高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：選擇性必修第一冊(cè)第三章 3.1.2 第1課時(shí) 橢圓的幾何性質(zhì)

1、31.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第1課時(shí)橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)，了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的幾何意義.2.會(huì)用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)范圍axa，bybbxb，aya頂點(diǎn)A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a焦點(diǎn)(eq r(a2b2)，0)(0，eq r(a2b2)焦距|F1F2|2e

2、q r(a2b2)對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率eeq f(c,a)(0,1)思考離心率對(duì)橢圓扁圓程度有什么影響？答案eeq f(c,a)，e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越圓1橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是a.()2若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)分別為10,8，則橢圓的方程為eq f(x2,25)eq f(y2,16)1.()3離心率相同的橢圓是同一個(gè)橢圓()4設(shè)F為橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，M為其上任一點(diǎn)，則|MF|的最大值為ac(c為橢圓的半焦距)()一、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例1設(shè)橢圓

3、方程mx24y24m(m0)的離心率為eq f(1,2)，試求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)解橢圓方程可化為eq f(x2,4)eq f(y2,m)1.(1)當(dāng)0m4時(shí)，a2，beq r(m)，ceq r(4m)，eeq f(c,a)eq f(r(4m),2)eq f(1,2)，m3，beq r(3)，c1，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是4,2eq r(3)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(2,0)，A2(2,0)，B1(0，eq r(3)，B2(0，eq r(3)(2)當(dāng)m4時(shí)，aeq r(m)，b2，ceq r(m4)，eeq f(c,a)eq f(r(m4

4、),r(m)eq f(1,2)，解得meq f(16,3)，aeq f(4r(3),3)，ceq f(2r(3),3)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為eq f(8r(3),3)，4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2r(3),3)，F(xiàn)2eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2r(3),3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(4r(3),3)，A2eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(4r(3),3)，B1(2,0)，B2(2,0)反思感悟用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式(2)確定焦點(diǎn)位置(

5、焦點(diǎn)位置不確定的要分類討論)(3)求出a，b，c.(4)寫(xiě)出橢圓的幾何性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓C1：eq f(x2,100)eq f(y2,64)1，設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等，且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上(1)求橢圓C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)寫(xiě)出橢圓C2的方程，并研究其幾何性質(zhì)解(1)由橢圓C1：eq f(x2,100)eq f(y2,64)1，可得其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為10，短半軸長(zhǎng)為8，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)，(6,0)，離心率eeq f(3,5).(2)橢圓C2：eq f(y2,100)eq f(x2,64)1.幾何性質(zhì)如下：范圍：8x8，10y10；對(duì)稱性：對(duì)

6、稱軸：x軸、y軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)；頂點(diǎn)：長(zhǎng)軸端點(diǎn)(0,10)，(0，10)，短軸端點(diǎn)(8,0)，(8,0)；焦點(diǎn)：(0,6)，(0，6)；離心率：eeq f(3,5)，焦距為12.二、由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6；(2) 過(guò)點(diǎn)(3,0)，離心率eeq f(r(6),3).解(1)依題意可設(shè)橢圓方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)如圖所示，A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，所以cb3，所以a2b2c218，故所求橢圓的

7、標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,18)eq f(y2,9)1.(2)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，由題意，得a3，因?yàn)閑eq f(r(6),3)，所以ceq r(6)，從而b2a2c23，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,9)eq f(y2,3)1；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，由題意，得b3，因?yàn)閑eq f(r(6),3)，所以eq f(r(a2b2),a)eq f(r(6),3)，把b3代入，得a227，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(y2,27)eq f(

8、x2,9)1.綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,9)eq f(y2,3)1或eq f(y2,27)eq f(x2,9)1.反思感悟利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)確定焦點(diǎn)位置(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)(4)寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程跟蹤訓(xùn)練2(1)若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案eq f(x2,25)eq f(y2,16)1解析由題意，得eq blcrc (avs4alco1(2a2b18，,c3，,a2b2c2，)解得eq blcrc (avs4alc

9、o1(a5，,b4.)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,25)eq f(y2,16)1.(2)已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且cosOFAeq f(2,3)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_答案eq f(x2,9)eq f(y2,5)1或eq f(x2,5)eq f(y2,9)1解析因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，cosOFAeq f(2,3)，所以點(diǎn)A不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)(是短軸的端點(diǎn))所以|OF|c，|AF|a3，所以eq f(c,3)eq f(2,3)，所以c2，b232225，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq f(x2,9)eq f(y2,

10、5)1或eq f(x2,5)eq f(y2,9)1.三、求橢圓的離心率例3設(shè)橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230，則C的離心率為_(kāi)答案eq f(r(3),3)解析方法一由題意可設(shè)|PF2|m，結(jié)合條件可知|PF1|2m，|F1F2|eq r(3)m，故離心率eeq f(c,a)eq f(2c,2a)eq f(|F1F2|,|PF1|PF2|)eq f(r(3)m,2mm)eq f(r(3),3).方法二由PF2F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將xc代入橢圓方程可解得yeq f(b2,a)，所以|

11、PF2|eq f(b2,a).又由PF1F230可得|F1F2|eq r(3)|PF2|，故2ceq r(3)eq f(b2,a)，變形可得eq r(3)(a2c2)2ac，等式兩邊同除以a2，得eq r(3)(1e2)2e，解得eeq f(r(3),3)或eeq r(3)(舍去)延伸探究1若將本例中“PF2F1F2，PF1F230”改為“PF2F175，PF1F245”，求C的離心率解在PF1F2中，PF1F245，PF2F175，F(xiàn)1PF260，設(shè)|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，mn2a，則在PF1F2中，有eq f(m,sin 75)eq f(n,sin 45)eq f(2

12、c,sin 60)，eq f(mn,sin 75sin 45)eq f(2c,sin 60)，eeq f(c,a)eq f(2c,2a)eq f(sin 60,sin 75sin 45)eq f(r(6)r(2),2).2若將本例中“PF2F1F2，PF1F230”改為“C上存在點(diǎn)P，使F1PF2為鈍角”，求C的離心率的取值范圍解由題意，知cb，c2b2.又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2.e2eq f(c2,a2)eq f(1,2)，eeq f(r(2),2)，又0eb0)的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，若ABF90，則橢圓C的離心率為()A.eq f(r(5)1,2) B.e

13、q f(r(3)1,2)C.eq f(1r(5),4) D.eq f(r(3)1,4)答案A解析由題意知，A(a，0)，B(0，b)，F(xiàn)(c，0)，ABF90，kABkBF1，eq f(b2,ac)1，即b2ac.c2a2ac0，即e2e10，eeq f(r(5)1,2)(舍)或eeq f(r(5)1,2).(2)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上總存在點(diǎn)P使得PF1PF2，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)答案eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1)解析由PF1PF2，知F1PF2是直角三角形，所以cb

14、，即c2a2c2，所以aeq r(2)c，因?yàn)閑eq f(c,a)，0e1，所以eq f(r(2),2)eb0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A.eq f(r(6),3) B.eq f(r(3),3)C.eq f(r(2),3) D.eq f(1,3)答案A解析以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2，由原點(diǎn)到直線bxay2ab0的距離deq f(2ab,r(a2b2)a，得a23b2，所以C的離心率eeq r(1f(b2,a2)eq f(r(6),3).6若橢圓的短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的最近距離是1，則橢圓

15、的離心率為_(kāi)答案eq f(4,5)解析依題意，得b3，ac1.又a2b2c2，解得a5，c4，橢圓的離心率為eeq f(c,a)eq f(4,5).7已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為1，離心率0eeq f(r(3),2)，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)答案(2,4解析eeq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)，b1,0eeq f(r(3),2)，eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)eq f(r(3),2)，則1a2，2b0)，由eeq f(r(2),2)，知eq f(c,a)eq f(r(2),2)，故eq f(b2,a2)eq f(1,2).由于ABF2的周長(zhǎng)

16、為|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，a4，b28，橢圓C的方程為eq f(x2,16)eq f(y2,8)1.9已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)Meq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(1,3)，求橢圓C的離心率解2a|MF1|MF2|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)1)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)1)2blc(rc)(av

17、s4alco1(f(1,3)2)2eq r(2).所以aeq r(2).又由已知c1，所以橢圓C的離心率eeq f(c,a)eq f(1,r(2)eq f(r(2),2).10(1)求與橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,4)1有相同的焦點(diǎn)，且離心率為eq f(r(5),5)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離為8，兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(6,0)，(6,0)，求焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)ceq r(94)eq r(5)，所求橢圓的焦點(diǎn)為(eq r(5)，0)，(eq r(5)，0)設(shè)所求橢圓的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eeq f(c

18、,a)eq f(r(5),5)，ceq r(5)，a5，b2a2c220，所求橢圓的方程為eq f(x2,25)eq f(y2,20)1.(2)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，2c8，c4，又a6，b2a2c220.橢圓的方程為eq f(x2,36)eq f(y2,20)1.11若O和F分別為橢圓eq f(x2,4)eq f(y2,3)1的中心和左焦點(diǎn)，P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()的最大值為()A2 B3 C6 D8答案C解析由題意得點(diǎn)F(1,0)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則有eq f

19、(xoal(2,0),4)eq f(yoal(2,0),3)1，可得yeq oal(2,0)3eq blc(rc)(avs4alco1(1f(xoal(2,0),4).eq o(FP,sup6()(x01，y0)，eq o(OP,sup6()(x0，y0)，eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()x0(x01)yeq oal(2,0)x0(x01)3eq blc(rc)(avs4alco1(1f(xoal(2,0),4)eq f(xoal(2,0),4)x03.此二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x02.又2x02，所以當(dāng)x02時(shí)，eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6

20、()取得最大值，最大值為eq f(22,4)236.12以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為()A.eq f(r(2),2) B.eq f(r(3),2)C.eq r(3)eq r(2) D.eq r(3)1答案D解析設(shè)橢圓的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，圓與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)是A，B，C，D，設(shè)|F1F2|2c，|AF1|c，|AF2|eq r(3)c(c0), |AF1|AF2|2aceq r(3)c2a，eeq f(c,a)eq f(2,r(3)1)eq r(3)1.13經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2)，且與橢圓eq f(x2,

21、12)eq f(y2,6)1有相同離心率的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案eq f(x2,9)eq f(y2,f(9,2)1或eq f(y2,6)eq f(x2,3)1解析由題意知e21eq f(b2,a2)eq f(1,2)，所以eq f(b2,a2)eq f(1,2)，即a22b2，設(shè)所求橢圓的方程為eq f(x2,2b2)eq f(y2,b2)1或eq f(y2,2b2)eq f(x2,b2)1.將點(diǎn)M(1,2)代入橢圓方程得eq f(1,2b2)eq f(4,b2)1或eq f(4,2b2)eq f(1,b2)1，解得b2eq f(9,2)或b23.故所求橢圓方程為eq f(x2,9)eq f(

22、y2,f(9,2)1或eq f(y2,6)eq f(x2,3)1.14在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的焦距為2c，以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,c)，0)作圓的兩切線互相垂直，則離心率e_.答案eq f(r(2),2)解析如圖，切線PA，PB互相垂直，又半徑OA垂直于PA，所以O(shè)AP是等腰直角三角形，eq f(a2,c)eq r(2)a.解得eq f(c,a)eq f(r(2),2)，則離心率eeq f(r(2),2).15已知橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于eq f(4,5)，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(r(3),2) B.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(3,4)C.eq blcr