破解函數(shù)問題的屠龍刀

1、破解函數(shù)問題的屠龍刀在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)就象一條巨龍，貫穿各個(gè)學(xué)段特別這條“巨龍”有兩個(gè)壞脾氣，一是單調(diào)性，一個(gè)是最值一些同學(xué)往往沒辦法將這條“巨龍”制服，學(xué)了導(dǎo)數(shù)以后，相信同學(xué)們手中就會(huì)有一把“屠龍刀”一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果恒有，那么函數(shù)這在個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果恒有，那么函數(shù)這在個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)然在區(qū)間內(nèi)，如果恒有，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)不具單調(diào)性對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說，和分別是是在情況區(qū)間的遞增和遞減的充分非必要條件友情提醒：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（遞減）的充要條件是：在區(qū)間內(nèi)恒有（）且不存在區(qū)間（）（）使函數(shù)在區(qū)間（）內(nèi)恒有如果一個(gè)函數(shù)在某一個(gè)范圍導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那

2、么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快，這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“陡峭”，（時(shí)向上，時(shí)向下），反之，函數(shù)的圖象就越“平緩”根據(jù)上面的知識(shí)我們可以總結(jié)出利用導(dǎo)數(shù)判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的步驟是：（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和；（3）確定單調(diào)區(qū)間友情提醒在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)例1：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖1所示，則函數(shù)的圖象是（ ）解：根據(jù)的圖象知在，說明的對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞增的，在（0，2）小于零，說明在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是遞減的，故選C二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值已知函數(shù)，設(shè)是定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)如果對(duì)附近的的所有的點(diǎn)，都有，則稱函數(shù)在點(diǎn)處取

3、得極大值，記作，并把（）稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)如果附近都有，則稱函數(shù)在點(diǎn)（）取得極小值，記作，并把（）稱為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)友情提醒特別值得一提的是：函數(shù)的極值是在此函數(shù)的某個(gè)點(diǎn)的附近的小區(qū)間而言，在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)可比可能存在多個(gè)的極大值和極小值，且極大值不一定比極小值大利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟是：（1） 求導(dǎo)函數(shù)；（2） 求=0的所有的實(shí)數(shù)根（3） 考察每個(gè)根附近，從左往右，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)是如何變化的，如果的符號(hào)由正變負(fù)，則，則是極大值，如果的符號(hào)由負(fù)變正，則是極小值友情提醒：點(diǎn)（是可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是=0的充分非必要條件可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)（處取

4、得極值的充要條件是=0且在處附近的兩端異號(hào)例2：函數(shù)在區(qū)間-4，6上的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 個(gè)解：首先導(dǎo)函數(shù)=0的點(diǎn)主要有A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)，顯然E點(diǎn)中附近導(dǎo)數(shù)的兩端是同號(hào)，也就不是極值點(diǎn)在A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)A與點(diǎn)C的附近的導(dǎo)函數(shù)由負(fù)變正，即它們是極大值點(diǎn)故應(yīng)填2個(gè)三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值如果（）是函數(shù)的最大（?。┲?，那么不?。ù螅┯诤瘮?shù)在相應(yīng)區(qū)間上的所有的函數(shù)值一般地，如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的步驟是：（1）求（2）在（）內(nèi)的點(diǎn)（3）計(jì)算函數(shù)的所有的極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值，然后進(jìn)行比較確定友情提醒：極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)而最值就是反映一個(gè)整體的性質(zhì)不論是求函數(shù)的單調(diào)性還是利函數(shù)求極值、最值，在第（3）步時(shí)都可用列表法來解決例3已知，.( I )求的導(dǎo)函數(shù);( II )若，求在上的最大值和最小值解：（1）( II )由，得，則，.令，解得或.當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，的變化情況如下表：1200極大值極小值3又，- 所以在區(qū)間的最大值為，最小值