不同余項(xiàng)型泰勒公式的證明與應(yīng)用講解

1、不同型余項(xiàng)泰勒公式的證明與應(yīng)用TheproofsandapplicationsofTaylorformulawithdifferenttypesofremainders專業(yè):作者:指導(dǎo)老師:湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院二o四年五月岳陽湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文 摘要本文介紹了不同型余項(xiàng)的泰勒公式，并給出了各種余項(xiàng)泰型勒公式的證明，重點(diǎn)探討了不同余項(xiàng)型泰勒公式的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：余項(xiàng)；泰勒公式；證明；應(yīng)用AbstractInthispaper,weresearchdifferenttypesofTaylorformulas，andgivetheproofofvariousTaylorr

2、emainderformula,focusontheapplicationsofthedifferenttypesofTaylorremainderformula.Keywords：Remainderterm；Taylorformula；Proof；Application目錄摘要I關(guān)鍵詞ABSTRACII0引言1泰勒公式簡介1帶四種余項(xiàng)泰勒公式的證明2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 帶佩亞諾型余項(xiàng)泰勒公式的證明2帶拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式的證明.3 HYPERLINK l bookmark68 o Current D

3、ocument 帶積分型余項(xiàng)泰勒公式的證明4帶柯西型余項(xiàng)泰勒公式的證明5泰勒公式的應(yīng)用53.1帶佩亞諾型余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用.53.2帶拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用.93.3帶積分型余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用12帶柯西型余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用.13參考文獻(xiàn)15湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文第 頁共15頁第 頁共15頁0引言泰勒公式在數(shù)學(xué)運(yùn)算中起著非常重要的作用利用帶有余項(xiàng)的泰勒公式可以簡單的解決一些復(fù)雜問題，所以對泰勒公式的綜合性研究對數(shù)學(xué)分析有重要意義泰勒展開有多種類型余項(xiàng)型，而根據(jù)處理不同問題的需要可以選擇不同的余項(xiàng)的類型.我們所學(xué)過的主要有：帶佩亞諾型余項(xiàng)、帶拉格朗日型余項(xiàng)、帶積分型

4、余項(xiàng)，帶柯西型余項(xiàng)的泰勒公式1泰勒公式簡介泰勒公式可以用若干個(gè)連加式來表示一個(gè)函數(shù)，這些相加項(xiàng)可以由函數(shù)在某一點(diǎn)(或者加上在臨近的一個(gè)點(diǎn)的n+1次導(dǎo)數(shù))的導(dǎo)數(shù)求得.但對于正整數(shù)n,如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上有連續(xù)n階可導(dǎo)，還滿足(a,b)n+1階可導(dǎo)則可任取xea,b是一定點(diǎn),則對任意xea,b下式成立f(x)=f(a)+2(x-a)+(x-a)2+f(n)(a)(x-a)n+R(x)1!2!n!nR(x)表示余項(xiàng)，下面舉出幾個(gè)我們常用的帶余項(xiàng)的泰勒公式展開:n1)-x2xneaxex=1+x+.+xn+1+R(x).2!n!(n+1)!n丿2)=1+x+x2+.+xn+R(x).n3)

5、vx2x4cosx=1+一_4!2!x6-可+-+(14)x3sinx=x+3!x5-.+(1)n5!x2n+1(2n+1)!+Rn(x).5)(1+x)“1+ax+a(a-1)x2+.+a(a-1).(a-n+1)xn+R(x)n!2!n!n2帶四種余項(xiàng)泰勒公式的證明面我們給出幾種大家常見的帶余項(xiàng)泰勒公式的證明.帶佩亞諾型余項(xiàng)泰勒公式的證明定理1若函數(shù)f在點(diǎn)x0存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有f(x)7(x)+o(x-x0)n)，即TOC o 1-5 h zf(x)f(x)+f(x)(x-x)+fx)(x-x)2+.+f()(x_x(x-x)n+o(x-x)n)(1)n!02!0n!00.證明設(shè)R(x

6、)f(x)+T(x),Q(x)(x一x)nnnn0現(xiàn)在只需證lim0.xtx0Qlx丿由關(guān)系式fk(x)T(k)(x),n1,2,.TOC o 1-5 h z0n0可知R(x)R(x).R(n)(x)0.n0n0n0并容易知Q(x)Q(x).Q(n)(x)0,Q(n)(x)n!.n0n0n0n0因?yàn)閒(n)(x)存在，0所以在點(diǎn)x的某領(lǐng)域U(x)內(nèi)f存在n-1階導(dǎo)函數(shù)f(x).于是，當(dāng)00 xeU(x)且xTx,允許連續(xù)使用洛必達(dá)法則n-1次，得到00R(x)R(x)limnlimnxtQ(x)xtxQ(x)n0n十R(n-1)(x)=limnxTx0)(x)0n=limXTx0f(n-1)(

7、x)-f(nT)(x)-fn(X)(X-X)004n!(X-X)0=limn!nXTX0=0f(n-1)(x)-f(n-1)(x0)-(x)0X-X0定理所證的(1)式稱為函數(shù)f在點(diǎn)X0處的泰勒公式,Rn(x)=f(X)-Tn(x)則稱為泰勒公式的余項(xiàng)，形如0(X-X)n)的余項(xiàng)稱為佩亞諾型余項(xiàng).即(1)又稱帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰0勒公式2.2帶拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式的證明定理2如果一個(gè)函數(shù)在a,b上有直至n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在(a,b)之間有(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則任意給出的x，xea,b，至少有一點(diǎn)gw(a,b)，使得：f(x)fn(x)f(X)二f(X0)+f(X0)(X-X0)+寺(X-X0)

8、2+令(X-X0)n+(X-X0)n丄證明設(shè)輔助函數(shù)f(n)(t)nF(t)=f(x)-f(tf(t)(x-1+(x-1)即證明的2)式為F(X0)-特G(X0)或者S二吒加則F(t)與6(t)在x,x上連續(xù)，在(x,x)內(nèi)可導(dǎo).00(t)=-e(X-t)n,n!nG(t)二-(n+1)(x-t)豐0.因?yàn)镕(x)=G(x)=0，所以由柯西中值定理證明得F(X。)=F(X。)-F(x)=F(g)=f(n+1*g)G(X0)G(X0)-G(x)-g(g)(n+1)!湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文第 頁共15頁第 頁共15頁其中g(shù)w(x0,x)u(a,b),(2)式則稱為泰勒公式

9、，該泰勒公式的余項(xiàng)為Rn(x)=f(x)-Tn(x)=(x-x0)n+1，=x0+9(x-x0)，Rn(x)=f(x)-Tn(x)(n+：)(x-x0)n+1,g=x0+9(x-x0).(091)則稱為拉格朗日型余項(xiàng)，所以該泰勒公式稱為拉格朗日型泰勒公式2.3帶積分型余項(xiàng)泰勒公式的證明定理3若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的領(lǐng)域U(x)內(nèi)有連續(xù)的n+1階導(dǎo)數(shù)，則VxuU(x),0f(x)=f(xo)+晉(x-xo)+n!f(n)(xo)(x-xo)n+R(x)-其中R(x)nJxf(+1)(s)(x-s)nds為積分型余項(xiàng)，且n!x00(x-x)n+1R(x)=0J1fn+1(x+t(x-x)(1-t)n

10、dtnn!0003)證明使用Newton-Leibniz公式和使用分部積分法，得f(x)=f(x)+Jxf(t)dt=f(x)-Jxf(t)d(x-t)00 x0 x0=f(x)+f(x)(x-x)+Jxf(x-t)dt0001x0=f(x)+f(x)(x-x)-Jxf(t)d(x-1)20002x0011x=f(x)+f(x)(x-x)+f(x)(x-x)2+Jxf(t)d(x-1)2dt0002002xx0f(x)+f(x)(x-x)+f(x)(x-x)2+.+fn(x-x)n+000200n!0+Jxf(n+1)(t)(x-t)ndtn!x0然后做變量代換s=x+1(x-x)則得到式(3

11、).002.4帶柯西型余項(xiàng)泰勒公式的證明定理4若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的領(lǐng)域U(x)內(nèi)有連續(xù)n+1階導(dǎo)數(shù)，則VxeU(x)，有0f(x)=f(x)+fW)(x-x)+.+-2(x-x)n+R(x).01!0n!0(091)特別當(dāng)x=0，0則又有簡其中R(x)=f(n+1)(x+9(x-x)(1-9)n(x-x)n+1,nn!000單形式R(x)=f(n+l)(9x)(l-9)nxn+1n!(090，設(shè)輔助函數(shù)0(t)=f(x)-才八;(xt),k!k=0此時(shí)令對0(t)與申(t)應(yīng)用柯西中值公式，知存在ge(0,x)使得n!R(x)=0(x)-0(0)=0(g)=f(n+1)(g)(x-g)nxn

12、+10(x)-0(0)0(g)此時(shí)，令g=9x(091).即得到式(4).3泰勒公式的應(yīng)用帶佩亞諾型余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用3.1.1利用佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式判別函數(shù)的極值應(yīng)用帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，將函數(shù)的極值的第二充分條件進(jìn)行推廣，借助高階導(dǎo)數(shù)，可得到極值的另一種判別法.若f(x)在點(diǎn)x0及鄰域U(x0)內(nèi)具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且1)f(x)=f(x)二=f(n-1)(x)=0,f(n)(x)豐0，0000若n為奇數(shù)，則x不是極值點(diǎn);0(2)若n為偶數(shù)，則當(dāng)/(n)(x)0,f(x)為極小值.0000證明由已知條件及泰勒公式有f(x)=f(x)+fx2(x-x)n+o(x-x)n，貝V0n!00f

13、(x)-f(x)=-2(x-x)n+o(x-x)n0n!00由于f(n)(x)豐0，則存在點(diǎn)x的某一鄰域U(x)，使得xeU(x)時(shí)式(1)等號右端由第0000一項(xiàng)符號決定若n為奇數(shù)，在點(diǎn)x的某一鄰域U(x)內(nèi)，當(dāng)xx時(shí)，(x-x)n0；0000若n為偶數(shù)且f(n)(x)0時(shí)，有f(x)-f(x)0即對一切xeU(x)f(x)0，f(x)為極小值.000當(dāng)xx，(x-x)n0，即x的左右側(cè)，式(1)的右端異號，所以x是非極值0000點(diǎn).例1求函數(shù)f(x)=x4(x+2)3的極值.8解由于f(x)=x3(x+2)2(7x+8)，所以x=0,x=-2,x=-7是函數(shù)的駐點(diǎn)，求f(x)8的二階導(dǎo)數(shù)f

14、(x)=6x2(x+2)(7x2+16x+8)得f(0)=0,f(-2)=0,f(-7)0，所以f(x)在x=-時(shí)取得極大值.73.1.2未定極限與無窮小的應(yīng)用在利用泰勒公式求極限時(shí)，首先看清楚所求極限的形式，然后根據(jù)所學(xué)的再來對極限進(jìn)行泰勒展開.例2求極限limCSx-曠2.20sin4x極限中分母的次數(shù)是4,現(xiàn)在把cosx，e-7展開到x的4次冪,cosx=1一x2+x4+o(x4)2!4!x2x21x2e2=1+()2+o(x4)22!2故cosx一e2limxtosin4x(丄x4+0(x4)=lim4!80 x4112.例3求極限lim；1+x+、1x一2.5x2分析因?yàn)榉肿又杏懈?/p>

15、項(xiàng)，可以運(yùn)用洛必達(dá)法則來解決問題，但是步驟繁瑣只要我們使用泰勒公式來求解，問題就簡單了.解將耳1+x和1x在x=0處點(diǎn)的麥克勞林公式展開x2項(xiàng)得J1+x=1+o(x2)和心1x=1+o(x2).28281+x+x2limTOC o 1-5 h zxtOx2x2(I+x1)+(：1x1)=limxtOxx2xx2(1+o(x2)+(1+o(x2)=lim2_828xtOx2=lim+o(x2)8xtOx2例4確定a的值，使得函數(shù)xx2+x2ex3sinx+2sinxcosx與x為同階無窮小.湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文6)第 頁共15頁6)第 頁共15頁a=3因?yàn)閤-x2+x

16、2ex-3sinx+2sinxcosx=x-x2+x2(1+x+o(x3)-3(x-+o(x3)+(2x-8-+O(x3)266=6x3+o(x3).例5已知極限limx-arCtanx=c，其中k,c為常數(shù)，且c豐0，求k,c.xt0 xkx-arctanxlimxtO因?yàn)閏為常數(shù)，所以k-3二0,xk1-=limxt0kxk-1x2=lim!xt0kxk-11=limlxt0kxk-3=lim-.xt0kxk-3即k=3，因此c=33.1.3求行列式的值要用泰勒公式余項(xiàng)來計(jì)算行列式的基本思路：首先要知道所求行列式的基本特點(diǎn)，構(gòu)造與該行列式相對應(yīng)的行列式函數(shù)，然后再把這個(gè)行列式函數(shù)在某點(diǎn)按泰

17、勒公式展開，最后求出行列式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)值即可.例66求n階行列式xyyyzxyyD=.z.zxyzzzzx5)解記f(x)=D按泰勒公式在z處展開:n，f(x)=f(z)+罟(x-z)+埒(x-z)2+斗n1!2!n!湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文第 #頁共15頁第 頁共15頁第 頁共15頁易知D=kz-y0z-y7)由(7)得，f(z)=z(z-y)k-1,k=1,2,.,n時(shí)都成立根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則，有kn-2TOC o 1-5 h zf(x)=nf(x),f(x)=(n-l)f(x)，廣(x)=2f(x),f(x)=1(因?yàn)?(x)=x).n

18、n-1nTn-22111于是f(x)在x=z處的各階導(dǎo)數(shù)為nf(z)=f(z)|=nf(z)=nz(z-y)n-2nnx=zn-1f(z)=f(z)|=nf(z)=n(n-1)z(z-y)n-3nnx=zn-1fn-1(z)二fn-11二n(n-1”2f(z)二n(n-1)2znnx=z1f(n)(z)=n(n-1”2n把以上各導(dǎo)數(shù)代入(6)式中,有nn(n-1)f(x)=z(z-y)n-1+z(z-y)n-2(x-z)+z(z-y)n-3(x-z)2n1!2!n(n-12)/、n(n-1”21/、+z(x-z)n-1+(xz)n.若z工y,有f(x)=z(x-y)n-y(x-z)nnz-y(

19、n-1)!n!若z二y,有/(x)=(x-y)n-1x+(n-1)y,n帶拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用3.2.1證明中值公式例7設(shè)f(x)在區(qū)間上三階可導(dǎo)，試證3ce(a,b)使得f(b)=f(a)+f(乎)(b-a)+右f(c)(b-a)3.證明設(shè)下式成立的實(shí)數(shù)f(b)f(a)f(2)(ba)24f(c)(ba)3=0現(xiàn)在就要證明3ce(a,b),使得k=f(c)(10),令11)g(x)-/(x)-/(a)-/(2)(x-a)-24(x-a)3則g(a)-g(b)-0,由羅爾定理，e(a,b)使得g(g)-0由(11)式得12)f(G-f(學(xué))+f(學(xué))(竽)-8(a-g)2-02228上

20、式是關(guān)于k的方程，則f(g)在點(diǎn)圧處的泰勒公式2k1f(g)-f(寧)-廠(于)(子)+2小)(子)213)3ce(a,b)，比較(12)(13)式有(a-g)2-f(c)(a-g)2，則k-f(c)，從而得到88(8).322證明不等式和等式在證明不等式的問題中，我們經(jīng)常遇到題中的有高階導(dǎo)數(shù)，我們就可以選擇合適的泰勒展開點(diǎn)，而且展開的最高階導(dǎo)數(shù)不得超過題中給出的最高階導(dǎo)數(shù)，最后用高階導(dǎo)數(shù)的放大有界性進(jìn)行放縮，得到要證明的不等式.對泰勒公式的展開點(diǎn)x和被展開點(diǎn)的x0的選擇是有講究的，因?yàn)檎归_的階數(shù)和項(xiàng)數(shù)都可能根據(jù)需要而改變.例8設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上二階可導(dǎo)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)取到最

21、大值-，且2二階導(dǎo)數(shù)滿足If(x)l2，證明If(0)+f(1)12證明設(shè)xe(0,1)為函數(shù)最大值點(diǎn)，則f(x)-1且f(x)-0把函數(shù)f(x)在x-0,10020處的值用x處的帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式表示，且最高導(dǎo)數(shù)為2，則0f(0)-f(x)+f(x)(0-x)+1f臨)(0-x)2-1+1f臨)x2,ge(0,x),000210221010f(1)-f(x)+f(x)(1-x)+1f(g)(1-x)2-1+1f(g)(1-x)2,ge(x,1).000220222020于是If(0)I+If(1)I1+x2+(1-x)21+1=2不等式得證.00例9證明limnsin(2兀en!)-2

22、兀xT8證明由泰勒公式，可知湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文第 頁共15頁第 頁共15頁n11e=lk+時(shí)e00nhe=丄+1+k=0k!(n+1)!(n+2)!1e0n+1,0e1,n+1將上述兩式兩邊相減，得e0.=+e0.(n+1)!n+1(n+1)!(n+2)!n+1e0n=1+e0n+1(n+2)!lime0”=1+lim-e0n+1x*xt(n+2)!n+12兀en!=2兀(1+111+.+1!2!于是=2kk+王eq,(n+1)!k=n!(1+丄+丄+.+丄),1!2!n!nsin(2兀en!)=nsin丄en+1=2兀弋ee”sin(二ee”)/(二ee,)n+

23、1n+1n+1limnsin(2兀en!)=lim2兀e0nsin2e0n)/(丄e0n)x*xTsn+1n+1n+1=2兀3.2.3計(jì)算近似值的應(yīng)用一些數(shù)值的近似計(jì)算和函數(shù)的近似計(jì)算式可以利用泰勒公式得到函數(shù)的近似計(jì)算式利用f(x)麥克勞林展開得到f(0)fn(0)f(x)心f(0)+f(0)X+2rX2+Xnn!誤差是余項(xiàng)R(x)n湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文第 頁共15頁第 頁共15頁例10計(jì)算lg11的值,準(zhǔn)確到10-5.解lg11=lg(1O+1)=1+lg(1+10)=1+ln10ln(1+10)因?yàn)閤2x3xnxn+1ln(1+x)x+(1)n1+(1)n23

24、n(n+1)(1+0 x)n+100-1要使|(-1)n10-(n+1)|10-n+1105-(n+1)=104-n,取n=4,故lg11=1+(-+)1.041396ln10102003000400003.3帶積分型余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用3.3.1定積分計(jì)算當(dāng)題目或者問題條件出現(xiàn)具有二階導(dǎo)二階以上的連續(xù)導(dǎo)，可以考慮泰勒公式.例11計(jì)算f1ex(1-x)ndx(ngN+)0解設(shè)f(x)=ex貝yf(n+嘰x)=ex由公式有f1ex(1-x)ndx=n!(ei一eo一eol一.一eoln)on!=n!(e一2一-.一丄)2!n!.例12計(jì)算f1xm(1-x)ndx0.j1Xm(1-X)ndx=jlX

25、m+n+im!丿d,(1-x)ndx(m+n+1)!,m!=n!_(m+n+1)!n!m!(m+n+1)!3.4帶柯西型余項(xiàng)型泰勒公式的應(yīng)用3.4.1初等函數(shù)的冪級數(shù)的展開式中的應(yīng)用例13證明若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,+s)內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)+f(x)=0，則xslimf(x)=0證明令F(x)=f(x)ex,G(x)=ex，顯然，G(x)豐0已知limf(x)+f(x)=0,xs即ve0,3A0,VxA，有If(x)+f(x)lA，根據(jù)柯西中值定理，有F(x)-F(A)=F(C)G(x)-G(A)=G(C)f(x)f(A)eA-x=f(x)exf(A)eA=f(c)+f(c)1-eA-

26、xex-eA或If(x)IA，VxA，有eA-xe與eA-xA，有1If(x)IIf(A)Ie+2e=(If(A)I+2)8,即limf(x)=0 xT8例14設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上可微，且a與b同號，證明：玉w(a,b)，使得(1)2gf(b)-f(a)=(b2-a2)f程).湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文湖南理工學(xué)院本科畢業(yè)論文第 頁共15頁第 頁共15頁b(2)f(a)-f(b)=g(In-)廣化).a證明(1)將原不等式變形為f-f)二學(xué)知，只要引入輔助函數(shù)g(x)二x2.由TOC o 1-5 h zb2一a22g于f(x)，g(x)在(a,b)上滿足柯西中值定理?xiàng)l件，所以北w(a,b)f(b)f(a)二f憶)b2一a22g即2gf(b)一f(a)二(b2-a2)f生).(2)將原不等式變形為f(b)一f(a)二半知，只要引入輔助函數(shù)g(x)=lnlxI，InIbI-lnlaI1由于f(x)，g(x)在(a,b)上滿足柯西中值定理?xiàng)l件，所以北w(a,b)，使f(b)一f(a)f代)”)lnlbI-lnlaI二T)，即bbf(b)-f(a)=7lnIIf(g)Mln(-)fg)aa總結(jié)從大量的應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)很多問題用泰勒公式去解決很容易，也很簡單，同時(shí)靈活巧妙的應(yīng)用泰勒公式卻不容易.當(dāng)然，不同余項(xiàng)的泰勒公式之間是可以轉(zhuǎn)換的，但是，不同的余項(xiàng)型在解決不同的類型的問題時(shí)有