世界十大數(shù)學(xué)猜想及其證明情況

1、世界十大數(shù)學(xué)猜想及其證明情況一、世界十大數(shù)學(xué)猜想(難題)世界十大數(shù)學(xué)猜想：NP完全問(wèn)題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)、楊一米爾斯理論、納衛(wèi)爾一斯托可方程、BSD猜想，費(fèi)爾馬大定、四色問(wèn)題、哥德巴赫猜想。其中，世界近代三大數(shù)學(xué)難題：1、費(fèi)爾馬大定理，2、哥德巴赫猜想，3、四色問(wèn)題。世界七大數(shù)學(xué)難題：一、P(多項(xiàng)式時(shí)間)問(wèn)題對(duì)NP(nondeterministicpolynomialtime，非確定多項(xiàng)式時(shí)間)問(wèn)題，二、霍奇(Hodge)猜想，三、龐加萊(Poincare)猜想，四、黎曼(Riemann)假設(shè)，五、楊一米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口，六、納維葉一斯托克斯(Navi

2、er-Stokes)方程的存在性與光滑性，七、貝赫(Birch)和斯維訥通一戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想。這十大數(shù)學(xué)猜想只證明了兩個(gè)，龐加萊猜想和四色問(wèn)題已被解決。世界近代三大數(shù)學(xué)難題1、費(fèi)爾馬大定理2、哥德巴赫猜想3、四色問(wèn)題世界七大數(shù)學(xué)難題1、P問(wèn)題對(duì)NP問(wèn)題2、霍奇(Hodge)猜想3、龐加萊(Poincare)猜想4、黎曼(Riemann)假設(shè)5、楊一米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口6、納維葉一斯托克斯(Navier-Stokes方程的存在性與光滑性7、貝赫(Birch)和斯維訥通一戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想有待破解的數(shù)學(xué)難題除了上述著名數(shù)學(xué)

3、難題外，還有以下著名數(shù)學(xué)難題有待破解。Abc猜想考拉茲猜想周氏猜測(cè)(梅森素?cái)?shù)分布猜測(cè))阿廷猜想(新梅森猜想)哥德巴赫猜想孿素?cái)?shù)猜想克拉梅爾猜想哈代李特爾伍德第二猜想六空間理論先來(lái)看三大數(shù)學(xué)猜想(難題)。(1)費(fèi)馬猜想又稱“費(fèi)馬大定理”或費(fèi)馬問(wèn)題”1637年由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：形如Xn+yn二Zn的方程，當(dāng)n大于2時(shí)沒(méi)有正整數(shù)解。劍橋大學(xué)懷爾斯在1995年徹底解決了這一大難題。該研究源自費(fèi)馬在閱讀丟番圖(Diophatus)算術(shù)拉丁文譯本時(shí)，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的

4、。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下。”(拉丁文原文Cuiusreidemonstrationemmirabilemsanedetexi.Hancmarginisexiguitasnoncaperet.)(2)哥德巴赫猜想世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。1742年6月7日，哥德巴赫寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，提出了以下想法：任意大于等于2的整數(shù)均可寫為三個(gè)素?cái)?shù)之和。歐拉自己也不能解決，不過(guò)在給哥德巴赫的回信中提出一個(gè)更加精煉的命題：任意大于等于2的偶數(shù)均可寫為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。前者被稱為“弱哥德巴赫猜想”，后者被稱為“強(qiáng)哥德巴赫猜想”。事實(shí)上后者正是人們所熟知的哥德巴赫猜

5、想的版本。經(jīng)過(guò)后世數(shù)學(xué)家的修改和整理，哥德巴赫猜想有如下形式：弱哥德巴赫猜想：任何一個(gè)大于等于6的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和；強(qiáng)哥德巴赫猜想：任何一個(gè)大于等于9的奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。事實(shí)上，弱哥德巴赫猜想可以由強(qiáng)哥德巴赫猜想推出，因?yàn)?n+1=2(n-1)+37VV不小于9的奇數(shù)不小于6的偶數(shù)2013年，哈羅德證明了：大于1030的奇數(shù)均可寫為三個(gè)素?cái)?shù)之和。后來(lái)經(jīng)過(guò)不斷驗(yàn)證，小于1030的部分也是成立的。于是，弱哥德巴赫猜想經(jīng)過(guò)一半證明一半驗(yàn)證，被確認(rèn)為是正確的命題。但是對(duì)于強(qiáng)哥德巴赫猜想，最好的結(jié)果即中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)對(duì)“1+2”的證明即：任意大于2的偶數(shù)均可寫為一個(gè)奇素?cái)?shù)

6、與兩個(gè)奇素?cái)?shù)乘積之和。（4）四色猜想世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯格思里，來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái),每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色?！边@個(gè)結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢?他和在大學(xué)讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問(wèn)題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒(méi)有進(jìn)展。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，做了100億次判斷，終于完成了四色猜想的證明。Sweden0Tuikey由大數(shù)學(xué)家黎曼、康托

7、爾、龐加萊等創(chuàng)立的拓?fù)鋵W(xué)之發(fā)展可謂一日千里，后來(lái)竟蓋過(guò)大數(shù)學(xué)家高斯寵愛(ài)的數(shù)論，成為雍容華貴的數(shù)學(xué)女王。四色問(wèn)題就是屬于拓?fù)鋵W(xué)范疇的一個(gè)大問(wèn)題。拓?fù)鋵W(xué)不僅引進(jìn)了全新的研究對(duì)象，也引進(jìn)了全新的研究方式。對(duì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，它不啻是一場(chǎng)革命。回顧拓?fù)鋵W(xué)的歷史，就可以說(shuō)明為什么四色問(wèn)題對(duì)于20世紀(jì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)是重要的。通俗地說(shuō)，連續(xù)變換就是你可以捏、拉一個(gè)東西，但不能將其扯破，也不能把原先不在一起的兩個(gè)點(diǎn)粘在一起。比如，對(duì)于26個(gè)（大寫）英文字母，一些拓?fù)鋵W(xué)家就認(rèn)為可將其分成6類：第一類：D，O；第二類：H、I第三類：C，L，M，N，S，U，V，W，Z。第四類：K、X第五類：A、R第六類：E、F、G、J、T第一類

8、在連續(xù)變換下都可以變成0,第二類都可變成H,第三類則都可變成一條直線，第四類是一個(gè)叉，第五類是A,第六類是T。還有一些字母單獨(dú)歸一組：Y、Q、B、P。因?yàn)?是平面的色數(shù)（它也是一種示性數(shù)，可見(jiàn)示性數(shù)有很多種），體現(xiàn)了平面的拓?fù)湫再|(zhì)，與國(guó)家的形狀無(wú)關(guān)，將平面彎成曲面也沒(méi)關(guān)系。數(shù)學(xué)家必須確定這個(gè)數(shù)究竟是5還是4，這很重要。如果國(guó)家分布在一個(gè)環(huán)面上，畫地圖最多得要七種顏色。吊起數(shù)學(xué)家胃口的還有一個(gè)原因。乍一看，環(huán)面似乎更復(fù)雜，事實(shí)上，環(huán)面的七色定理卻比較容易證明，希伍德當(dāng)時(shí)就做到了；到1968年，其他所有復(fù)雜曲面的色數(shù)均已確定，唯有平面（或球面）的四色問(wèn)題依然故我?？磥?lái)，平面沒(méi)有人們想象的那么簡(jiǎn)單。

9、1913年，伯克霍夫引進(jìn)了一些新的技巧，導(dǎo)致1939年弗蘭克林證明22國(guó)以下的地圖都可以用四色著色。1950年，溫恩將22國(guó)提高為35。1968年，奧爾又達(dá)到了39國(guó)。1975年有報(bào)道，52國(guó)以下的地圖用四色足夠。可見(jiàn)，其進(jìn)展極其緩慢。不過(guò)，情況也不是過(guò)分悲觀。數(shù)學(xué)家希奇早在1936年就認(rèn)為，討論的情況是有限的，不過(guò)非常之大，大到可能有10000種。對(duì)于巨大而有限的數(shù)，最好由誰(shuí)去對(duì)付？今天的人都明白，計(jì)算機(jī)！從1950年起，希奇就與其學(xué)生丟萊研究怎樣用計(jì)算機(jī)去驗(yàn)證各種類型的圖形。這時(shí)計(jì)算機(jī)才剛剛發(fā)明。兩人的思想可謂十分超前。1972年起，黑肯與阿佩爾開(kāi)始對(duì)希奇的方法作重要改進(jìn)。到1976年，他

10、們認(rèn)為問(wèn)題已經(jīng)壓縮到可以用計(jì)算機(jī)證明的地步了。于是從1月份起，他們就在伊利諾伊大學(xué)的IBM360機(jī)上分1482種情況檢查，歷時(shí)1200個(gè)小時(shí)，作了100億個(gè)判斷，最終證明了四色定理。在當(dāng)?shù)氐男欧馍仙w“Fourcolorssutfice”（四色足夠了）的郵戳，就是他們想到的一種傳播這一驚人消息的別致的方法。（5）敘古拉猜想（冰雹猜想/角谷猜想）做一個(gè)游戲：每個(gè)人可以從任何一個(gè)正整數(shù)開(kāi)始，連續(xù)進(jìn)行如下運(yùn)算，若是奇數(shù)，就把這個(gè)數(shù)乘以3再加1；若是偶數(shù)，就把這個(gè)數(shù)除以2。這樣演算下去，直到第一次得到1才算結(jié)束。是不是每一個(gè)正整數(shù)按這樣的規(guī)則演算下去都能得到1呢？這就是敘古拉猜想，也叫“冰雹猜想、角谷猜

11、想”。冰雹猜想來(lái)歷1976年的一天，華盛頓郵報(bào)于頭版頭條報(bào)道了一條數(shù)學(xué)新聞。文中記敘了這樣一個(gè)故事：70年代中期，美國(guó)各所名牌大學(xué)校園內(nèi)，人們都像發(fā)瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數(shù)學(xué)游戲。這個(gè)游戲十分簡(jiǎn)單：任意寫出一個(gè)自然數(shù)N（NM0），并且按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換：如果是個(gè)奇數(shù)，則下一步變成3N+1。如果是個(gè)偶數(shù)，則下一步變成N/2。不單單是學(xué)生，甚至連教師、研究員、教授與學(xué)究都紛紛加入。為什么這種游戲的魅力經(jīng)久不衰？因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)，無(wú)論N是怎樣一個(gè)非零自然數(shù)，最終都無(wú)法逃脫回到谷底1。準(zhǔn)確地說(shuō)，是無(wú)法逃出落入底部的4-2-1循環(huán)，永遠(yuǎn)也逃不出這樣的宿命。這就是著名的“冰雹猜想”。強(qiáng)悍的2

12、7冰雹的最大魅力在于不可預(yù)知性。英國(guó)劍橋大學(xué)教授JohnConway找到了一個(gè)自然數(shù)27。雖然27是一個(gè)貌不驚人的自然數(shù)，但是如果按照上述方法進(jìn)行運(yùn)算，則它的上浮下沉異常劇烈：首先，27要經(jīng)過(guò)77步驟的變換到達(dá)頂峰值9232，然后又經(jīng)過(guò)32步驟到達(dá)谷底值1。全部的變換過(guò)程（稱作“雹程”）需要111步，其頂峰值9232，達(dá)到了原有數(shù)字27的342倍多，如果以瀑布般的直線下落（2的N次方）來(lái)比較，貝9具有同樣雹程的數(shù)字N要達(dá)到2的111次方。其對(duì)比何其驚人！但是在1到100的范圍內(nèi)，像27這樣的劇烈波動(dòng)是沒(méi)有的（54等27的2的次方倍數(shù)的數(shù)除外）。經(jīng)過(guò)游戲的驗(yàn)證規(guī)律，人們發(fā)現(xiàn)僅僅在兼具4k和3m+

13、1（k,m為自然數(shù)）處的數(shù)字才能產(chǎn)生冰雹猜想中“樹(shù)”的分叉。所以在冰雹樹(shù)中，16處是第一處分叉，然后是64以后每隔一節(jié)，產(chǎn)生出一支新的支流。自從Conway發(fā)現(xiàn)了神奇的27之后，有專家指出，27這個(gè)數(shù)字必定只能由54變來(lái)，54又必然從108變來(lái)，所以，27之上，肯定可以出現(xiàn)不亞于2n的強(qiáng)大支流33*2n（n=1,2,3），然而，27到4-2-1數(shù)列和本流2到4-2-1數(shù)列要遙遠(yuǎn)的多。按照機(jī)械唯物論的觀點(diǎn)，從27開(kāi)始逆流而上的數(shù)列群才能叫做本源，盡管如此，按照“直線下瀉”的觀點(diǎn)，一般依然把1-2-4-82n的這一支看作是“干流”。等差數(shù)列驗(yàn)證法，此方法是根據(jù)冰雹猜想的驗(yàn)證規(guī)則而建立的一種驗(yàn)證方法

14、，是以無(wú)限的等差數(shù)列來(lái)對(duì)付無(wú)限的自然數(shù)。首項(xiàng)偶數(shù)，公差是偶數(shù)，那么數(shù)列上的所有自然數(shù)都是偶數(shù)，全體數(shù)列除于2，如果首項(xiàng)是奇數(shù)公差是偶數(shù)，那么數(shù)列上全體自然數(shù)都是奇數(shù)，全體乘上3再加1。如果公差是奇數(shù)，首項(xiàng)也是奇數(shù)，那么第奇數(shù)項(xiàng)必定都是奇數(shù)則乘上3再加1，第偶數(shù)項(xiàng)必定都是偶數(shù),則除于2。如果公差是奇數(shù)，首項(xiàng)是偶數(shù)，那么第奇數(shù)項(xiàng)必定都是偶數(shù)，則除于2，第偶數(shù)項(xiàng)必定都是奇數(shù)，則乘上3再加1。按照這樣的計(jì)算規(guī)則計(jì)算下去，會(huì)遇到許多新的問(wèn)題，考驗(yàn)驗(yàn)證者的智商。比如偶數(shù)的通項(xiàng)公式是2n，因?yàn)槎际桥紨?shù)所以除于2,得到n,這就是自然數(shù)。按照忽略偶數(shù)不記錄的驗(yàn)證方法進(jìn)行驗(yàn)證，第一個(gè)被驗(yàn)證的奇數(shù)有可能是能被3整除的奇數(shù)，也有可能是不能被3整除的奇數(shù)。但是所到達(dá)所歸結(jié)的第二個(gè)奇數(shù)，以及第三個(gè)奇數(shù)（假設(shè)存在），整個(gè)過(guò)程所到達(dá)所遇到所歸結(jié)所訪問(wèn)到的每一個(gè)奇數(shù)，必定都不能再被3整除了。如果都從從能被3整除的奇數(shù)開(kāi)始驗(yàn)證，路徑上所遇到所歸結(jié)的所到達(dá)所訪問(wèn)到的每一個(gè)奇數(shù)都必定不能再被3整除了，最終都能歸結(jié)于1，那么必定遍歷所有的奇數(shù)（遍歷是離散數(shù)學(xué)的概念）。如果都從不能被3整除的奇數(shù)開(kāi)始驗(yàn)證，那么路徑上所遇到所到達(dá)所歸結(jié)的所訪問(wèn)到的每一個(gè)奇數(shù)必定都不可能再被3整除了，最終都?xì)w結(jié)于1（等于說(shuō)是