的因果關(guān)系規(guī)律認(rèn)識(shí)不到位一句話，對(duì)最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)方法的本質(zhì)思想，缺少深層的思考傳統(tǒng)教學(xué)的結(jié)果只會(huì)給學(xué)生留下這樣的印象：數(shù)理統(tǒng)計(jì)是裝著一筐子的“ 算法” 這種只強(qiáng)調(diào)算法與規(guī)則的數(shù)學(xué)課程，正如只強(qiáng)調(diào)語(yǔ)法和拼寫的寫作課程一樣，都是一種本末倒置任何一門數(shù)學(xué)學(xué)科都是由概念和技巧支撐的；若能區(qū)別概率統(tǒng)計(jì)教材中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)，區(qū)分或認(rèn)識(shí)思辨數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，這就意味著預(yù)先設(shè)定將它們作為思維訓(xùn)練來(lái)教，其意義在于強(qiáng)調(diào)思辨因素，強(qiáng)調(diào)概率統(tǒng)計(jì)思想方法

22、形成的思維活動(dòng)的過(guò)程，自然也是強(qiáng)調(diào)了以概念為本的課程教學(xué)模式3.1 凸顯以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)思想以深化統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)毫無(wú)疑問(wèn)，概率論是統(tǒng)計(jì)的運(yùn)載工具，統(tǒng)計(jì)思想是統(tǒng)計(jì)方法的靈魂按照思辨數(shù)學(xué)模式講授統(tǒng)計(jì)推斷，能夠更好地揭示和表達(dá)統(tǒng)計(jì)思想，深化統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)因?yàn)樨瀼厝握摷矗骸?在某種假定（假設(shè)）之下，一方面另一方面，依推據(jù)則有” 的思辨推斷模式，勢(shì)必強(qiáng)調(diào)深刻理解概念和推據(jù)，充分展示換位思考中的思辨原理與辯證思維方法，這就凸顯了以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)推斷思想比如假設(shè)檢驗(yàn)，如果統(tǒng)計(jì)假設(shè)被理解為構(gòu)成概率計(jì)算的基礎(chǔ)的話，那么，看來(lái)極不可能的某個(gè)事件發(fā)生了，那就有悖于常理，于是統(tǒng)計(jì)假設(shè)認(rèn)為是小概率的事件的發(fā)生，將是一個(gè)反

23、對(duì)該假設(shè)的證據(jù)，并且這種概率越小，其證據(jù)越顯得強(qiáng)有力又由于在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的邏輯中，前提與結(jié)論之間的邏輯蘊(yùn)涵不再是必然的，而是一種概率蘊(yùn)涵換句話說(shuō)，概率解釋中的解釋前提是假說(shuō)，所以得到的邏輯必然的推論是可能的概率解釋而在概率解釋中，對(duì)個(gè)別事實(shí)解釋的概率性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律在每一個(gè)別情況下無(wú)法實(shí)現(xiàn)這一規(guī)律聯(lián)系著，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)規(guī)律是大數(shù)定律，它僅在大量觀察或多次試驗(yàn)中才能出現(xiàn)因此在統(tǒng)計(jì)規(guī)律上所作的關(guān)于個(gè)別事實(shí)的結(jié)論，只能解釋這一事實(shí)的可能性，而不是它的必然性因此，“ 接受”中的“ 納偽” 和“ 拒絕” 中的“ 棄真” 這兩類錯(cuò)誤不可避免的發(fā)生充分說(shuō)明了這一點(diǎn)3.2 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思辨對(duì)培育直覺(jué)能力具有獨(dú)特功效數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)思辨

24、性弗賴登塔爾指出：“ 算法是好的，數(shù)學(xué)中的常規(guī)也是不可避免的” 1誠(chéng)然，對(duì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)算法具有極大的重要性，代數(shù)、微積分、概率中都有算法當(dāng)前教學(xué)的強(qiáng)烈趨勢(shì)就是盛行算法化1將一個(gè)領(lǐng)域算法化是更容易超越該領(lǐng)域的一種方式1然而，現(xiàn)代數(shù)學(xué)之不同于古老數(shù)學(xué)，在于它強(qiáng)調(diào)的是思辨的因素而不是算法1最引人注目的新生事物，也就是引起現(xiàn)代化過(guò)程發(fā)生的事物集合論、抽象代數(shù)、分析學(xué)、拓?fù)涠际撬急娴漠a(chǎn)物它們是沖破算法的僵化的外殼噴射而出的1同時(shí)弗賴登塔爾還指出：算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)的關(guān)系是辯證的，不能把它們看作是新與舊、高與低的對(duì)立從培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的層面看，算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)好比“ 算術(shù)和幾何正是作為互相的直接對(duì)立面在智力

25、上發(fā)展起來(lái)的，但這并不表明因?yàn)橄矚g其中一個(gè)就應(yīng)該把另一個(gè)貶低相反，教學(xué)應(yīng)該將這種發(fā)展繼續(xù)下去” 8，教學(xué)應(yīng)該像重視算法數(shù)學(xué)一樣重視思辨數(shù)學(xué)，但問(wèn)題在于目前的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，人們有些重算法而輕思辨的傾向概率統(tǒng)計(jì)的思辨求解和思辨推斷解決問(wèn)題的重要策略和特點(diǎn)是：對(duì)具體問(wèn)題作具體分析，以已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為背景，在直覺(jué)領(lǐng)引下發(fā)掘問(wèn)題中蘊(yùn)含著的思辨因素，尋找到推據(jù)或生成推據(jù)，以推據(jù)為支點(diǎn)，憑借直覺(jué)展開(kāi)思辨推算或推斷其思維方式是直覺(jué)的從心理學(xué)視角看，思辨數(shù)學(xué)是直覺(jué)思辨的產(chǎn)物，它是思維對(duì)那種隱藏于數(shù)學(xué)對(duì)象深層的數(shù)學(xué)事物關(guān)系間的和諧性與規(guī)律性的感受，正是這種感受把知識(shí)空間投影和凈化成那幅心智圖像顯意識(shí)和潛意識(shí)溝通形成頓悟，進(jìn)而達(dá)到直覺(jué)思維的目標(biāo)因此，強(qiáng)調(diào)思辨數(shù)學(xué)，必然注重培育直覺(jué)能力思辨求解不僅能增加和豐富學(xué)生概率解題的方法策略，而且對(duì)其直覺(jué)思維乃至創(chuàng)新能力的培養(yǎng)大有裨益克萊因