線性代數(shù)課程教學(xué)課件全冊教學(xué)課件匯總

1、授課人：XX XX 線 性 代 數(shù)XX學(xué)院 XX 專業(yè)【全套課件】線性代數(shù)是代數(shù)的一個分支，它以研究向量空間與線性映射為對象；由于費(fèi)馬和笛卡兒的工作，線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀(jì)。由于它的簡便，所以就代數(shù)在數(shù)學(xué)和物理的各種不同分支的應(yīng)用來說，線性代數(shù)具有特殊的地位。此外它特別適用于電子計算機(jī)的計算，所以它在數(shù)值分析與運(yùn)籌學(xué)中占有重要地位。 線性代數(shù)介紹 主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石則早在兩千年前出現(xiàn)（見于數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)）。線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位；在計算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計算機(jī)圖形學(xué)、計算機(jī)輔助設(shè)計、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實等

2、技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；該學(xué)科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的。線性代數(shù)地位 第01章 行列式 第02章 矩陣及其運(yùn)算 第03章 矩陣的初等變換與線性方程組第04章 向量組的線性相關(guān)性目錄精品課程 第05章 相似矩陣及二次型 第06章 線性空間與線性變換參考資料 1 線性代數(shù)輔導(dǎo) 胡金德等編 北京：清華大學(xué)出版社出版2線性代數(shù)及其應(yīng)用，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編，北京：高等教育出版社 在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組。但是，從許多實踐或

3、理論問題里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量，并且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定相等。我們先討論未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相等的特殊情形。在討論這一類線性方程組時，我們引入行列式這個計算工具。第一章 行列式內(nèi)容提要1 二階與三階行列式2 全排列及其逆序數(shù)3 n 階行列式的定義4 對換5 行列式的性質(zhì)6 行列式按行(列)展開7 克拉默法則行列式的概念.行列式的性質(zhì)及計算 線性方程組的求解（選學(xué)內(nèi)容） 行列式是線性代數(shù)的一種工具！學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計算行列式的值。通過學(xué)習(xí)本章，要求學(xué)生知道n階行列式定義，熟悉行列式的性質(zhì)，掌握行列式的計算方法及其求解線性方程組的克拉默法則。教學(xué)目的與要求教

4、學(xué)重點(diǎn)：行列式的概念、性質(zhì)及其計算教學(xué)難點(diǎn)：行列式的性質(zhì)及其計算教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)課外思考題P25 習(xí)題一、1(2)(3),2(2)(4),4(2)(3),5(2),6(3)(5),8(2),9,10(2),121 二階與三階行列式從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式。一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組 由消元法，得當(dāng)時，該方程組有唯一解求解公式為二元線性方程組 請觀察，此公式有何特點(diǎn)？分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定。分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再 相減而得。其求解公式為二元線性方程組 引進(jìn)新的符號來表示“四個數(shù)分成兩對相乘再相減”。記號 數(shù)表 表達(dá)式 稱

5、為由該數(shù)表所確定的二階行列式，即其中，i 為行標(biāo)，表明元素位于第i 行； j 為列標(biāo)，表明元素位于第j 列。原則：橫行豎列稱為元素。二階行列式的計算 主對角線 副對角線 即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積 對角線法則 二元線性方程組 若令 (方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為例1 求解二元線性方程組解： 因為 所以 二、三階行列式類似地，討論三元線性方程組定義 設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表原則：橫行豎列引進(jìn)記號稱為三階行列式。主對角線 副對角線 二階行列式的對角線法則并不適用！三階行列式的計算 對角線法則 注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式。 實線上的三個元素

6、的乘積冠正號， 虛線上的三個元素的乘積冠負(fù)號。三階行列式的計算 沙路法 解：按對角線法則，有例2 計算三階行列式若三元線性方程組的系數(shù)行列式 利用三階行列式求解三元線性方程組若記或記即得得則三元線性方程組的解為例3 解線性方程組解：由于方程組的系數(shù)行列式同理可得故方程組的解為解：方程左端由例4 求解方程 得或二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的。對角線法則二階與三階行列式的計算三、小結(jié)思考題求一個二次多項式f(x)，使思考題解答解：設(shè)所求的二次多項式為由題意得得一個關(guān)于未知數(shù)a,b,c的線性方程組，又得故所求多項式為2 全排列及其逆序數(shù)引用：用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有

7、重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解：1 2 3123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法種放法。共有一、概念的引入問題：把n個不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法？定義 把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列。n個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.顯然 即n個不同的元素一共有n!種不同的排法。二、全排列及其逆序數(shù)所有6種不同的排法中，只有一種排法(123)中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前。因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序”。 3個不同的元素一共有3! =6種不同的排法123，132，213，231，312，321對于n

8、個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序。n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。定義 當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就稱這兩個元素組成一個逆序。例如 在排列32514中，3 2 5 1 4逆序 逆序 逆序 思考題：還能找到其它逆序嗎？答：2和1，3和1也構(gòu)成逆序。定義 排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)。排列i1i2in的逆序數(shù)通常記為t(i1i2in)。奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？ 答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列(例如：123)的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列。計算排列的逆序數(shù)的方法有兩種則此排列的逆序數(shù)為設(shè)p

9、1p2pn是1, 2, , n 這n個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。先看有多少個比p1大的數(shù)排在p1前面，記為t1；再看有多少個比p1大的數(shù)排在p1前面，記為t2 ;最后看有多少個比pn大的數(shù)排在pn前面，記為tn ;方法一分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)。方法二例1 求排列32514的逆序數(shù)。解：在排列32514中,3排在首位，逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個3，故逆序數(shù)為1;3 2 5 1 4于是排列32514的逆序數(shù)為5的前面沒有比5大的數(shù)，其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3

10、個，故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個，故逆序數(shù)為1;解：練習(xí)：求排列 453162 的逆序數(shù)。解：例1 求排列32514的逆序數(shù)。 3 2 5 1 4逆序數(shù)為31例2 計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性。解此排列為偶排列。解當(dāng)n=4k，4k+1時為偶排列；當(dāng)n=4k+2，4k+3時為奇排列。解當(dāng) k為偶數(shù)時，排列為偶排列，當(dāng)k為奇數(shù)時，排列為奇排列。2. 排列具有奇偶性。3. 計算排列逆序數(shù)常用的方法有2 種。1. n個不同的元素的所有排列種數(shù)為n!。三、小結(jié)思考題分別用兩種方法求排列16352487的逆序數(shù)。思考題解答解用方法11 6 3 5 2 4 8 7 用方法2由前向后求每

11、個數(shù)的逆序數(shù)3 n 階行列式的定義一、概念的引入規(guī)律：三階行列式共有6項，即3!項。每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積。每一項可以寫成a1p1a2p2a3p3(正負(fù)號除外)，其中p1p2p3是1、2、3的某個排列。當(dāng)p1p2p3是偶排列時，對應(yīng)的項取正號； 當(dāng)p1p2p3是奇排列時，對應(yīng)的項取負(fù)號。所以，三階行列式可以寫成 其中 表示對1、2、3的所有排列求和。二階行列式有類似規(guī)律，下面將行列式推廣到一般的情形。 二、n 階行列式的定義 n 階行列式共有 n! 項；每一項都是位于不同行不同列的 n 個元素的乘積；每一項可以寫成 （正負(fù)號除外），其中p1p2pn是1, 2, , n 的某

12、個排列；當(dāng) p1p2pn 是偶排列時，對應(yīng)的項取正號； 當(dāng) p1p2pn 是奇排列時，對應(yīng)的項取負(fù)號。簡記作det(aij) ，其中aij 為行列式D的(i, j)元思考題：|-1|=-1成立嗎？答：符號|-1|可以有兩種理解：若理解成絕對值，則|-1|=+1 ；若理解成一階行列式，則|-1|=-1。注意：當(dāng)n =1時，一階行列式|a| =a，注意不要與絕對值的記號相混淆。例如：一階行列式|-1|=-1。例1 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項。 例2 計算行列式解：和解：其中 四個結(jié)論：(1)對角行列式 (2) (3)上三角形行列式 (主對角線下側(cè)元素都為0)(4)下三角形行列式 (主

13、對角線上側(cè)元素都為0)1. 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的。2. n階行列式共有n!項，每項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積，正負(fù)號由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定。三、小結(jié)思考題：用定義計算行列式解：用樹圖分析-1133123-1-2-2-1故思考題已知求x3 的系數(shù)。故x3的系數(shù)為-1。解：含x3的項有兩項，即對應(yīng)于4 對換一、對換的定義定義 在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換。將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換。例如 備注：相鄰對換是對換的特殊情形。一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn)。 如果連

14、續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了。 m 次相鄰對換 m+1次相鄰對換 m 次相鄰對換 m+1次相鄰對換 二、對換與排列奇偶性的關(guān)系定理1 對換改變排列的奇偶性。證明：先考慮相鄰對換的情形。 注意到除a,b外，其它元素的逆序數(shù)不改變。當(dāng)ab時，因此相鄰對換改變排列的奇偶性。 既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么 2m+1次相鄰對換因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變。推論 奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)， 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。證明：由定理1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為零)，因此可知推論成立。因為數(shù)的乘法是可以交換的，

15、所以n個元素相乘的次序是可以任意的，即 每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列i1i2in與j1j2jn同時作一次對換，即i1i2in與j1j2jn同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變。設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為s 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t于是 與 (s+t) 同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)。即 是偶數(shù)。 因為對換改變排列的奇偶性，s-s是奇數(shù)，t-t也是奇數(shù)。 設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為s，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t。 所以 是偶數(shù)， 因此，交換 中任意兩個元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變。經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此。 所以，在一系列對換之后

16、有定理2 n 階行列式也可定義為 定理3 n 階行列式也可定義為 例1 試判斷a14a23a31a42a56a65和-a32a43a14a51a25a66是否都是六階行列式中的項。解a14a23a31a42a56a65下標(biāo)的逆序數(shù)為所以a14a23a31a42a56a65 是六階行列式中的項。-a32a43a14a51a25a66行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和所以-a32a43a14a51a25a66不是六階行列式中的項。例2 在六階行列式中，下列兩項各應(yīng)帶什么符號。解431265的逆序數(shù)為所以 前邊應(yīng)帶正號。行標(biāo)排列341562的逆序數(shù)為列標(biāo)排列234165的逆序數(shù)為所以 前邊應(yīng)帶正號。例3 用行列

17、式的定義計算 解1. 對換改變排列奇偶性。2. 行列式的三種表示方法三、小結(jié)其中p1p2pn,q1q2qn是兩個n級排列，t為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和。思考題證明：在全部n階排列中(n2)，奇偶排列各占一半。 思考題解答證明：設(shè)在全部n階排列中有s個奇排列，t個偶排列，現(xiàn)來證明s=t。 將s個奇排列的前兩個數(shù)對換，則這s個奇排列全變成偶排列，并且它們彼此不同，所以st。 若將t個偶排列的前兩個數(shù)對換，則這t個偶排列全變成奇排列，并且它們彼此不同，于是有ts。故必有 s=t。5 行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)行列式DT 稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。 若記記性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等

18、，即 D=DT。則性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。證明根據(jù)行列式的定義，有若記行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立。則性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列)，行列式變號。驗證于是推論 若行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零。證明互換相同的兩行，有D=-D,備注：交換第i行(列)和第j行(列)，記作所以 D=0。性質(zhì)3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式。驗證我們以三階行列式為例，記 根據(jù)三階行列式的對角線法則，有備注：第i行(列)乘以k，記作推論 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。備注：第

19、i行(列)提出公因子k，記作驗證以4階行列式為例。 性質(zhì)4 行列式中若有兩行(列)元素成比例，則此行列式為零。性質(zhì)5 若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和。則例如：驗證：以三階行列式為例。 性質(zhì)6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變。則驗證：以三階行列式為例， 記 備注：以數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)上，記作例1二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運(yùn)算ri+krj把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。解例2 計算n階行列式解將第2,3, ,n列都加到第一列，得例3 設(shè) 證明 證明對D1作運(yùn)算ri+krj，把D1化為下三

20、角形行列式 設(shè)為對D2作運(yùn)算ci+kcj，把D2化為下三角形行列式 設(shè)為對D的前k行作運(yùn)算ri+krj ，再對后n列作運(yùn)算ci+kcj，把D化為下三角形行列式故 (行列式中行與列具有同等的地位, 凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立). 計算行列式常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。三、小結(jié)行列式的6個性質(zhì)計算4階行列式 思考題 (已知abcd=1)思考題解答解6 行列式按行(列)展開對角線法則只適用于二階與三階行列式。本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式。一、引言結(jié)論：三階行列式可以用二階行列式表示。思考題：任意一個行列式是否都可以用較

21、低階的行列式表示？例如 把Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式。 在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃后，留下來的n-1階行列式叫做元素aij的余子式，記作Mij。結(jié)論：因為行標(biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式。引理：一個n階行列式，若其中第i行所有元素除aij外都為零，那么這行列式等于aij與它的代數(shù)余子式的乘積，即 D=aijAij。例如 即有又從而下面再討論一般情形。分析 當(dāng)aij位于第1行第1列時,（根據(jù)P.14例10的結(jié)論）以4階行列式為例。思考題：能否以代替上述兩次行變換？思考題：能否以答：不

22、能。代替上述兩次行變換？a34被調(diào)換到第1行,第1列二、行列式按行(列)展開法則定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即(按第i行展開)(按第j列展開)同理可得例1 計算解：由定理3將行列式D按第三行展開，因為除a33=1外，其余的a31,a32,a34均為0，D展開后得證明：用數(shù)學(xué)歸納法例2 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2時(1)式成立。假設(shè)(1)對于n-1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行減去前行的x1 倍：按照第1列展開，并提出每列的公因子(xi-x1)，就有 n-1階范德蒙德行列式推論：行列式任一行(列)的元素與另一行(列)

23、的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即分析：以3階行列式為例。把第1行的元素?fù)Q成第2行的對應(yīng)元素，則 定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即推論 行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即綜上所述，有同理可得關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)例3 計算行列式解例4 設(shè)分析：利用及代數(shù)余子式依次記作Mij和Aij，求D的(i,j)元的余子式和解例5 計算下列三角行列式解：按第一行展開，得如此下去，做n次，即得對上式中右邊的n-1階行列式再按第一行展開，得 例6 計算三階行列式(用三種方法求解)解：解法一(對角線法) ：利用三階行列式

24、的展開式將所求行列式展開。解法二(三角形法) ：利用行列式的性質(zhì)將行列式化為三角形，然后將對角線元素相乘，求得行列式的值。解法三(降階法)： 將所求行列式按第一行展開，于是三階行列式就化為二階行列式(降階)，從而可計算出行列式的值。1. 行列式按行(列)展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具。三、小結(jié)思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和設(shè)n階行列式思考題解答解：第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成7 克拉默法則二元線性方程組 若令 (方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為一、克拉默法則若線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中Dj是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用

25、方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式，即那么線性方程組(1)有唯一解定理中包含著三個結(jié)論：方程組有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性）解可以由公式(2)給出。這三個結(jié)論是有聯(lián)系的。 應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論。關(guān)于克拉默法則的等價命題定理4 若線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解，而且解是唯一的。定理4 若線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。設(shè)例1 解方程組 解：因為系數(shù)行列式 同理可得所以方程組的唯一解為即注意：克萊姆法則有兩個條件：一是方程組的未

26、知數(shù)個數(shù)等于方程的個數(shù)；二是系數(shù)行列式不等于零。線性方程組常數(shù)項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組。齊次線性方程組總是有解的，因為(0,0, 0)就是一個解，稱為零解. 因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解。關(guān)心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解。 齊次線性方程組的相關(guān)定理定理5 若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0，則齊次線性方程組只有零解，沒有非零解。定理5 若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。 備注這兩個結(jié)論說明系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件。 在第三章還將證明這個條件也是充分的. 即：齊次線性方程組有

27、非零解 系數(shù)行列式等于零練習(xí)題：問取何值時，齊次方程組有非零解？解如果齊次方程組有非零解，則必有D=0。 所以=0,2,3時齊次方程組有非零解。思考題 當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解為何？ 答：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，不能用克拉默法則解方程組，因為此時方程組的解為無解或有無窮多解。1. 用克拉默法則解線性方程組的兩個條件(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù)；(2)系數(shù)行列式不等于零。2. 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關(guān)。它主要適用于理論推導(dǎo)。三、小結(jié)第一章 行列式復(fù)習(xí)把 個不同的元素排成一列，叫做這

28、個元素的全排列（或排列）個不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，且 .全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列在一個排列 中，若數(shù) ，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).逆序數(shù)分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)方法2方法1分別計算出排在 前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出 這 個元素的逆序數(shù)，這 個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù). 計算排列逆序數(shù)的方法定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，稱為一次對換。將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換。定

29、理一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).對換.n階行列式的定義.n階行列式的性質(zhì)1)余子式與代數(shù)余子式.行列式按行（列）展開2)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì).克拉默法則克拉默法則的理論價值定理定理定理定理一、計算排列的逆序數(shù)二、計算（證明）行列式三、克拉默法則典型例題分別算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)解例一、計算排列的逆序數(shù)當(dāng) 為偶數(shù)時，排列為偶排列，當(dāng) 為奇數(shù)時，排列為奇排列于是排列的逆序數(shù)為.用定義計算（證明）例用行列式定義計算二、計算（證明）行列式解評注本例是從一般項入手

30、，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般方法注意例設(shè)證明由行列式的定義有評注本題證明兩個行列式相等，即證明兩點(diǎn)，一是兩個行列式有完全相同的項，二是每一項所帶的符號相同這也是用定義證明兩個行列式相等的常用方法.利用范德蒙行列式計算例計算利用范德蒙行列式計算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。解上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換

31、各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式.用化三角形行列式計算例計算解提取第一列的公因子，得評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時一般盡量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的.用降階法計算例計算解評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低 1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計算出來

32、為止（一般展開成二階行列式）這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用.用拆成行列式之和（積）計算例證明證.用遞推法計算例計算解由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得評注.用數(shù)學(xué)歸納法例證明證對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法評注計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應(yīng)用在計算時，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法小結(jié)當(dāng)線性方程組方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時，可用克萊姆法則。為了避免在計算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對有的方程乘以適當(dāng)整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項都是整數(shù)的線性方程組后再求解三、克拉默

33、法則解設(shè)所求的二次多項式為由題意得由克萊姆法則，得于是，所求的多項式為證例12有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮70克，磷8克，鉀2克；乙種化肥每千克含氮64克，磷10克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮70克，磷5克，鉀1.4克若把此三種化肥混合，要求總重量23千克且含磷149克，鉀30克，問三種化肥各需多少千克？解例13解第一章 測試題一、填空題(每小題4分，共40分)二、計算下列行列式(每小題9分，共18分)有非零解？三、解答題(9分)四、證明(每小題8分，共24分)五、(9分) 設(shè) 行列式求第一行各元素的代數(shù)余子式之和測試題答案第二章 矩陣及其運(yùn)算1 矩陣一、矩陣概念的引入二、矩陣

34、的定義三、特殊的矩陣四、矩陣與線性變換其中表示有航班始發(fā)地ABCD目的地 A B C D 例1 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地。BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示：一、矩陣概念的引入為了便于計算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一個數(shù)表：ABCD A B C D這個數(shù)表反映了四個城市之間交通聯(lián)接的情況。其中aij表示工廠向第i家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量。 例2 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表： 其中bi1表示第i種貨物的單價，bi

35、2表示第i種貨物的單件重量。 由mn個數(shù)aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行 n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣，簡稱mn矩陣。 記作 二、矩陣的定義簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。這mn個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元。行數(shù)不等于列數(shù)共有mn個元素本質(zhì)上就是一個數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個元素矩陣行列式行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱為 n 階方陣可記作 .只有一行的矩陣 稱為行矩陣(或行向量) .只有一列的矩陣 稱為列矩陣(或列向量) .元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作 O .例如： 三、特殊的矩陣形如 的方陣稱為對角陣特別的，方陣 稱為單位陣記作記作 同型

36、矩陣與矩陣相等的概念 兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣. 兩個矩陣 與 為同型矩陣，并且對應(yīng)元素相等，即則稱矩陣 A 與 B 相等，記作 A = B .注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如 表示一個從變量 到變量 線性變換，其中 為常數(shù).四、矩陣與線性變換 n 個變量 與 m 個變量 之間的關(guān)系式系數(shù)矩陣 線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.例 線性變換 稱為恒等變換.對應(yīng) 單位陣 En對應(yīng) 投影變換 例 2階方陣 對應(yīng) 以原點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)j 角的旋轉(zhuǎn)變換 例 2階方陣 2 矩陣的運(yùn)算例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表

37、示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量 其中aij 表示上半年工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量其中cij 表示工廠下半年向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個 mn 矩陣 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩陣 A 與 B 的和記作 AB，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.知識點(diǎn)比較交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè) A、B、C 是同型矩陣設(shè)矩陣 A = (aij) ，記A = (aij)，稱為矩陣 A 的負(fù)矩陣顯然設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各 l 件，試求：工廠向該商

38、店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價及單件重量可列成數(shù)表：其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 解：工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 二、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù) l 與矩陣 A 的乘積記作 l A 或 A l ，規(guī)定為結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè) A、B是同型矩陣，l , m 是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.知識點(diǎn)比較其中aij 表示工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量 例（續(xù)） 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它

39、向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表： 其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量 解：以 ci1， ci2 分別表示工廠向第 i 家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中 i = 1, 2, 3于是其中aij 表示工廠向第 i 家商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量 其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量 可用矩陣表示為一般地，一、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè) ， ，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個 mn 矩陣 ，其中并把此乘積記作 C =

40、AB 例：設(shè)則知識點(diǎn)比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例 P.35例5 結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣 ，卻有 ，從而不能由 得出 或 的結(jié)論矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律 (1) 乘法結(jié)合律 (3) 乘法對加法的分配律(2) 數(shù)乘和乘法的結(jié)合律 （其中 l 是數(shù)）(4) 單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣 lE 與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對角陣(5) 矩陣的冪 若 A 是 n 階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)

41、的列得到的新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT .例轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)例：已知解法1解法2定義：設(shè) A 為 n 階方陣，如果滿足 ，即那么 A 稱為對稱陣.如果滿足 A = AT，那么 A 稱為反對稱陣. 對稱陣 反對稱陣 例：設(shè)列矩陣 X = ( x1, x2, , xn )T 滿足 X T X = 1，E 為 n 階單位陣，H = E2XXT，試證明 H 是對稱陣，且 HHT = E.證明：從而 H 是對稱陣 五、方陣的行列式定義：由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 A 的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)證明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意義，A、B 必為同階方陣

42、，假設(shè) A = (aij)nn，B = (bij)nn .我們以 n= 3 為例，構(gòu)造一個6階行列式令 ，則 C = (cij)= AB 從而 定義：行列式 |A| 的各個元素的代數(shù)余子式 Aij 所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣 A 的伴隨矩陣.元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第 i 列性質(zhì)性質(zhì)證明 （設(shè)A，B 為復(fù)矩陣，l 為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）：六、共軛矩陣運(yùn)算性質(zhì)當(dāng) 為復(fù)矩陣時，用 表示 的共軛復(fù)數(shù)，記， 稱為 的共軛矩陣. 3 逆矩陣矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算. 矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是 n

43、階方陣. 從乘法的角度來看，n 階單位矩陣 E 在同階方陣中的地位類似于 1 在復(fù)數(shù)中的地位 一個復(fù)數(shù) a 0的倒數(shù) a1可以用等式 a a1 = 1 來刻劃. 類似地，我們引入對于 n 階單位矩陣 E 以及同階的方陣 A，都有定義： n 階方陣 A 稱為可逆的，如果有 n 階方陣 B，使得這里 E 是 n 階單位矩陣.根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式. 對于任意的 n 階方陣 A，適合上述等式的矩陣 B 是唯一的（如果有的話）.定義： 如果矩陣 B 滿足上述等式，那么 B 就稱為 A 的逆矩陣，記作 A1 .下面要解決的問題是：在什么條件下，方陣 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎

44、樣求 A1 ？結(jié)論： ，其中定理：若 ，則方陣A可逆，而且推論：若 ，則 .元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第 i 列例：求二階矩陣 的逆矩陣.例：求3階方陣 的逆矩陣.解：| A | = 1，則方陣A可逆 此時，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對于n 階方陣A、B，如果 那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.定理：若方陣A可逆，則 推論： 如果 n 階方陣A、B可逆，那么 、 、 與AB也可逆，且線性變換 的系數(shù)矩陣是一個n 階方陣 A ，若記 則上述線性變換可記作 Y = AX . 例：設(shè)線性變換的系數(shù)矩陣是一個 3 階方陣 記則上述線性變換可記作 Y = AX 求變量 y1, y2

45、, y3 到變量 x1, x2, x3的線性變換相當(dāng)于求方陣 A 的逆矩陣. 已知 ，于是 ，即4 矩陣分塊法前言由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會遇到大型文件無法上傳的情況，如何解決這個問題呢?這時我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳.家具的拆卸與裝配問題一：什么是矩陣分塊法？問題二：為什么提出矩陣分塊法？問題一：什么是矩陣分塊法？定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊，這種操作稱為對矩陣進(jìn)行分塊；每一個小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.這是2階方陣嗎？思考題伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？答：不是伴隨矩陣的元素是代數(shù)余子式（一個數(shù)），而不是矩陣問題二：為

46、什么提出矩陣分塊法？答：對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A，運(yùn)算時采用分塊法，可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，體現(xiàn)了化整為零的思想.分塊矩陣的加法若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即則有形式上看成是普通矩陣的加法！分塊矩陣的數(shù)乘若l 是數(shù)，且 則有形式上看成是普通的數(shù)乘運(yùn)算！分塊矩陣的乘法一般地，設(shè) A為ml 矩陣，B為l n矩陣 ，把 A、B 分塊如下：按行分塊以及按列分塊mn 矩陣 A 有m 行 n 列，若將第 i 行記作若將第 j 列記作則于是設(shè) A 為 ms 矩陣，B 為 s n 矩陣，若把 A 按行分塊，把 B 按列塊，則分塊矩陣的轉(zhuǎn)置若 ，則例如：分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置

47、，而且每一個子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置分塊對角矩陣定義：設(shè) A 是 n 階矩陣，若 A 的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，對角線上的子塊都是方陣，那么稱 A 為分塊對角矩陣?yán)纾悍謮K對角矩陣的性質(zhì)| A | = | A1 | | A2 | | As | 若| As | 0，則 | A | 0，并且例:設(shè) ，求 A1 解：例：往證 Amn = Omn的充分必要條件是方陣ATA = Onn 證明：把 A 按列分塊，有于是那么即 A = O 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組知識點(diǎn)回顧：克拉默法則結(jié)論 1 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.（

48、P. 24定理4）結(jié)論 1如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零. （P.24定理4）設(shè)用克拉默法則解線性方程組的兩個條件： (1) 方程個數(shù)等于未知量個數(shù)； (2) 系數(shù)行列式不等于零. 線性方程組的解受哪些因素的影響？1 矩陣的初等變換一、初等變換的概念二、矩陣之間的等價關(guān)系三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系四、初等變換的應(yīng)用引例：求解線性方程組一、矩陣的初等變換223 2532 取 x3 為自由變量，則 令 x3 = c ，則 恒等式三種變換： 交換方程的次序，記作 ； 以非零常數(shù) k 乘某個方程，記作 ； 一個方程加上另一個方程的 k 倍，記作 . 其逆變換是：結(jié)論：由于

49、對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算iji k ik jiji k i+k jijik ik j定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對調(diào)兩行，記作 ；以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素，記作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，記作 .其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換 初等變換初等行變換初等列變換增廣矩陣結(jié)論：對原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對增廣矩陣的變換.2 2 3 25 3 2B5 對應(yīng)方程組為 令 x3 =

50、 c ，則 備注帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“ = ”例如：矩陣加法數(shù)乘矩陣、矩陣乘法矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)）方陣的行列式|不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“”例如：初等行變換初等列變換有限次初等行變換有限次初等列變換行等價，記作 列等價，記作 二、矩陣之間的等價關(guān)系有限次初等變換矩陣 A 與矩陣 B 等價，記作矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性 ；對稱性 若 ，則 ；傳遞性 若 ，則 行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.行最簡形矩陣：非零行的第一個非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.行最簡形矩陣：非零行的第一個非零元為

51、1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：左上角是一個單位矩陣，其它元素全為零.行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個參數(shù)完全確定，其中 r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行最簡形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者之間的包含關(guān)系 任何矩陣行最簡形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換 有限次初等列變換 有限次初等變換 結(jié)論有限次初等行變換 定義：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.對調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù) k0 乘單位陣的某一 行（列）；(3)以 k 乘單位陣單位陣的某一 行（列）加到另一 行（列） 三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系(

52、1) 對調(diào)單位陣的第 i, j 行（列）， 記作 E5(3, 5)記作 Em( i, j )(2)以常數(shù) k0 乘單位陣第 i 行（列）， 記作 E5(3(5) 記作 Em(i(k) (3)以 k 乘單位陣第 j 行加到第 i 行,記作 E5(35(k) 記作 Em(ij(k) 以 k 乘單位陣第 i 列加到第 j 列 ?兩種理解！結(jié)論把矩陣A的第 i 行與第 j 行對調(diào)，即 .把矩陣A的第 i 列與第 j 列對調(diào)，即 .以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 行，即 .以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 列，即 .把矩陣A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .把矩陣A第 i 列的 k 倍加到第

53、j 列，即 .性質(zhì)1 設(shè)A是一個 mn 矩陣，對 A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對 A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.口訣：左行右列.初等變換 初等變換的逆變換 初等矩陣 ?因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， 因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， ?因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以 一般地， ?初等變換 初等變換

54、的逆變換 初等矩陣 初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?性質(zhì)2 方陣A可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl 這表明，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是單位陣. 其實，可逆矩陣的行最簡形矩陣也是單位陣推論1 方陣 A 可逆的充要條件是 .推論2 方陣 A 與 B 等價的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q ，使 PAQ = B .四、初等變換的應(yīng)用 解例即初等行變換例解列變換行變換2 矩陣的秩一、矩陣的秩的概念定義：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在

55、A中所處的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式顯然，mn 矩陣 A 的 k 階子式共有 個概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式與元素a12相對應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣 A 的一個 2 階子塊矩陣 A 的一個 2 階子式定義：設(shè)矩陣 A 中有一個不等于零的 r 階子式 D，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A)規(guī)定：零矩陣的秩等于零矩陣 A 的一個 3 階子式矩陣 A 的 2 階子式 如果矩陣 A 中所有 2 階子式都等于零，那么這個 3 階子式也等于零 定義

56、：設(shè)矩陣 A 中有一個不等于零的 r 階子式 D，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A)根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣 A 中任何一個 r +2 階子式（如果存在的話）都可以用 r +1 階子式來表示如果矩陣 A 中所有 r +1 階子式都等于零，那么所有 r +2階子式也都等于零 事實上，所有高于 r +1 階的子式（如果存在的話）也都等于零 因此矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù)規(guī)定：零矩陣的秩等于零矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù) 顯然，若矩陣 A 中有某個 s 階子

57、式不等于零，則 R(A) s ；若矩陣 A 中所有 t 階子式等于零，則 R(A) t 若 A 為 n 階矩陣，則 A 的 n 階子式只有一個，即|A| 當(dāng)|A|0 時， R(A) = n ;可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣當(dāng)|A| = 0 時， R(A) n ;不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣若 A 為 mn 矩陣，則 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 矩陣 A 的一個 2 階子式矩陣 AT 的一個 2 階子式AT 的子式與 A 的子式對應(yīng)相等，從而 R(AT) = R(A) 例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中解：在 A 中，2 階子式 A 的 3 階子式只有一

58、個，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中解（續(xù)）：B 是一個行階梯形矩陣，其非零行有 3 行，因此其 4 階子式全為零以非零行的第一個非零元為對角元的 3 階子式 ，因此 R(B) = 3 還存在其它3 階非零子式嗎？例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中解（續(xù)）：B 還有其它 3 階非零子式，例如結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)二、矩陣的秩的計算例：求矩陣 A 的秩，其中 分析：在 A 中，2 階子式 A 的 3 階子式共有 (個)，要從40個子式中找出一個非零子式是比較麻煩的一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時，按定義求秩是很麻煩的 .行階

59、梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).一個自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣.兩個等價的矩陣的秩是否相等？定理：若 A B，則 R(A) = R(B) 證明思路：證明 A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則 R(A)R(B) B 也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)?A，則 R(B)R(A)，于是 R(A) = R(B) 經(jīng)過一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變設(shè) A 經(jīng)過初等列變換變?yōu)?B，則 AT 經(jīng)過初等行變換變?yōu)?BT ，從而 R(AT) = R(BT) 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) 第 1 步： A

60、 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則R(A)R(B) 證明：設(shè) R(A) = r ，且 A 的某個 r 階子式 D 0 當(dāng) 或 時，在 B 中總能找到與 D 相對應(yīng)的 r 階子式 D1 由于D1 = D 或 D1 = D 或 D1 = kD，因此 D1 0 ，從而 R(B) r 當(dāng) 時，只需考慮 這一特殊情形返回 第 1 步： A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則R(A)R(B) 證明（續(xù)）：分兩種情形討論：(1) D 中不包含 r1 中的元素 這時 D 也是 B 的 r 階非零子式，故 R(B) r (2) D 中包含 r1 中的元素這時 B 中與 D 相對應(yīng)的 r 階子式 D1 為若p = 2，