一輪復(fù)習(xí)北師大版 36 空間向量及其運(yùn)算 作業(yè)

1、課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(三十六)A組全考點(diǎn)鞏固練1已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，則實(shí)數(shù)的值為()A2 Beq f(14,5)Ceq f(14,3) D2D解析：ab(2,1,3)(，2，)(2,12，3)，a(2,1,3)若a(ab)，則2(2)123(3)0，解得2故選D2(2022江西新余月考)已知a(t,12，3)，b(2，t2,1)，若ab，則實(shí)數(shù)t的值為()A5 B6 C4 D3B解析：因?yàn)閍(t,12，3)，b(2，t2,1)，且ab，所以存在實(shí)數(shù)，使得ab，即(t,12，3)(2，t2,1)，所以eq blcrc (avs4alco1(t2，,12(t2)，,3，)

2、解得eq blcrc (avs4alco1(3，,t6.)故選B3如圖，在三棱錐OABC中，點(diǎn)P，Q分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段PQ上一點(diǎn)，且eq o(PD,sup7()2eq o(DQ,sup7()若記eq o(OA,sup7()a，eq o(OB,sup7()b，eq o(OC,sup7()c，則eq o(OD,sup7()()Aeq f(1,6)aeq f(1,3)beq f(1,3)c Beq f(1,3)aeq f(1,3)beq f(1,3)cCeq f(1,3)aeq f(1,6)beq f(1,3)c Deq f(1,3)aeq f(1,3)beq f(1,6)cA解析：

3、eq o(OD,sup7()eq o(OP,sup7()eq o(PD,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)eq o(PQ,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)(eq o(OQ,sup7()eq o(OP,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)eq o(OQ,sup7()eq f(2,3)eq o(OP,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)eq f(1,2)(eq o(OB,sup7()eq o(OC,sup7()eq f(2,3)eq

4、f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(1,6)eq o(OA,sup7()eq f(1,3)eq o(OB,sup7()eq f(1,3)eq o(OC,sup7()eq f(1,6)aeq f(1,3)beq f(1,3)c故選A4已知平面內(nèi)有一點(diǎn)M(1，1,2)，平面的一個(gè)法向量為n(6，3,6)，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)A解析：對于選項(xiàng)A，eq o(MP,sup7()(1,4,1)，所以eq o(MP,sup7()n61260，所以eq o(MP,sup7()n，所以點(diǎn)P在平面內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他

5、三個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)故選A5如圖，在大小為45的二面角AEFD中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是()Aeq r(3) Beq r(2) C1 Deq r(3r(2)D解析：因?yàn)閑q o(BD,sup7()eq o(BF,sup7()eq o(FE,sup7()eq o(ED,sup7()，所以|eq o(BD,sup7()|2|eq o(BF,sup7()|2|eq o(FE,sup7()|2|eq o(ED,sup7()|22eq o(BF,sup7()eq o(FE,sup7()2eq o(FE,sup7()eq o(ED,sup7()2eq o(BF,s

6、up7()eq o(ED,sup7()111eq r(2)3eq r(2)，故|eq o(BD,sup7()|eq r(3r(2)6(多選題)設(shè)幾何體ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，A1C與B1D相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是()Aeq o(A1B1,sup7()eq o(AC,sup7()a2 Beq o(AB,sup7()eq o(A1C,sup7()eq r(2)a2Ceq o(CD,sup7()eq o(AB1,sup7()a2 Deq o(AB,sup7()eq o(A1O,sup7()eq f(1,2)a2ACD解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(a,0,0)，B(a

7、，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，A1(a,0，a)，B1(a，a，a)，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，f(a,2)，所以eq o(A1B,sup7()1(0，a,0)，eq o(AC,sup7()(a，a,0)，eq o(AB,sup7()(0，a,0)，eq o(A1C,sup7()(a，a，a)，eq o(CD,sup7()(0，a,0)，eq o(AB,sup7()1(0，a，a)，eq o(A1O,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，f(a,2)所以eq o(A1B1,sup7()e

8、q o(AC,sup7()a2，故A對；eq o(AB,sup7()eq o(A1C,sup7()a2，故B錯(cuò)；eq o(CD,sup7()eq o(AB,sup7()1a2，故C對；eq o(AB,sup7()eq o(A1O,sup7()eq f(1,2)a2，故D對故選ACD7已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VAVBVCVD，eq o(VP,sup7()eq f(1,3)eq o(VC,sup7()，eq o(VM,sup7()eq f(2,3)eq o(VB,sup7()，eq o(VN,sup7()eq f(2,3)eq o(VD,sup7()則VA與平面PMN的位置關(guān)系是_平

9、行解析：如圖，設(shè)eq o(VA,sup7()a，eq o(VB,sup7()b，eq o(VC,sup7()c，則eq o(VD,sup7()acb，由題意知eq o(PM,sup7()eq f(2,3)beq f(1,3)c，eq o(PN,sup7()eq f(2,3)eq o(VD,sup7()eq f(1,3)eq o(VC,sup7()eq f(2,3)aeq f(2,3)beq f(1,3)c因此eq o(VA,sup7()eq f(3,2)eq o(PM,sup7()eq f(3,2)eq o(PN,sup7()，所以eq o(VA,sup7()，eq o(PM,sup7()，e

10、q o(PN,sup7()共面又VA平面PMN，所以VA平面PMN8已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，點(diǎn)A(3，1，4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|(2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得eq o(OE,sup7()b？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由(O為原點(diǎn))解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|eq r(02(5)252)5eq r(2)(2)令eq o(AE,sup7()teq o(AB,sup7() (tR)，所以eq o(OE,sup7()eq o(OA,sup7()eq o(AE,sup7()eq o(OA,sup7()

11、teq o(AB,sup7()(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)若eq o(OE,sup7()b，則eq o(OE,sup7()b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得teq f(9,5)因此存在點(diǎn)E，使得eq o(OE,sup7()b，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,5)，f(14,5)，f(2,5)9如圖，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分別為棱AB，BB的中點(diǎn)(1)求證：CEAD；(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值解：(方法一)因?yàn)镃C平面ABC且CACB，所以以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC所

12、在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系令A(yù)CBCAA2，則A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A(2,0,2)，B(0,2,2)，E(0,2,1)，D(1，1,0)(1)證明：eq o(CE,sup7()(0,2,1)，eq o(AD,sup7()(1,1，2)因?yàn)閑q o(CE,sup7()eq o(AD,sup7()0220，所以eq o(CE,sup7()eq o(AD,sup7()，所以CEAD(2)解：因?yàn)閑q o(AC,sup7()(2,0,2)，所以coseq o(CE,sup7()，eq o(AC,sup7()eq f(o(CE,sup7()o(

13、AC,sup7(),|o(CE,sup7()|o(AC,sup7()|)eq f(2,r(5)r(8)eq f(r(10),10)，即異面直線CE與AC所成角的余弦值為eq f(r(10),10)(方法二)設(shè)eq o(CA,sup7()a，eq o(CB,sup7()b，eq o(CC,sup7()c，根據(jù)題意得|a|b|c|，且abbcca0(1)證明：eq o(CE,sup7()beq f(1,2)c，eq o(AD,sup7()eq o(CD,sup7()eq o(CA,sup7()eq f(1,2)(eq o(CA,sup7()eq o(CB,sup7()(eq o(CA,sup7()

14、eq o(AA,sup7()eq f(1,2)eq o(CA,sup7()eq f(1,2)eq o(CB,sup7()eq o(AA,sup7()eq f(1,2)aeq f(1,2)bc，所以eq o(CE,sup7()eq o(AD,sup7()eq f(1,2)abeq f(1,2)b2bceq f(1,4)aceq f(1,4)bceq f(1,2)c20，所以eq o(CE,sup7()eq o(AD,sup7()，即CEAD(2)解：因?yàn)閑q o(AC,sup7()ac，|eq o(AC,sup7()|eq r(2)|a|，|eq o(CE,sup7()|eq f(r(5),2)

15、|a|，eq o(AC,sup7()eq o(CE,sup7()(ac)eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)c)eq f(1,2)c2eq f(1,2)|a|2，所以coseq o(AC,sup7()，eq o(CE,sup7()eq f(o(AC,sup7()o(CE,sup7(),|o(AC,sup7()|o(CE,sup7()|)eq f(f(1,2)|a|2,r(2)f(r(5),2)|a|2)eq f(r(10),10)，即異面直線CE與AC所成角的余弦值為eq f(r(10),10)B組新高考培優(yōu)練10已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，若動點(diǎn)P在線段

16、BD1上運(yùn)動，則eq o(DC,sup7()eq o(AP,sup7()的取值范圍是()A(0,1) B0,1)C0,1 D1,1C解析：如圖所示，由題意，設(shè)eq o(BP,sup7()eq o(BD1,sup7()，其中0,1，eq o(DC,sup7()eq o(AP,sup7()eq o(AB,sup7()(eq o(AB,sup7()eq o(BP,sup7()eq o(AB,sup7()(eq o(AB,sup7()eq o(BD1,sup7()eq o(AB,sup7()2eq o(AB,sup7()eq o(BD1,sup7()1eq r(3)eq blc(rc)(avs4alc

17、o1(f(r(3),3)10,1因此eq o(DC,sup7()eq o(AP,sup7()的取值范圍是0,111如圖，斜線段AB與平面所成的角為eq f(,4)，B為斜足平面上的動點(diǎn)P滿足PABeq f(,6)，則點(diǎn)P的軌跡為()A圓 B橢圓C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分B解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)B(0,1,0)，A(0,0,1)，P(x，y,0)eq o(AB,sup7()(0,1，1)，eq o(AP,sup7()(x，y，1)coseq o(AB,sup7()，eq o(AP,sup7()eq f(y1,r(2)r(x2y21)eq f(r(3),2)3x2(y2)2

18、3，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓故選B12(多選題)已知空間向量a(2，1,1)，b(3,4,5)，則下列結(jié)論正確的是()A(2ab)aB5|a|eq r(3)|b|Ca(5a6b)Da與b夾角的余弦值為eq f(r(3),6)BCD解析：對于A，因?yàn)?ab(1,2,7)，所以eq f(1,2)eq f(2,1)eq f(7,1)，A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)閨a|eq r(411)eq r(6)，|b|eq r(91625)5eq r(2)，所以5|a|eq r(3)|b|5eq r(6)，B正確；對于C，因?yàn)閍(5a6b)5a26ab306(645)0，所以a(5a6b)，C正確；對于D，因?yàn)閍b6455

19、，所以cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(5,r(6)5r(2)eq f(r(3),6)，D正確故選BCD13(多選題)(2021廣東梅州二模)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AA13，點(diǎn)M，N分別在棱AB和BB1上運(yùn)動(不含端點(diǎn))若D1MMN，則下列命題正確的是()AMNA1MBMN平面D1MCC線段BN長度的最大值為eq f(3,4)D三棱錐C1A1D1M體積不變ACD解析：在正方體ABCDA1B1C1D1中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3

20、,0)設(shè)M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z(0,3)，eq o(D1M,sup7()(3，y，3)，eq o(MN,sup7()(0,3y，z)，而D1MMN，則eq o(D1M,sup7()eq o(MN,sup7()y(3y)3z0zeq f(1,3)y(3y)對于A選項(xiàng)，eq o(A1M,sup7()(0，y，3)，則eq o(A1M,sup7()eq o(MN,sup7()y(3y)3z0eq o(A1M,sup7()eq o(MN,sup7()，MNA1M，A正確；對于B選項(xiàng)，eq o(CM,sup7()(3，y3,0)，eq o(CM,sup7()eq o(MN,sup7(

21、)(y3)(3y)(3y)20，即CM與MN不垂直，從而MN與平面D1MC不垂直，B不正確；對于C選項(xiàng)：eq o(BN,sup7()(0,0，z)，則線段BN長度|eq o(BN,sup7()|zeq f(1,3)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(yf(3,2)eq sUP12(2)f(9,4)eq f(3,4)，當(dāng)且僅當(dāng)yeq f(3,2)時(shí)等號成立，C正確；對于D選項(xiàng)，不論點(diǎn)M如何移動，點(diǎn)M到平面A1D1C1的距離均為3，而VC1A1D1MVMA1D1C1eq f(1,3)3SA1D1C1eq f(9,2)，三棱錐C1A1D1M體積為定值，即D正確故

22、選ACD14(2022河南濮陽一模)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4，MN是它內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，eq o(PM,sup7()eq o(PN,sup7()取值范圍是_0, 8解析：當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，弦過球心O，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)M，N是上下底面的中心，則M(2,2,4)，N(2,2,0)，P(x，y，z)，eq o(PM,sup7()(2x,2y,4z)，eq o(PN,sup7()(2x,2y，z)，則eq o(PM,sup7()eq o(PN,sup7()(2x)2(2

23、y)2z(4z)(x2)2(y2)2(z2)24，而(x2)2(y2)2(z2)2表示點(diǎn)P(x，y，z)和定點(diǎn)(2,2,2)距離的平方，很顯然正方體的頂點(diǎn)到定點(diǎn)(2,2,2)距離的平方最大，最大值是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)r(424242)eq sUP12(2)12正方體面的中心到定點(diǎn)的距離的平方最小，最小值是4所以eq o(PM,sup7()eq o(PN,sup7()的最小值是440，最大值是124815如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周)若AMMP，則點(diǎn)P形成的軌跡長度為_eq f(r(

24、7),2)解析：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OS所在直線分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示，則A(0，1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，eq r(3)，Meq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(r(3),2)設(shè)P(x，y,0)，所以eq o(AM,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(r(3),2)，eq o(MP,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(x，y，f(r(3),2)由eq o(AM,sup7()eq o(MP,sup7()yeq f(3,4)0，得yeq f(3,4)，所以點(diǎn)P的軌跡方程為yeq f(

25、3,4)根據(jù)圓的弦長公式，可得點(diǎn)P形成的軌跡長度為2eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)eq sUP12(2)eq f(r(7),2)16在(eq o(DE,sup7()eq o(CF,sup7()(eq o(DE,sup7()eq o(CF,sup7()，|eq o(DE,sup7()|eq f(r(17),2)，0coseq o(EF,sup7()，eq o(DB,sup7()1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線中，并完成問題問題：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz已知點(diǎn)D1的坐標(biāo)為(0,0,2)，E為棱D1C1上的動點(diǎn)，F(xiàn)為棱B1C1上的動點(diǎn)，_，試問是否存在點(diǎn)E，F(xiàn)滿足EFA1C？若存在，求eq o(AE,sup7()eq o(BF,sup7()的值；若不存在，請說明理由注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分解：由題意，正方體ABCDA1B1C1D1棱長為2，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，C(0,2,0)，設(shè)E(0，a,2)(0a2)，F(xiàn)(b,2,2)(0b2)，則eq o(EF,sup7()(b,2a,0)，eq o(A1C,sup7()(2,2，2)，