新教材高一數(shù)學必修第二冊暑假作業(yè)第09練《簡單幾何體的表面積與體積》（解析版）

1、第09練 簡單幾何體的表面積與體積【知識梳理】知識點一 棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積【知識點的知識】側(cè)面積和全面積的定義：（1）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何體的側(cè)面積（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積柱體、錐體、臺體的表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）S圓柱表2r（r+l），S圓錐表r（r+l），S圓臺表（r2+rl+Rl+R2）知識點二 棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的知識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱sh，V錐Sh知識點三 球的體積和表面積【知識點的認識】1

2、球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球其中到定點距離等于定長的點的集合為球面2球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R，V球體3球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R，S球體4R2一選擇題（共8小題）1已知三棱錐的頂點都在球的球面上，平面，若球的體積為，則該三棱錐的體積是AB5CD【分析】先找到三棱錐的外接球的球心位置，再通過球的體積公式，勾股定理，錐體體積公式即可求解【解答】解取中點，又平面，易知點為兩與斜邊上的中點，即為三棱錐的外接球的球心，且為球的直徑，又球的體積為，在中由勾股定理可得，三棱錐的體積為，故選：【點評】本題考查三棱錐的外接球問題，球的體積公式，勾股定理，錐體體

3、積公式，屬基礎(chǔ)題2已知圓錐的底面半徑為4，高為3，則該圓錐的側(cè)面積為ABCD【分析】首先由勾股定理求出母線，再根據(jù)圓錐側(cè)面積公式能求出結(jié)果【解答】解：圓錐的底面半徑，高，母線，則該圓錐的側(cè)面積為：故選：【點評】本題考查圓錐的側(cè)面積的求法，考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征、圓錐的側(cè)面積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題3在三棱錐中，則三棱錐外接球的體積為ABCD【分析】先證明平面，再根據(jù)正弦定理求解外接圓的半徑，進而根據(jù)外接球的性質(zhì)確定球心的位置，結(jié)合直角三角形中的關(guān)系求解球半徑得到體積即可【解答】解：，又，平面在中，又，則外接圓的半徑為，取，的中點，的外心為，過作平面的垂線，過作平面的垂線交于點，即為球

4、心，連接，則四邊形為矩形，則，即三棱錐外接球的半徑為，三棱錐外接球的體積為故選：【點評】本題考查球的體積計算，關(guān)鍵是求出球的半徑，屬于中檔題4若正四面體的表面積為，則其體積為ABCD【分析】計算出正四面體的棱長，將正四面體補成正方體，計算出正方體的棱長，即可求得正四面體的體積【解答】解：設(shè)正四面體的棱長為，則該正四面體的表面積為，可得，將正四面體補成正方體，則正方體的棱長為1，所以，故選：【點評】本題考查了正四面體的體積計算，屬于基礎(chǔ)題5某企業(yè)要設(shè)計一款由圓柱和圓錐組成的油罐（如圖）（厚度忽略不計），已知圓錐的高，圓柱的高為，且底面半徑均為則油罐的表面積為ABCD【分析】求解圓錐與圓柱的側(cè)面積

5、與底面積，即可得到幾何體的表面積【解答】解：圓錐的高，圓柱的高為，且底面半徑均為則油罐的表面積為：故選：【點評】本題考查幾何體的表面積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題6已知某圓錐的母線與底面所成的角為，圓錐的體積是，則該圓錐內(nèi)切球的半徑為ABCD【分析】根據(jù)圓錐的體積以及已知條件求得底面圓半徑，進而求解結(jié)論【解答】解：因為圓錐的母線與底面所成的角為，設(shè)底面圓的半徑為，母線長為，可得，所以，且，故，所以圓錐的高，所以該圓錐的體積，解得，所以該圓錐內(nèi)切球的半徑故選：【點評】本題考查的知識要點：圓錐的內(nèi)切球的關(guān)系的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力和空間思維能力的應用，屬于基

6、礎(chǔ)題型7圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的側(cè)面積為ABCD【分析】先利用勾股定理求得圓臺的母線長，再由圓臺的側(cè)面積公式，得解【解答】解：如圖所示，圓臺上下底面圓的圓心分別為，點，是圓臺的軸截面與球的交點，過點作于點，則，所以，即圓臺的母線長為，所以圓臺的側(cè)面積故選：【點評】本題考查圓臺側(cè)面積的求法，牢記圓臺的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵，考查空間立體和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題8已知圓錐的兩條母線，且與的夾角，的面積為，圓錐的母線與圓錐的底面圓所成的角為，則圓錐的體積為ABCD【分析】由三角形的面積計算出邊長，然后根據(jù)圓錐的母線與圓錐的底面圓所成

7、的角為得出高，由圓錐的體積公式即可得出結(jié)果【解答】解：由圓錐的兩條母線，可得三角形的面積為：，設(shè)圓錐的高為，底面圓的半徑為，由圓錐的母線與圓錐的底面圓所成的角為，可得，則圓錐的體積：，故選：【點評】本題考查圓錐的體積的計算，屬于中檔題二多選題（共3小題）9如圖，四邊形為正方形，平面，記三棱錐，的體積分別為，則ABCD【分析】利用等體積法，先求出幾何體的體積，再求出三棱錐，的體積、，可得、之間的關(guān)系【解答】解：設(shè)，平面，為四棱錐的高，為三棱錐的高，平面平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，即三棱錐的高，幾何體的體積，故、正確，、錯誤故選：【點評】本題主要考查組合體的體積，熟練掌握棱錐的體積公式

8、是解決本題的關(guān)鍵10在梯形中，將沿折起，連接，得到三棱錐，則下列結(jié)論中正確的是A當平面時，B三棱錐體積的最大值為C當三棱錐體積最大時，該三棱錐外接球的表面積為D在翻折過程中，與可能垂直【分析】對于，當平面時，由此可得的值；對于，當平面平面時，三棱錐的體積最大，此時為三棱錐的高，從而容易求得體積；對于，當三棱錐的體積最大時，平面平面，求出外接球的半徑，進而得到表面積；對于，假設(shè)在翻折過程中，與垂直，過點作于點，中，推出矛盾即可判斷【解答】解：梯形中，則有，則三棱錐中，對于，當平面時，由平面，可得，則中，故選項正確；對于，在中，過作于，則，當平面平面時，三棱錐的體積最大，此時為三棱錐的高，則三棱錐

9、的體積的最大值為，故選項正確；對于，當三棱錐的體積最大時，平面平面，取中點，又，則為外接圓圓心，過作平面，則平面，則三棱錐外接球的球心在直線上，由平面平面，可知平面，則點到平面的距離為，則中點到平面的距離為，又平面，則球心到平面的距離為，又所在小圓半徑，則該三棱錐外接球的半徑，該三棱錐外接球的表面積為，故選項正確；對于，假設(shè)在翻折過程中，與垂直，在中，過點作于點，連接，又，則易知平面，又平面，則，則中，斜邊，直角邊，則斜邊直角邊，這與斜邊大于直角邊矛盾，故假設(shè)不成立，即選項錯誤故選：【點評】本題考查立體幾何中的動態(tài)翻折問題，涉及了線面垂直，三棱錐的體積計算，球的表面積計算等知識點，考查空間想象

10、能力，邏輯推理能力及運算求解能力，屬于難題11已知正方體的棱長為，則A正方體的外接球體積為B正方體的內(nèi)切球表面積為C與異面的棱共有4條D三棱錐與三棱錐體積相等【分析】對于，正方體外接球半徑，內(nèi)切球的半徑為，代入球的體積和表面積公式計算；對于，根據(jù)異面直線的定義進行判定；對于，利用等體積轉(zhuǎn)換處理【解答】解：正方體外接球的半徑，內(nèi)切球的半徑，正方體的外接球體積為，內(nèi)切球表面積，故正確，不正確；與異面的棱有，共有4條，故正確；，則三棱錐與三棱錐的高，底面積，三棱錐與三棱錐體積相等，故正確故選：【點評】本題考查命題真假的判斷，考查正方體及其外接球的結(jié)構(gòu)特征、內(nèi)切球的表面積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

11、是中檔題三填空題（共3小題）12半徑為的球面上有，四點，且直線，兩兩垂直，若，的面積之和為72，則此球體積的最小值為 【分析】設(shè)，由已知可得設(shè)，以、為鄰邊可構(gòu)造一個長方體，此時可知可求球的體積的最小值【解答】解：設(shè)，的面積之和為72，以、為鄰邊可構(gòu)造一個長方體，此時可知，即，故答案為：【點評】本題考查空間幾何體的外接球的體積問題，以及重要不等式的應用，屬中檔題13在九章算術(shù)中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑已知在鱉臑中，平面，且，則鱉臑外接球的體積是 【分析】首先求得球的半徑，然后求解其體積即可【解答】解：由題意可得外接圓的半徑，則鱉臑外接球的半徑，故鱉臑外接球的體積是故答案為：【點評

12、】本題主要考查三棱錐的外接球，球的體積計算公式等知識，屬于中等題14在三棱錐中，是邊長為2的正三角形，且平面底面，則該三棱錐的外接球表面積為 【分析】由題意作出示意圖，利用空間關(guān)系得到關(guān)于半徑的方程，解方程確定球的半徑即可求得其表面積【解答】解：如圖，是三棱錐外接球的球心，是外接圓的圓心，由球的性質(zhì)可得平面；又平面平面，取的中點，連接，又是邊長為2的等邊三角形，故且，又平面平面，平面，平面，連結(jié)過點作所以四邊形是平行四邊形，；在中，由正弦定理可得，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，在中，故，在中，且是的中點，故，在中，故，在中，故，兩邊平方得：，解得：，所以三棱錐外接球的表面積為，故答案為：【點評】

13、本題主要考查球與多面體的切接問題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題一選擇題（共7小題）15甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和若，則ABCD【分析】設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為，高分別為，則可求得，進而求得體積之比【解答】解：如圖，甲，乙兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為，高分別為，則，解得，由勾股定理可得，故選：【點評】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積求解，考查運算求解能力，屬于中檔題16已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，

14、則該球的表面積為ABCD【分析】求出上底面及下底面所在平面截球所得圓的半徑，作出軸截面圖，根據(jù)幾何知識可求得球的半徑，進而得到其表面積【解答】解：由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為，下底面所在平面截球所得圓的半徑為，如圖，設(shè)球的半徑為，則軸截面中由幾何知識可得，解得，該球的表面積為故選：【點評】本題考查球的表面積求解，同時還涉及了正弦定理的運用，考查了運算求解能力，對空間想象能力要求較高，屬于較難題目17如圖所示，一套組合玩具需在一半徑為3的球外罩上一個倒置圓錐，則圓錐體積的最小值為ABCD【分析】設(shè)變量為角，通過三角函數(shù)表示圓錐體積，從而構(gòu)建函數(shù)模型，通過函數(shù)思想求解【解答】解：設(shè)圓

15、錐底面半徑為，高為，圓錐內(nèi)切球半徑為，則，如圖作出圓錐的軸截面，內(nèi)切圓圓心為，中點為，則，高，設(shè)，則，其中，圓錐體積的體積，令，又，又，時，；，時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當時，取得最小值為，圓錐體積的最小值為，故選：【點評】本題考查空間幾何體的體積，內(nèi)切球問題，三角函數(shù)，函數(shù)思想，換元法，導數(shù)研究最值，屬中檔題18在邊長為2的菱形中，垂足為點，以所在直線為軸，其余四邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的表面積為ABCD【分析】由題意知，該幾何體由半個圓錐和半個圓臺組成，再根據(jù)圓錐和圓臺的表面積公式，即可得解【解答】解：由題意可知，該幾何體由半個圓錐和半個圓臺組成，其中圓錐的

16、底面圓的半徑為1，母線長為2，圓臺的上底面圓的半徑為1，下底面圓的半徑為2，母線長為2，高為，所以半圓錐的表面積，半圓臺的表面積，由于半圓臺和半圓錐的軸截面有一部分是重合的，所以軸截面的面積為，所以該幾何體的表面積故選：【點評】本題考查幾何體的表面積的求法，熟練掌握圓錐和圓臺的表面積公式是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感和運算求解能力，屬于中檔題19在三棱錐中，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為ABCD【分析】如圖，取的中點，連接，過作，垂足為，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知四邊形，為矩形，利用勾股定理求出、，列出關(guān)于外接球半徑的方程，求出，結(jié)合球的表面積公式計算即可【解答】解：由題意得，如圖，取的中點，連

17、接，則外接圓圓心在上，且解得，設(shè)三棱錐外接球球心為，連接，過作，垂足為，由平面平面，得，故四邊形為矩形，因為，所以，且，所以，設(shè)三棱錐外接球半徑為，有，又，所以，解得，所以三棱錐外接球的表面積為故選：【點評】本題考查三棱錐外接球的表面積，考查學生的運算能力，屬于中檔題20在一個含有底面的半球形容器內(nèi)放置三個兩兩外切的小球，若這三個小球的半徑均為3，且每個小球都與半球的底面和球面相切，則該半球的半徑ABCD【分析】設(shè)，三點是三個小球的球心，是半球的球心，是正的中心，則平面，平面，則，由，可求得再加上3可得半球半徑【解答】解：如圖，三點是三個小球的球心，是半球的球心，是正的中心，則平面，平面，則，

18、所以，所以半球半徑為故選：【點評】本題考查球，考查學生的運算能力，屬于中檔題21已知如圖三棱錐，且，則三棱錐的體積的最大值為ABCD【分析】作于，由題可得，即可求解【解答】解：，且，作于，則，設(shè)三棱錐的高為，故選：【點評】本題考查空間幾何體的體積的計算，屬中檔題一選擇題（共4小題）22在三棱錐中，則三棱錐外接球的體積為ABCD【分析】先證明平面，再根據(jù)正弦定理求解外接圓的半徑，進而根據(jù)外接球的性質(zhì)確定球心的位置，結(jié)合直角三角形中的關(guān)系求解球半徑得到體積即可【解答】解：，又，平面在中，又，則外接圓的半徑為，取，的中點，的外心為，過作平面的垂線，過作平面的垂線交于點，即為球心，連接，則四邊形為矩形

19、，則，即三棱錐外接球的半徑為，三棱錐外接球的體積為故選：【點評】本題考查球的體積計算，關(guān)鍵是求出球的半徑，屬于中檔題23在棱長為3的正方體中，為內(nèi)一點，若的面積為，則四面體體積的最大值為ABCD【分析】設(shè)與平面相交于點，由題可知平面，從而可得點的軌跡是以為原點，1為半徑的圓，進而可求得四面體體積的最大值【解答】解：設(shè)與平面相交于點，連接交于，連接，則交于點，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，同理可證得，因為，所以平面，因為平面，所以，所以是的高，因為，所以，所以點的軌跡是以為原點，1為半徑的圓，因為平面，所以平面，所以平面，所以因為為常數(shù)，所以當最大時，取得最大值，在中，設(shè)

20、到的距離為，所以，所以只要求出的最大值，就取得最大值，在四邊形中，如下圖，所以，所以，在等邊三角形中，如下圖，在高上，所以，所以到的距離是到距離的，所以的最大值為，所以四面體體積的最大值為故選：【點評】本題考查了四面體體積的計算，屬于難題24直角中，是斜邊上的一動點，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當線段的長度最小時，四面體的外接球的表面積為ABCD【分析】如圖，過點作交延長線于，過點作交于，再作，使得與交于點，設(shè)，進而得，故，當且僅當時等號成立，再根據(jù)題意，以為坐標原點，以，的方向為正方向建立空間直角坐標系，設(shè)四面體的外接球的球心為，進而利用坐標法求球心坐標，進而求出四面體外接球的半徑，表面

21、積【解答】解：根據(jù)題意，圖1的直角三角形沿將翻折到使二面角為直二面角，所以，過點作交延長線于，過點作交于，再作，使得與交于點，所以，由二面角為直二面角可得，設(shè)，即，則，因為，所以，所以，在中，在中，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，此時，在圖1中，由于，即為角的角平分線，所以，即，所以，所以，由題知，兩兩垂直，故以為坐標原點，以的方向為正方向建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)四面體的外接球的球心為，則，即即，解得，即，所以四面體的外接球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積為故選：【點評】本題考査空間幾何折疊問題中的距離最值問題，幾何體的外接內(nèi)切問題，考査空間想象能力，運算求解能力，是難題25已