2022年高考理科《數(shù)學(xué)》人教A版總復(fù)習(xí)練習(xí)題-考點(diǎn)規(guī)范練39　空間幾何體的表面積與體積

1、考點(diǎn)規(guī)范練39空間幾何體的表面積與體積考點(diǎn)規(guī)范練A冊(cè)第26頁基礎(chǔ)鞏固1.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=()A.1B.2C.4D.8答案:B解析:由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個(gè)圓柱被過圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成的.其表面積由一個(gè)矩形的面積、兩個(gè)半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個(gè)球的表面積的一半組成.故S表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積

2、(單位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案:C解析:由三視圖可知該幾何體為直四棱柱.S底=12(1+2)2=3,h=2,V=Sh=32=6.3.(2020全國(guó),理10)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),O1為ABC的外接圓.若O1的面積為4,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為()A.64B.48C.36D.32答案:A解析:由題意知O1的半徑r=2.由正弦定理知ABsinC=2r,OO1=AB=2rsin 60=23,球O的半徑R=r2+|OO1|2=4.球O的表面積為4R2=64.4.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖由矩形和等腰直角三角形組成,側(cè)視圖由半圓和等腰直角三

3、角形組成,俯視圖的實(shí)線部分為正方形,則該幾何體的表面積為()A.3+42B.4(+2+1)C.4(+2)D.4(+1)答案:A解析:由三視圖知幾何體的上半部分是半圓柱,圓柱的底面半徑為1,高為2,其表面積為S1=1222+12=3,下半部分為正四棱錐,底面棱長(zhǎng)為2,斜高為2,其表面積S2=41222=42,所以該幾何體的表面積為S=S1+S2=3+42.5.已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為()A.323B.4C.2D.43答案:D解析:因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對(duì)角線的一半,所以半徑r=1212+12+(2)2=1,所以V球=4313=

4、43.故選D.6.九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米有()(注:尺、斛均為非國(guó)際通用單位)A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案:B解析:設(shè)底面圓半徑為R,米堆高為h.米堆底部弧長(zhǎng)為8尺,142R=8,R=16.體積V=1413R2h=1121625.3,V3209(立方尺).堆放的米約有32091.6222

5、(斛).7.點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)球的球面上,AB=BC=6,ABC=90.若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個(gè)球的表面積為()A.2B.4C.8D.16答案:D解析:由題意,知SABC=3,設(shè)ABC所在球的小圓的圓心為Q,則Q為AC的中點(diǎn),當(dāng)DQ與面ABC垂直時(shí),四面體ABCD的最大體積為13SABCDQ=3,DQ=3,如圖,設(shè)球心為O,半徑為R,則在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,R=2,則這個(gè)球的表面積為S=422=16.故選D.8.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFG

6、H后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.答案:118.8解析:由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為46-41223=12(cm2),點(diǎn)O到平面BB1C1C的距離為3 cm,則此四棱錐的體積為V1=13123=12(cm3).又長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=466=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其質(zhì)量為0.9132=118.8(g).9.已知棱長(zhǎng)為4的正方體被一平面

7、截成兩個(gè)幾何體,其中一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是.答案:32解析:由三視圖,可得棱長(zhǎng)為4的正方體被平面AJGI截成兩個(gè)幾何體,且J,I分別為BF,DH的中點(diǎn),如圖,兩個(gè)幾何體的體積各占正方體的一半,則該幾何體的體積是1243=32.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,俯視圖是直角邊的長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),則三棱錐P-A1MN的體積是.答案:124解析:由題意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1,如圖所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.M,N

8、,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),MN=12,NP=1.SMNP=12121=14.點(diǎn)A1到平面MNP的距離為AM=12,VP-A1MN=VA1-MNP=131412=124.11.已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在以O(shè)為球心的球面上,若球O的表面積為1483,則三棱錐O-ABC的體積為.答案:333解析:設(shè)球的半徑為R,則4R2=1483,解得R2=373.設(shè)ABC所在平面截球所得的小圓的半徑為r,則r=23322=233.故球心到ABC所在平面的距離為d=R2-r2=373-43=11,即為三棱錐O-ABC的高,所以VO-ABC=13SABCd=13342211=

9、333.12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形,側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為3、寬為1的矩形,俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的表面積S.解:(1)由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖),其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,高為3,所以V=113=3.(2)由三視圖可知,在該平行六面體中,A1D平面ABCD,CD平面BCC1B1,所以AA1=2,側(cè)面ABB1A1,CDD1C1均為矩形.S=2(11+13+12)=6+23.能力提升13.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且ADE,BCF均為正三角

10、形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為()A.23B.33C.43D.32答案:A解析:如圖,分別過點(diǎn)A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,容易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,所以SAGD=SBHC=12221=24.所以V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=1324122+241=23.14.芻薨(chu hong),中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體,九章算術(shù)中記載“芻薨者,下有褒有廣,而上有褒無廣.芻,草也.薨,屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱,芻薨字面意思為茅草屋頂”.一芻薨的

11、三視圖如圖所示,其中正視圖為等腰梯形,側(cè)視圖為等腰三角形,若用茅草搭建它,則覆蓋的面積至少為()A.65B.75C.85D.95答案:C解析:茅草覆蓋面積即為幾何體的側(cè)面積.由題意可知,該幾何體的側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形.其中,等腰梯形的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,高為22+12=5;等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2,高為22+12=5.故側(cè)面積為S=212(2+4)5+21225=85.即需要茅草覆蓋面積至少為85,故選C.15.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),CEF=90,則球O的體積為()A

12、.86B.46C.26D.6答案:D解析:設(shè)PA=PB=PC=2x.E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),EFPB,且EF=12PB=x.ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,CF=3.又CEF=90,CE=3-x2,AE=12PA=x.在AEC中,由余弦定理可知cosEAC=x2+4-(3-x2)22x.作PDAC于點(diǎn)D,PA=PC,D為AC的中點(diǎn),cosEAC=ADPA=12x.x2+4-3+x24x=12x.2x2+1=2.x2=12,即x=22.PA=PB=PC=2.又AB=BC=AC=2,PAPBPC.2R=2+2+2=6.R=62.V=43R3=43668=6.故選D.16.如圖,圓形紙片的圓心為

13、O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),DBC,ECA,FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.答案:415解析:如圖所示,連接OD,交BC于點(diǎn)G.由題意知ODBC,OG=36BC. 設(shè)OG=x,則BC=23x,DG=5-x,三棱錐的高h(yuǎn)=DG2-OG2=25-10 x+x2-x2=25-10 x.因?yàn)镾ABC=1223x3x=33x2,所以三棱錐的體積V=13SABCh=3x2

14、25-10 x=325x4-10 x5.令f(x)=25x4-10 x5,x0,52,則f(x)=100 x3-50 x4.令f(x)=0,可得x=2,則f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,在2,52單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(2)=80.所以V380=415,所以三棱錐體積的最大值為415.17.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F的平面與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖.(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為兩棱柱底面積之比,即9779也正確.高考預(yù)測(cè)18.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=3,ASC=BSC=30,則棱錐S-ABC的體積為()A.33B.23C.3D.1答案:C解析:如圖,過A作AD垂直SC于D,連接BD.因?yàn)镾C