2021-2022學(xué)年湖南省永州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年湖南省永州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）ABCDA【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念判斷即可；【詳解】解：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選：A2已知，則（）ABCDB【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以?所以.故選：B3的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（）ABCDA【分析】直接利用正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ?，即，解?故選：A4已知某平面圖形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖為如圖所示的三角形，其中，則該平面圖形的面積為（）AB2CD4D【分析】作出原圖形，且得出原圖形中的線(xiàn)段長(zhǎng)度，由三角形的面積公式可求

2、得答案.【詳解】解：作出原圖形如下圖所示：則，所以該平面圖形的面積為，故選：D.5在中，則（）ABCDB【分析】在中，根據(jù)求得，再利用余弦定理即可得出答案.【詳解】解：在中，所以，所以.故選：B.6已知一組數(shù)據(jù)為30，40，50，50，55，60，70，80，90，則其極差、第50百分位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是（）A極差第50百分位數(shù)眾數(shù)B眾數(shù)第50百分位數(shù)極差C極差眾數(shù)第50百分位數(shù)D極差第50百分位數(shù)眾數(shù)A【分析】分別算出極差，第50百分位數(shù)和眾數(shù)即可比較大小.【詳解】極差為，因?yàn)?，所以第5個(gè)數(shù)55即為第50百分位數(shù)，又眾數(shù)為50，所以它們大小關(guān)系是極差第50百分位數(shù)眾數(shù).故選:A.7九章算

3、術(shù)中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬. 如圖所示，在四棱柱中，棱錐即為陽(yáng)馬，已知，則陽(yáng)馬的表面積為（）ABCDB【分析】結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)可得到，均為直角三角形，分別求得各面的面積，加和即可得到所求的陽(yáng)馬的表面積.【詳解】由題意知：平面，平面，又，平面，平面，平面，；同理可得：；則，均為直角三角形，陽(yáng)馬的表面積.故選：B.8已知，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，則的最小值為（）ABC4D16C【分析】設(shè)，則，則由已知可得，然后化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)后可利用基本不等式求得結(jié)果【詳解】在中，設(shè)，則，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為16，所

4、以的最小值為4，故選：C二、多選題9若復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限B若是純虛數(shù)，那么CD若、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則BC【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷AD選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的概念可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的乘法可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-3,2）位于第二象限，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，為純虛數(shù)，則，可得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由已知可得，則，所以，D錯(cuò).故選：BC.10在下列關(guān)于概率的命題中，正確的有（）A若事件A，B滿(mǎn)足，則A，B為對(duì)立事件B若事件A與B是互斥事件，則A與也是互斥事件C若事件A與

5、B是相互獨(dú)立事件，則A與也是相互獨(dú)立事件D若事件A，B滿(mǎn)足，則A，B相互獨(dú)立CD【分析】對(duì)于A：舉反例判斷命題不成立；對(duì)于B：由互斥事件的定義直接判斷；對(duì)于C：由相互獨(dú)立事件的性質(zhì)直接判斷；對(duì)于D：利用公式法直接判斷.【詳解】對(duì)于A：若事件A、B不互斥，但是恰好，滿(mǎn)足，但是A，B不是對(duì)立事件.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由互斥事件的定義可知，事件A、B互斥，但是A與也是互斥事件不成立.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由相互獨(dú)立事件的性質(zhì)可知：若事件A與B是相互獨(dú)立事件，則A與也是相互獨(dú)立事件.故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槭录嗀，B滿(mǎn)足，所以，所以A，B相互獨(dú)立.故選：CD11的內(nèi)角A，的對(duì)邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法正確的

6、是 （）A若，則B若，則此三角形為等腰三角形C若，則解此三角形必有兩解D若是銳角三角形，則AD【分析】由正弦定理可求A，然后可判斷A；根據(jù)角的范圍直接求解可判斷B；正弦定理直接求解可判斷C；利用誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)單調(diào)性可判斷D.【詳解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因?yàn)?，所以，A正確；因?yàn)椋医?A，2最多有一個(gè)大于，所以由可知，或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，故此三角形有唯一解，C錯(cuò)誤；因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，又在上單調(diào)遞增，所以，同理，所以，D正確.故選：AD12如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A三棱錐的體積為定值B過(guò)作

7、直線(xiàn)，則C過(guò)，三點(diǎn)的平面截此正方體所得的截面圖形可能為五邊形D三棱錐的外接球的半徑的取值范圍是ABD【分析】對(duì)于A，連接，可得平面平面，然后進(jìn)行判斷即可，對(duì)于B，連接，可證得，從而可得結(jié)論，對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)，三點(diǎn)的平面為平面，然后向線(xiàn)段兩端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)再進(jìn)行判斷即可，對(duì)于D，連接，交于點(diǎn)，過(guò)作平面交于，則球心一定在上，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，可求出的最小值，當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，可求出的最大值【詳解】對(duì)于A，連接，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，所以?dòng)點(diǎn)到平面的距離為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以A正確，對(duì)于B，連接，則正方體的性質(zhì)可知，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以?/p>

8、所以B正確，對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)，三點(diǎn)的平面為平面，當(dāng)點(diǎn)從的中點(diǎn)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面過(guò)平面，點(diǎn)從的中點(diǎn)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面過(guò)平面，則過(guò)，三點(diǎn)的平面與正方體最多與正方體的四個(gè)交，所以截面最多為四邊形，所以C錯(cuò)誤， 對(duì)于D，連接，交于點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，所以在中，到各頂點(diǎn)的距離相等，過(guò)作平面交于，則球心一定在上，且，設(shè)半徑為，則題意可得，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，得，當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，所以，此時(shí)最大，所以三棱錐的外接球的半徑的取值范圍是，所以D正確，故選：ABD三、填空題13在中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)建團(tuán)100周年之際，某高中學(xué)校計(jì)劃選派60名團(tuán)員參加“文明勸導(dǎo)”志愿活動(dòng)，高一、高二、高三年級(jí)的團(tuán)員人數(shù)分別為100，200，

9、300，若按分層抽樣的方法選派，則高一年級(jí)需要選派的人數(shù)為_(kāi)10【分析】按照分層抽樣規(guī)則計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可知高一年級(jí)需要選派的人數(shù)為人.故14在直角三角形中，將此三角形繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為_(kāi)【分析】由題可知得到的幾何體是兩個(gè)同底圓錐的組合體,由體積公式可得答案.【詳解】將三角形繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是兩個(gè)同底圓錐的組合體, 在直角三角形中，,所以圓錐底面圓的半徑為1，兩個(gè)圓錐的高的和為，所以幾何體的體積為,故15定義平面非零向量之間的一種運(yùn)算“”，記（其中是非零向量，的夾角）若，均為單位向量，且，則_【分析】由數(shù)量積的定義可得，的夾角，利用新定義和向量模長(zhǎng)的計(jì)算公

10、式以及數(shù)量積的定義可得答案【詳解】，且，又，則；，故16在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的最小值為_(kāi)【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，再利用正弦定理及三角變換可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】，又，即，或(舍去)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為.四、解答題17在平行四邊形中，為中點(diǎn)，記，(1)試用，表示；(2)若，求與的夾角(1)(2)90【分析】（1）由向量的加法法則和向量的線(xiàn)性運(yùn)算可求得答案；（2）由已知求得，再運(yùn)用向量的夾角運(yùn)算求得答案.【詳解】(1)解：由題可知；(2)解：因?yàn)?，記與的夾角為，則 ，所以與的夾角為.18中國(guó)神舟十三號(hào)載人飛船于2022年4月16日?qǐng)A

11、滿(mǎn)完成飛行任務(wù)，神州十三號(hào)的成功又一次激發(fā)了廣大中學(xué)生對(duì)于航天的極大興趣. 某校舉行了一次主題為“航天夢(mèng)，強(qiáng)國(guó)夢(mèng)”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，在全校選取100名同學(xué)，按年齡大小分為大齡組甲和小齡組乙兩組，每組各50人，所有學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)均在60100之間，甲組競(jìng)賽成績(jī)的頻率分布表和乙組競(jìng)賽成績(jī)的頻率分布直方圖，如下圖所示組號(hào)組頻數(shù)頻率第一組50.1第二組ab第三組150.3第四組 100.2(1)求a，b，x的值；(2)若以平均分為依據(jù)確定小組成績(jī)的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪個(gè)小組成績(jī)更優(yōu)？請(qǐng)說(shuō)明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)若成績(jī)不低于90分的同學(xué)稱(chēng)為“航天追夢(mèng)者”，以選

12、取的100名同學(xué)作為樣本，試估計(jì)該校2000名學(xué)生中“航天追夢(mèng)者”的人數(shù)(1)，(2)甲組成績(jī)更優(yōu)，理由見(jiàn)解析(3)300人【分析】（1）根據(jù)頻率分布表和頻率分布直方圖可得答案；（2）分別算出兩組的平均分作比較即可；（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)算出甲、乙兩組中“航天追夢(mèng)者”的頻率，然后可算出答案.【詳解】(1)由甲組的頻率分布表可知， ，由乙組的頻率分布直方圖可知，(2)記甲組平均分為，記乙組平均分為，因?yàn)?，即甲組成績(jī)更優(yōu).(3)由頻率分布表可知，甲組中“航天追夢(mèng)者”的人數(shù)為10，乙組中“航天追夢(mèng)者”的人數(shù)為，甲、乙兩組中“航天追夢(mèng)者”的頻率，甲、乙組中“航天追夢(mèng)者”的人數(shù)為.19如圖1，在邊長(zhǎng)為的菱

13、形中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)；將沿折起到的位置，使得平面平面，連接，如圖2(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)由已知面面垂直證得線(xiàn)面垂直，從而證得線(xiàn)線(xiàn)垂直.(2)利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】(1)在圖1中連接，為等邊三角形又為的中點(diǎn)即在圖2中，平面平面，交線(xiàn)為，平面平面平面(2)在圖2中，連接，平面，平面又，平面平面，則即，均為直角三角形在中，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為故即點(diǎn)到平面的距離為20某品牌電腦售后保修期為一年，根據(jù)1000臺(tái)電腦的維修記錄資料（保修期內(nèi)所有電腦維修次數(shù)均不超2次），這1000臺(tái)電腦在保修期內(nèi)需要維修1次的有300臺(tái)，需要維修2次的占以這1

14、000臺(tái)電腦維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)電腦維修次數(shù)的概率(1)求1臺(tái)電腦保修期內(nèi)不需要維修的概率；(2)若某人購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)這個(gè)品牌的電腦，2臺(tái)電腦在保修期內(nèi)是否需要維修互不影響，如果2臺(tái)電腦保修期內(nèi)需要維修的次數(shù)總和不超過(guò)2次的概率大于0.8，則認(rèn)為該品牌電腦“值得信賴(lài)”，請(qǐng)判斷該品牌電腦是否“值得信賴(lài)”，并說(shuō)明理由(1)0.5(2)認(rèn)為該品牌“值得信賴(lài)”，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】(1)解：（1）由題意可知該品牌電腦保修期內(nèi)維修1次的概率為：，該品牌電腦保修期內(nèi)維修2次的概率為：，該品牌電腦一年不需要維修的概率

15、為.(2)解：品牌表示第1臺(tái)電腦在保修期內(nèi)維修次的事件（）品牌表示第2臺(tái)電腦在保修期內(nèi)維修次的事件（）與相互獨(dú)立，都互斥2臺(tái)電腦保修期內(nèi)需要維修的次數(shù)總和為0的概率： 2臺(tái)電腦保修期內(nèi)需要維修的次數(shù)總和為1的概率：2臺(tái)電腦保修期內(nèi)需要維修的次數(shù)總和為2的概率：2臺(tái)電腦保修期內(nèi)需要維修的次數(shù)總和不超過(guò)2次的概率所以認(rèn)為該品牌“值得信賴(lài)”.21如圖所示，在四棱錐中，已知底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且(1)證明：平面平面；(2)為線(xiàn)段上的一點(diǎn)，且平面，求的值及直線(xiàn)與平面的夾角(1)證明見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，依題意可得、，即可得到平面，從而得證；（2）在線(xiàn)段上作點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于，連接，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)及三角形相似求出，過(guò)作，交于點(diǎn)，連接，則為直線(xiàn)與平面的夾角，再根據(jù)線(xiàn)段關(guān)系求出角即可；【詳解】(1)證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，又，平面，則平面，平面，平面平面.(2)解：在線(xiàn)段上作點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于，連接，則，故，四點(diǎn)共面，平面，平面，平面平面，故四邊形為平行四邊形，則， ， ，在中，在（1）知，又，平面，平面，過(guò)作，交于點(diǎn)，故且，在中，連接，在中，平面，則為直線(xiàn)與平面的夾角，在中，直線(xiàn)與平面的夾角為.22如圖，設(shè)中角A，所對(duì)的邊分別為a，b，c，為的中點(diǎn)，已知，(1)若，求；(2)點(diǎn)，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段交于，且，求的最小值(1)60