2021-2022學(xué)年湖北省宜昌市夷陵中學(xué)高二下學(xué)期診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、 PAGE 1 PAGE 202022年春夷陵中學(xué)高二年級(jí)診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知，則直線AB的傾斜角為（）A. 0B. 90C. 180D. 不存在【答案】B【解析】【分析】由直線經(jīng)過A（0，1），B（0，1）兩點(diǎn)，直線AB的斜率不存在，從而能求出直線AB的傾斜角【詳解】直線經(jīng)過A（0，1），B（0，1）兩點(diǎn)，直線AB的斜率不存在，直線AB的傾斜角90故選B【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角的求法，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化2. 圓x2y240與圓x2y24x4y1

2、20公共弦所在直線方程為（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】?jī)蓤A的方程消掉二次項(xiàng)后的二元一次方程即為公共弦所在直線方程.【詳解】由x2y240與x2y24x4y120兩式相減得：，即.故選：B3. 已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】分析：首先根據(jù)題中所給的條件橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，從而求得，再根據(jù)題中所給的方程中系數(shù)，可以得到，利用橢圓中對(duì)應(yīng)的關(guān)系，求得，最后利用橢圓離心率的公式求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，可知，因?yàn)椋?，即，所以橢圓的離心率為，故選C.點(diǎn)睛：該題考查是有關(guān)橢圓的離心率的問題，在求解的過程中，一定要注意離心

3、率的公式，再者就是要學(xué)會(huì)從題的條件中判斷與之相關(guān)的量，結(jié)合橢圓中的關(guān)系求得結(jié)果.4. 已知等比數(shù)列滿足，則=（ ）A. 1B. C. D. 4【答案】B【解析】【詳解】依題意有，故.5. 已知點(diǎn)在平面上，其法向量，則下列點(diǎn)不在平面上的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面上對(duì)于B：記,則.因?yàn)椋渣c(diǎn)在平面上對(duì)于C：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面上對(duì)于D：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)不在平面上.故選：D6. 下列四個(gè)結(jié)論正確是 （ ）A. 任意向量，若，則或B. 若空間中點(diǎn)O，A，B，C滿足

4、，則A，B，C三點(diǎn)共線C. 空間中任意向量都滿足D. 已知向量，若，則為鈍角【答案】B【解析】【分析】A選項(xiàng)，也可以是，；B選項(xiàng)，利用向量線性運(yùn)算得到，從而得到三點(diǎn)共線；C選項(xiàng)可以舉出反例；D選項(xiàng)，求出為鈍角時(shí)的取值范圍，從而得到答案.【詳解】則或或，故A錯(cuò)誤；若空間中點(diǎn)O，A，B，C滿足，即，所以，化簡(jiǎn)得：，則A，B，C三點(diǎn)共線，B正確；設(shè)。則不滿足，C錯(cuò)誤；，則，令得：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)反向，要想為鈍角，則且，故D錯(cuò)誤.故選：B7. 等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為與，對(duì)一切自然數(shù)，都有，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【詳解】 ,選B.點(diǎn)睛：在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，有兩個(gè)處

5、理思路,一是利用基本量,將多元問題簡(jiǎn)化為一元問題,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡(jiǎn)潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形. 在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.8. 設(shè)定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可判斷出該函數(shù)在上為增函數(shù)，然后將所求不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系，

6、根據(jù)單調(diào)性得出自變量值的關(guān)系從而解出不等式即可【詳解】解：，（3），（3），定義在的函數(shù)，令，不等式（3），即為（3），單調(diào)遞增，又因?yàn)橛缮峡芍?），故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的解法：利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9. 已知等比數(shù)列中，滿足，則（ ）A. 數(shù)列是等比數(shù)列B. 數(shù)列是遞增數(shù)列C. 數(shù)列是等差數(shù)列D. 數(shù)列中，仍成等比數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】先利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，從而得到，利

7、用等比數(shù)列的定義判斷A選項(xiàng)；得到，判斷出為遞減數(shù)列；求出，利用等差數(shù)列定義判斷C選項(xiàng)，計(jì)算出，利用得到不成等比數(shù)列.【詳解】由題意得：，所以，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，A正確；，所以，且，故數(shù)列是遞減數(shù)列，B錯(cuò)誤；，所以，C正確；，因?yàn)?，故?shù)列中，不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：AC10. 如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是棱和的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，由向量的運(yùn)算判斷ABC三個(gè)選項(xiàng)，由向量的線性運(yùn)算判斷D【詳解】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，A正確；，B錯(cuò)；，C正確；，

8、D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查空間向量的數(shù)量積，考查空間向量的線性運(yùn)算解題方法建立空間直角坐標(biāo)系，把空間向量的數(shù)量積用坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，向量垂直用數(shù)量積進(jìn)行表示，這樣直接計(jì)算可減少證明簡(jiǎn)化的解題過程11. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線過點(diǎn)，則（ ）A. 雙曲線與雙曲線有相同的漸近線B. 雙曲線的離心率為C. 若到漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為D. 若直線與漸近線圍成的三角形面積為，則焦距為【答案】ACD【解析】【分析】由一條漸近線過點(diǎn)，可得，可得漸近線方程為，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由雙曲線，可得其漸近線方程為，因?yàn)橐粭l漸近線過點(diǎn)，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，對(duì)

9、于A，雙曲線的漸近線方程為，即，所以A正確，對(duì)于B，由于，所以離心率為，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)橛医裹c(diǎn)為到漸近線的距離為2，所以，解得，因?yàn)椋越獾?，所以雙曲線方程為，所以C正確，對(duì)于D，對(duì)于漸近線，當(dāng)時(shí)，所以由雙曲線的對(duì)稱性可得直線與漸近線圍成的三角形面積，得，由，解得，所以焦距為，所以D正確，故選：ACD12. 已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是 （ ）A. 函數(shù)f（x）在（2，1）上單調(diào)遞增B. 函數(shù)f（x）的值域?yàn)镃. 若關(guān)于x的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D. 不等式在恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用導(dǎo)函數(shù)求解單調(diào)性；B選項(xiàng)，

10、利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，極值情況，畫出圖象，作出判斷；C選項(xiàng)，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合將根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷出a的取值范圍是；D選項(xiàng)，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到斜率的取值范圍，進(jìn)而求出a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，故數(shù)f（x）在（2，1）上單調(diào)遞增，A正確；由A選項(xiàng)分析可知：在處取得極小值，在處取得極大值，又時(shí)，恒成立，時(shí)，恒成立，畫出，如圖：故f（x）的值域?yàn)椋珺錯(cuò)誤；由得：或畫出的圖象，如圖所示：從圖象可以看出有1個(gè)根，為，要想方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，需要需要有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且不等于-1，所以則

11、實(shí)數(shù)a的取值范圍是，C正確；不等式在恰有兩個(gè)整數(shù)解，即在恰有兩個(gè)整數(shù)解，在同一坐標(biāo)系下畫出的圖象：當(dāng)介于直線之間時(shí)，滿足要求，其中，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】研究方程根的個(gè)數(shù)問題或根據(jù)根的個(gè)數(shù)求取值范圍問題，當(dāng)方程較復(fù)雜時(shí)，要轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13. 在等差數(shù)列中，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式基本量計(jì)算得到首項(xiàng)和公差，從而求出答案【詳解】，即，有，聯(lián)立解得：，所以故答案為：14. 已知，則在點(diǎn)處的切線方程為_【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在處切線的斜率，

12、并求出，即可寫出切線方程.【詳解】由題設(shè)，又，在處的切線方程為，即.故答案為：.15. 已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為，則_【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，代入，得到方程，求出答案.【詳解】，所以，解得：故答案為：16. 雙曲線的左頂點(diǎn)為，是雙曲線的漸近線與圓的一個(gè)交點(diǎn)，過作圓的切線交軸于，若的斜率為，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)是圓與漸近線在第一象限的交點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，得切線方程，從而可求出點(diǎn)縱坐標(biāo)，利用的斜率可得離心率【詳解】不妨設(shè)是圓與漸近線在第一象限的交點(diǎn)，由，解得，則切線的方程為，令得，即，的斜率為，即離心率為故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文

13、字說明、證明過程或演算步驟17. 已知直線，其中與的交點(diǎn)為P（1）求過點(diǎn)P且與平行的直線方程；（2）求以點(diǎn)P為圓心，截所得弦長(zhǎng)為8的圓的方程【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）首先求、的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出過P且與平行的直線方程；（2）根據(jù)弦心距、弦長(zhǎng)、半徑的關(guān)系求圓的半徑，結(jié)合P的坐標(biāo)寫出圓的方程.【小問1詳解】聯(lián)立、得：，可得，故，又的斜率為，則過P且與平行的直線方程，所求直線方程為.【小問2詳解】由（1），P到的距離，以P為圓心，截所得弦長(zhǎng)為8的圓的半徑，所求圓的方程為.18. 第24屆冬奧會(huì)于2022年2月在北京舉行，志愿者的服務(wù)工作是冬奧會(huì)成功舉辦的重要保

14、障某高校承辦了北京志愿者選拔的面試工作現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖2所示的頻率分布直方圖已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同（1）求a，b的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)和第分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來自不同組的概率【答案】（1）；（2）估計(jì)平均數(shù)為69.5，第分位數(shù)為71.7； （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1，及第三、四、五組的頻率之和為0.

15、7列出方程組，求出a，b的值；（2）中間值作代表估計(jì)出平均數(shù)，利用百分位數(shù)求解方法進(jìn)行求解；（3）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數(shù)，再利用列舉法求出古典概型求概率公式.【小問1詳解】，解得：，所以；【小問2詳解】，故估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)為69.5；前兩組志愿者的頻率為，前三組志愿者的頻率為，所以第分位數(shù)落在第三組志愿者中，設(shè)第分位數(shù)為，則，解得：，故第分位數(shù)為71.7【小問3詳解】第四、第五兩組志愿者的頻率比為，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人中選出2人，所有情況有，共有10種情況，其中選出的兩人來自不

16、同組的有共4種情況，故選出的兩人來自不同組的概率為19. 如圖，已知直三棱柱中，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的一點(diǎn)（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成角的余弦值為時(shí)，求線段的長(zhǎng)度【答案】（1）證明過程見解析； （2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直；（2）求出兩平面的法向量，根據(jù)余弦值列出方程，求出的值.【小問1詳解】因?yàn)橹比庵?，所以兩兩垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，故，所以.【小問2詳解】設(shè)平面DEF的法向量為，則，令得：，故，設(shè)平面的法向量，則，解得：，所以20. 已知數(shù)列滿足，數(shù)列

17、滿足（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）證明見解析， （2）【解析】【分析】（1）利用湊配法化簡(jiǎn)已知條件，得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列，并求得的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.【小問1詳解】，即 ，又， 數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng).【小問2詳解】由題， ， ，得： ，21. 已知中心在原點(diǎn)O的橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且與拋物線有相同的焦點(diǎn)（1）求橢圓E的方程；（2）若點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)、()是橢圓E上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B，H不共線，且OHA=OHB，證明：直線AB過定點(diǎn)【答案】（1） （2）證明見解析【解析】分析】（1）根據(jù)

18、長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求解，從而求出方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，由得，結(jié)合韋達(dá)定理即可證明結(jié)論【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，的焦點(diǎn)為，即，焦點(diǎn)在軸又，橢圓的方程為【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，則，由得，即則， ， ，即，滿足題意 直線恒過定點(diǎn)22. 已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，求的最小值【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； （2）【解析】【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況分類討論，得到的單調(diào)性；（2）利用第一問函數(shù)單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)直線與相切時(shí)，取得最小值，故取得最小值，利用切線斜率得到方程，求出，換元后構(gòu)造函數(shù)，求出單調(diào)性和極值，最值情況，得到答案【小問1詳解】定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)