線性代數(shù)各章知識(shí)點(diǎn)概述

1、線性代數(shù)輔導(dǎo)東南大學(xué)數(shù)學(xué)系20XX年11月目 錄第一部分 行列式第二部分 矩陣的運(yùn)算第三部分 矩陣的初等變換和矩陣的秩第四部分 向量組的線性相關(guān)性和向量組的秩第五部分 線性方程組第六部分 相似矩陣和矩陣的特征值、特征向量第七部分 實(shí)對(duì)稱矩陣和二次型第八部分 空間解析幾何第一部分 行列式定義1定義 設(shè)，則是項(xiàng)代數(shù)和；不同行，不同列；正、負(fù)號(hào)。是不是4階行列式中展開式中的項(xiàng)，正、負(fù)號(hào)是什么？不是中的系數(shù)。2注：（1）. 對(duì)角線法則一般地不再成立。舉例。 （2）. 記住上、下三角陣的行列式。性質(zhì)性質(zhì)行列式的基本性質(zhì)；按行（列）展開；乘法定理。需記住的結(jié)果：Vandermonde行列式；分塊上、下三角

2、陣的行列式。例：已知，求?！纠?】已知。求。注：矩陣的加法、數(shù)乘之后的行列式；容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤：；;分塊矩陣的行列式.計(jì)算典型方法：化成低階行列式；化成三角形行列式。注：很少直接用定義計(jì)算；應(yīng)先化簡(jiǎn)，后計(jì)算。例【例5】 ；【例6】 ； 【例7】 ，均不為零；【例8】 ；【例9】；【例10】；第二部分 矩陣的運(yùn)算矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)律【例1】，?！纠?】假設(shè)是維非零列向量，。證明：是對(duì)稱矩陣，且。應(yīng)當(dāng)注意的問題矩陣記號(hào)與行列式記號(hào)的差別；單位矩陣（用或表示）的每個(gè)元素都等于1嗎？ 不是矩陣乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立；【例3】 。【例4】 滿足滿足什么條件時(shí)，由就能推出？ 矩陣乘法不可交換

3、，因而一些代數(shù)恒等式不再成立?！纠?】平方差公式?！纠?】二項(xiàng)式定理?！纠?】設(shè)，求?！纠?】與對(duì)角陣可交換的矩陣是否一定是對(duì)角陣？不一定，任意方陣與單位陣都是可交換的?？赡婢仃嚳赡娴臈l件行列式不為零；秩等于階數(shù)；存在另一矩陣使它們的乘積是單位陣；特征值全不為零。逆矩陣的計(jì)算利用伴隨矩陣：一般只對(duì)低階矩陣，如二階矩陣用這種方法。但要注意二階矩陣的伴隨矩陣是如何定義的。利用初等變換：要注意避免過繁的運(yùn)算?！纠?】求矩陣的逆矩陣 重要性質(zhì)，如可逆矩陣肯定不是零因子；對(duì)于方陣，若存在矩陣使得，則是可逆的，且；?！纠?0】已知，證明是可逆的，并求其逆?！纠?1】已知。證明：可逆，并求；可逆，并求其逆；

4、【問題】：假設(shè)階矩陣滿足。證明矩陣及均可逆，并分別求及；證明：若，矩陣肯定不可逆。伴隨矩陣定義；如求矩陣的伴隨矩陣；若可逆，則?！纠?2】已知，求?！纠?3】假設(shè)，證明。矩陣方程 各種類型的矩陣方程，正確化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式，正確求解。 標(biāo)準(zhǔn)形式的矩陣方程的求解可以先求逆矩陣，再求乘積得解，或直接有初等變換求解?？梢赃M(jìn)行驗(yàn)算！ 【例14】設(shè)矩陣，矩陣滿足，求。 矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣的乘法規(guī)則的成立是有條件的：小矩陣間的運(yùn)算要有意義，或左邊的因子的列的分法與右邊的因子的行的分法一致；【例15】求?！纠?6】已知矩陣，其中是可逆矩陣，求。 注意：不能濫用分塊。如：行列式；伴隨矩陣等。第三部分 矩陣的初

5、等變換和矩陣的秩概念討論什么問題可以用初等行、列變換。有時(shí)只能用行變換，不能用列變換；求相抵標(biāo)準(zhǔn)型要同時(shí)用初等行、列變換。解方程組，求逆矩陣，求極大無關(guān)組都只能用初等行變換，不能用列變換。行向量組等價(jià)的矩陣一定是等價(jià)的。等價(jià)的矩陣的行向量組等價(jià)嗎？等價(jià)的矩陣的行向量組不一定等價(jià)，因?yàn)榈葍r(jià)的矩陣可能做了初等列變換。討論矩陣的秩初等變換與矩陣乘法 初等變換與初等矩陣的乘積；【例2】已知可逆，交換其第一、三兩行的得矩陣，求。 矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形； 若，則一定存在可逆矩陣，使得。證明矩陣的滿秩分解定理，分解成秩為1的矩陣的和。用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣，解矩陣方程。矩陣的運(yùn)算與秩（1）（2）（3）（4

6、）若，則 【例4】假設(shè)滿足，證明：。 【例5】假設(shè)是矩陣，且。若，則必有。 【例6】假設(shè)，是矩陣。證明。 第四部分 向量組的線性相關(guān)性和向量組的秩什么叫線性相關(guān)、線性無關(guān)？什么叫向量組的極大無關(guān)組，秩？重要結(jié)論。定義；簡(jiǎn)單性質(zhì)：含零向量的向量組一定線性相關(guān)等；兩個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其分量成比例；問題：如果三個(gè)向量中的任意兩個(gè)向量的分量都不成比例，是否線性無關(guān)？不一定，可能有某一行可以由其他兩行線性表示。向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系；定理：時(shí)，線性相關(guān)存在某個(gè)使得可以由其余 個(gè)向量線性表示。定理：若線性無關(guān)，線性相關(guān)，則可以由線性表示。定理：若可以由線性表示，且，則線性相關(guān)。定理：線性無關(guān)。定理

7、：假設(shè)向量組線性無關(guān)，并且， 記。則線性無關(guān)可逆；如何判別？線性表示， 線性相關(guān)性 【例1】 設(shè)向量，. 問：當(dāng)參數(shù)滿足什么條件時(shí)1能用線性表示？2不能用線性表示？ 【例2】已知向量組，之間有關(guān)系： ， 證明：肯定線性相關(guān).【例3】求，使得向量組線性相關(guān)?！纠?】設(shè)是齊次線性方程組的線性無關(guān)的解向量，不是其解向量。證明：也線性無關(guān).設(shè)線性無關(guān)， ，。問：滿足什么條件時(shí)線性無關(guān)？極大無關(guān)組和秩定理：如果可以由線性表示，則定理：如果，則中任意個(gè)線性無關(guān)的向量都是其一極大無關(guān)組。若向量組，則當(dāng)參數(shù)取什么值時(shí)，線性相關(guān)；這時(shí)求這個(gè)向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。求給定向量組的極大無關(guān)組 （3）注意辨別對(duì)錯(cuò)【例

8、7】若線性相關(guān)，則可由線性表示？錯(cuò)，不一定 【例8】若有全為零的數(shù)使得，則線性無關(guān)。錯(cuò)，不一定 向量空間 第五部分 線性方程組解的存在性、唯一性 （1）有解；（2）若，則有唯一解；（3）若，則的通解中含有個(gè)自由未知量。 解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組 有非零解的充分必要條件是。解的結(jié)構(gòu)若，則的基礎(chǔ)解系中含個(gè)解向量；若，則的任意個(gè)線性無關(guān)的解向量都是基礎(chǔ)解系非齊次線性方程組 的解的結(jié)構(gòu)Cramer法則，Gauss消元法與通解的表達(dá)注：Cramer法則只適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的情形；用Gauss消元法求解只能對(duì)增廣矩陣作初等行變換, 不能作列變換； 通解有兩種形式：用自由未知量表示；用向量形式表示

9、。例求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 將系數(shù)矩陣化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，求通解，寫出基礎(chǔ)解系。討論解的情況并求基礎(chǔ)解系 問：當(dāng)參數(shù)去什么值時(shí)，齊次線性方程組有非零解，有非零解時(shí)求通解 討論解的情況并求解 設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，線性方程組的特解。表示任意常數(shù)。則的通解是已知是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系， 問：當(dāng)取何值時(shí)，也是的基礎(chǔ)解系。假設(shè)，是的解，且，。求的通解。第六部分 相似矩陣和矩陣的特征值、特征向量中心問題是矩陣的相似對(duì)角化問題。矩陣的特征值、特征向量的概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)計(jì)算：先求特征多項(xiàng)式，再求根，再解齊次線性方程組的非零解求矩陣的特征值和特征向量。特征多項(xiàng)式和跡假設(shè)。則是次多項(xiàng)式，首一的，

10、且稱為的跡，記為。特征值的性質(zhì)如的特征值是，則， 可逆特征值均不為零。如果可逆，是的特征值，則是的特征值；假設(shè)多項(xiàng)式，是的特征值，則是的特征值；設(shè)是的化零多項(xiàng)式，則的特征值均是的根?！纠?】假設(shè)是3階方陣，均不可逆，求?！纠?】假設(shè)，證明：的特征值只能是0和1。 注：錯(cuò)誤做法：因?yàn)?，則或。若，則0是的特征值，若，則1是的特征值。相似矩陣及矩陣相似的必要條件定義：矩陣的相似。定理：若矩陣與相似，則，且與有相同的特征值、跡、秩、行列式。 【例4】已知矩陣與相似，求。解：A，B相似，則|A|=|B|=0?；?jiǎn)可得|A|=(a-b)2=0,所以a=b。另外，A，B相似，A的特征值也為0，1，2。當(dāng)=1

11、時(shí)，|I-A|=-2ab=0。所以a=b=0。注：1.逆命題不成立 2.課程中沒有介紹“充分條件”，除非對(duì)矩陣加了特定的條件（如實(shí)對(duì)稱等）。 【例5】 若與之一可逆，證明：與一定相似。 【例6】 若與相似，與相似，證明：與相似。矩陣可相似對(duì)角化問題注：并非每個(gè)矩陣都相似于對(duì)角陣。如定理：矩陣相似于對(duì)角陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。定理：矩陣的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。【例7】如：肯定相似與對(duì)角陣。如：有重特征值，但相似于對(duì)角陣。 定理：如果是矩陣的互不相同的特征值，是的屬于的特征向量，則線性無關(guān)。 【例8】假設(shè)是上三角矩陣。證明如果互異，則一定相似于對(duì)角陣；(此時(shí)，A有個(gè)不同的特征值，所以

12、有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。)如果全相等，而不是對(duì)角陣，則肯定不相似于對(duì)角陣。（此時(shí)，A的個(gè)特征值相同，且）定理：矩陣相似于對(duì)角陣對(duì)于的重特征值，有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。假設(shè)相似于對(duì)角陣，2是一個(gè)二重特征值。求及可逆矩陣，使得是對(duì)角陣。已知矩陣的特征方程有一個(gè)二重根。求參數(shù)的值，并討論是否可相似對(duì)角化。注：。因此，若2是兩重根，則，此時(shí)，特征值為2，2，6?？梢宰C明，這時(shí)，可以相似對(duì)角化。若2不是兩重根，則為完全平方，從而可以解得。可以證明，這時(shí)不可以相似對(duì)角化。設(shè)矩陣滿足。證明：（1）相似于；（2）。四同時(shí)對(duì)角化問題、矩陣相似對(duì)角化的應(yīng)用設(shè)矩陣有個(gè)互不相同的特征值，且。證明：存在可逆陣使得，均是

13、對(duì)角陣。設(shè)。求。第七部分 實(shí)對(duì)稱矩陣和二次型應(yīng)當(dāng)注意，討論二次型與討論實(shí)對(duì)稱矩陣本質(zhì)上是同一回事。內(nèi)積、Schmidt正交化方法和正交矩陣內(nèi)積和正交性 定義：維向量的內(nèi)積（可以用矩陣的乘積表示）正交長(zhǎng)度，單位向量，單位化正交向量組 定理：正交向量組是線性無關(guān)的。已知向量組線性無關(guān)，非零向量與中每個(gè)向量正交。證明：，線性無關(guān)。Schmidt正交化方法如果線性無關(guān)，則經(jīng)過正交化、單位化可以得到一個(gè)與之等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 正交化、單位化的公式。正交矩陣定義：正交矩陣定理：階實(shí)矩陣是正交矩陣的行（列）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。若上三角實(shí)矩陣是正交矩陣，則是對(duì)角陣，且主對(duì)角元是。若階實(shí)矩陣是正交矩陣。

14、則（1）當(dāng)時(shí)，且是奇數(shù)時(shí)，1是的特征值；當(dāng)，-1是的特征值；若也是階正交矩陣，且，則。實(shí)對(duì)稱矩陣1實(shí)對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)（三條）：假設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，則實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是實(shí)數(shù)；實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交；存在正交矩陣，使得是對(duì)角陣。正交矩陣及對(duì)角陣的計(jì)算。要注意與相似對(duì)角化的區(qū)別。 【例4】假設(shè)。求正交矩陣，使得是對(duì)角陣。【例5】設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為3，1，1，是的相應(yīng)于特征值3的特征向量。求。 法一. 求正交陣； 法二. 用相似對(duì)角化方法?！纠?】假設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣。證明：存在實(shí)對(duì)稱矩陣，使得。【例7】假設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣。證明：若存在使得，則。二次型的矩陣 二次型的矩陣都是

15、對(duì)稱矩陣，兩者一一對(duì)應(yīng)?？赡婢€性變換與矩陣的合同關(guān)系兩者一一對(duì)應(yīng)。 【例8】求二次型的矩陣。【例9】假設(shè)是矩陣（不一定是對(duì)稱的）。求二次型的矩陣。標(biāo)準(zhǔn)形、慣性定理與規(guī)范形標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算配方法：【例10】二次型 注：應(yīng)是可逆線性變換，故，變換前后變量個(gè)數(shù)相同。正交變換的辦法：完全化成矩陣問題【例11】已知實(shí)二次型在一正交變換下可以變成。求及一個(gè)合適的正交變換。慣性定理，正、負(fù)慣性指數(shù)定理：慣性定理定義：二次型的秩和正、負(fù)慣性指數(shù)命題：二次型的秩和正、負(fù)慣性指數(shù)可以由其矩陣的特征值確定?！纠?2】假設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，且，。求的秩和正、負(fù)慣性指數(shù)。分類每個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣均與合同，稱此矩陣為的規(guī)范形。于是，兩

16、個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同它們有相同的秩和正慣性指數(shù)。若將實(shí)對(duì)稱矩陣按合同關(guān)系分類，共可分成多少合同類？解：秩的取值為0，1，2，3，4，, n合同類的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，5，,n+1共有(n+1)(n+2)/2.正定性定義：實(shí)對(duì)稱矩陣、二次型的正定性、負(fù)定性定理：假設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，則下述命題是等價(jià)的：1是正定的2的各個(gè)順序主子式大于零3的所有特征值均大于零存在實(shí)可逆矩陣，使得。設(shè)。求，使之為正定二次型。設(shè)都是正定矩陣。證明：都是正定的。問：是不是正定的？假設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的，是實(shí)矩陣。證明：正定。假設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的。證明：。第八部分 空間解析幾何矢量代數(shù)數(shù)量積幾何定義：是一數(shù)量，坐標(biāo)表達(dá)：幾何

17、意義：正交，向量積幾何定義：是一向量，方向： 符合右手則；坐標(biāo)表達(dá)：幾何意義：；一般地，是平行四邊形面積混合積定 義：坐標(biāo)表達(dá)：幾何意義：=平行六面體的體積；四面體的體積；共面。簡(jiǎn)單性質(zhì)：輪回。平面、直線平面方程確定平面的基本方法：點(diǎn)+法向量三點(diǎn)確定平面兩相交直線確定平面兩平行直線確定平面截距式方程 特殊形式的方程（缺項(xiàng)）缺常數(shù)項(xiàng)表示過原點(diǎn)，缺項(xiàng)時(shí)表示與軸平行。缺時(shí)表示與平面平行。求過點(diǎn)且通過直線的平面直線方程確定直線的基本方法：點(diǎn)+方向向量對(duì)稱方程（標(biāo)準(zhǔn)方程）參數(shù)方程兩點(diǎn)確定一條直線。兩相交平面確定一條直線。求過點(diǎn)且與方向都正交的直線。直線的一般方程：視直線為兩平面的交線 一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程

18、的互換化一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程。位置關(guān)系：理解幾何含義夾角求直線與平面的夾角。距離點(diǎn)到直線的距離：利用平行四邊形的面積公式（底與高的積，向量積的模）。如：與間的距離。點(diǎn)到平面的距離：利用在法向上的投影的絕對(duì)值。異面直線間的距離：公垂線與兩直線的交點(diǎn)間的距離（公垂線的方向是很容易得到的）平面束求直線在平面上的投影直線方程。一般曲線、曲面：曲面是由一個(gè)方程給定的，曲線是由兩個(gè)方程給定的。由此也可看出，通常地，曲線被看成是兩個(gè)曲面的交線。必須弄清楚它們的定義（幾何上是如何確定的）；特定位置的曲面方程的特點(diǎn)；圖形特征（會(huì)畫簡(jiǎn)單圖形的草圖）。球面：點(diǎn)和半徑柱面：準(zhǔn)線（定曲線）+母線（的方向）【例13】 分別畫出，的草圖，指出它們的圖形特征。旋轉(zhuǎn)面：母線（給定曲線）+定直線（軸）【例14】 求在平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程。（答案：）錐面：頂點(diǎn)+準(zhǔn)線（重點(diǎn)準(zhǔn)線是二次曲線、頂點(diǎn)是坐標(biāo)原